新教材高一数学第二学期期末试卷01（原卷版+教师版）

这是一份新教材高一数学第二学期期末试卷01（原卷版+教师版），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

新教材高一数学第二学期期末试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小给出的四个选项中，只有一个符合题目更求．
1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点为（ ）
A. B. C. D.
2. 如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中，,.则原平面图形的面积为（ ）

A. B. C. D.
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 有如下命题，其中错误的命题是（ ）
A. 若直线，且，则直线与平面的距离等于平面、间的距离
B. 若平面平面，点，则点到平面的距离等于平面、间的距离
C. 两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间距离等于这两个平行平面间的距离
D. 两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
5. 若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（ ）
A. B. C. D. 1

7. 如图，四边形ABCD四点共圆，其中BD为直径，，，，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
8. 在△ABC中，|AB|＝4，且|CA|＝|CB|，则△ABC面积的最大值是
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多项选择：本大题共4小题，每小5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有只有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分．
9. 下列关于直线，点，与平面的关系推理正确的是（ ）
A. ，，，
B. ，，，
C. ，
D. ，
10. 已知正方体的棱长为，则（ ）
A. 正方体的外接球体积为 B. 正方体的内切球表面积为
C. 与异面的棱共有4条 D. 三棱锥与三棱锥体积相等
11. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 函数的最大值为
12. 已知三棱锥的所有棱长都为2，且球O为三棱锥的外接球，点M是线段BD上靠近D点的四等分点，过点M作平面截球O得到的截面面积为S，则S的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大顺共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 已知sinθ＝－，3π<θ<，则tan＝____.
14. 已知函数，区间上有___________个零点.
15. 在中，角所对的边分别为，且，则的取值范围是___________.
16. 如图，点A是半径为1的半圆O的直径延长线上的一点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边，则四边形的面积的最大值为___________.

四、解答题：本大题共6小题，共中17题满分10分，其余各题满分12分．
17. 已知复数，其中为虚数单位.
（1）若z是纯虚数，求实数m值：
（2）若，设，试求的值.



18. （1）已知，且是第三象限角，求的值；
（2）已知，，求及的值．




19. 已知，其中，．
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，若，，求的值．






20. 已知：直四棱柱所有棱长均为2，.在该棱柱内放置一个球，设球的体积为，直四棱柱去掉球剩余部分的体积为.

（1）求三棱锥的的表面积；
（2）求最大值.（只要求写出必要的计算过程，不要求证明）















21. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.











22. 在△ABC中，，，，Q为△ABC内一点，．
（1）若，求；
（2）若，求．













新教材高一数学第二学期期末试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小给出的四个选项中，只有一个符合题目更求．
1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为，所以，所以，
所以，
所以复数在复平面内所对应的点的坐标为；
故选：A
2. 如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中，,.则原平面图形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可．
【详解】，则是等腰直角三角形，
∴，
又，，∴，
在直角坐标系中作出原图形为：

梯形，，，高，
∴其面积．
故选：A
【点睛】
方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为，原图形面积为，则．
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】由，得，再由,可得，即可得结果.
【详解】因为，所以，解得．
又因，，所以．，，
所以．
故选：D
4. 有如下命题，其中错误的命题是（ ）
A. 若直线，且，则直线与平面的距离等于平面、间的距离
B. 若平面平面，点，则点到平面的距离等于平面、间的距离
C. 两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
D. 两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
【答案】C
【解析】【分析】根据线线距离、线面距离、面面距离定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，若直线，且，则直线与平面的距离等于平面、间的距离，故A正确；
对于B，若平面平面，点，则点到平面的距离等于平面、间的距离，故B正确；
对于C，当两条平行直线所在的平面与两个平行平面垂直时则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离，当两条平行直线所在的平面与两个平行平面不垂直时，则这两条直线间的距离不等于这两个平行平面间的距离，故C错误；
对于D， 两条异面直线分别在两个平行平面内，则异面直线间的距离等于这两个平行平面间的距离，异面直线间距离往往转化为平行平面间的距离，故D正确.
故选：C.
5. 若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】【详解】 ,
所以 原式，
故选C.
点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用.
本题主要考查两角和与差的公式.
6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角，由此可求.
【详解】因为，又，所以，
所以，又，所以，
所以，又，所以，
所以，
所以，
故选：A.
7. 如图，四边形ABCD四点共圆，其中BD为直径，，，，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】先在利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求出直径，进而利用直角三角形求出、，再利用三角形的面积公式进行求解.
【详解】在中，因为，，，
所以由余弦定理，得，
由正弦定理，得；
和中，
，，
又，所以的面积为.
故选：C.
8. 在△ABC中，|AB|＝4，且|CA|＝|CB|，则△ABC面积的最大值是
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】【分析】设，设，则，根据余弦定理求出，可得，根据面积公式可得，令，根据辅助角公式可得，其中，由可求得结果.
【详解】设，设，则，
由余弦定理得，，
显然，，，
令，则，
所以，其中，
所以，解得．所以，
此时，，，．满足．
所以．
故选：B．
【点睛】本题考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了辅助角公式，
二、多项选择：本大题共4小题，每小5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有只有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分．
9. 下列关于直线，点，与平面的关系推理正确的是（ ）
A. ，，，
B. ，，，
C. ，
D. ，
【答案】ABD
【解析】【分析】对于选项A，可推出，所以选项A正确；
对于选项B，，两点必定在与交线上，所以可得到，所以选项B正确；
对于选项C，点可以在直线与平面的交点处，即，所以选项C错误；
对于选项D，必定在平面内，所以可得到，所以选项D正确；
【详解】解：由题意可知，
对于选项A，，两点均在直线上，且，两点均在平面内，则可推出，所以选项A正确；
对于选项B，，两点既在内，又在内，则必定在与交线上，所以可得到，所以选项B正确；
对于选项C，点在直线上，但是直线不在平面内，则点可以在直线与平面的交点处，即，所以选项C错误；
对于选项D，点在直线上，直线在平面内，则必定在平面内，所以可得到，所以选项D正确；
故选：ABD．
10. 已知正方体的棱长为，则（ ）
A. 正方体的外接球体积为 B. 正方体的内切球表面积为
C. 与异面的棱共有4条 D. 三棱锥与三棱锥体积相等
【答案】ACD
【解析】【分析】对于A、B：正方体外接球的半径,内切球的半径，代入球体的体积和表面积公式计算；对于C：根据异面直线的定义进行判定；对于D：利用等体积转换处理．
【详解】∵正方体外接球的半径,内切球的半径∴正方体的外接球体积为，内切球表面积为A正确，B不正确；与异面的棱有，共有4条，C正确；∵，则三棱锥与三棱锥的高，底面积，故体积相等，D正确；故选：ACD．



11. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 函数的最大值为
【答案】BC
【解析】【分析】利用诱导公式化简可得A错误，B正确；
化简已知等式得到，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出求得结果，知C正确；
利用诱导公式化简整理得到，由此可知最大值为，知D错误.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，
，C正确；
对于D，
，
当时，，D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.
12. 已知三棱锥的所有棱长都为2，且球O为三棱锥的外接球，点M是线段BD上靠近D点的四等分点，过点M作平面截球O得到的截面面积为S，则S的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】【分析】求出三棱锥的外接球半径，可知截面面积的最大值为，当球心到截面的距离最大时，截面面积最小，此时球心到截面的距离为，截面圆的半径的最小值为，进而可求出截面面积的最小值，然后可得答案
【详解】因为三棱锥是正四面体，棱长为2，所以将其放置于正方体中，可得正方体的外接球就是三棱锥的外接球，
因为三棱锥的棱长为2，所以正方体的棱长为，
可得外接球直径为，所以，
所以截面面积的最大值为，
因为点M是线段BD上的点，
所以当球心到截面的距离最大时，截面面积最小，
此时球心到截面的距离为，为等腰三角形，
过点作的垂线，垂足为，
由，得，
所以，
则所得截面半径的最小值为，
所以截面面积的最小值为，
所以截面面积的范围为
故选：BC

三、填空题：本大顺共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 已知sinθ＝－，3π<θ<，则tan＝____.
【答案】-3
【解析】【分析】根据角θ的范围，求出cosθ后代入公式tan＝计算即可.
【详解】由sinθ＝－，3π<θ<，得cosθ＝，从而tan＝＝＝-3.
故答案为：-3
14. 已知函数，在区间上有___________个零点.
【答案】
【解析】【分析】由三角恒等变换公式化简，转化为两函数的交点个数求解
【详解】令，
函数､的图象如图所示

由图可知，两个函数在区间上有6个交点，即在区间上有6个零点．
故答案为：6
15. 在中，角所对的边分别为，且，则的取值范围是___________.
【答案】（1，3）
【解析】【分析】由三角形的内角范围可得0＜A，cosA＜1，运用正弦定理和三角函数的二倍角的正弦公式和余弦公式，结合余弦函数的单调性，可得所求范围．
【详解】由B＝3A，可得C＝π﹣A﹣B＝π﹣4A，由0＜B＜π，0＜C＜π，
可得0＜A，则cosA＜1，
==2cos2A+cos2A＝4cos2A﹣1，
由cosA＜1，可得cos2A＜1，即有1＜4cos2A﹣1＜3，则的取值范围为（1，3），
故答案为：（1，3）
【点睛】关键点点睛：关键是将利用正弦定理转化为角A的函数，注意角的范围
16. 如图，点A是半径为1的半圆O的直径延长线上的一点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边，则四边形的面积的最大值为___________.

【答案】
【解析】【分析】设，表示出的面积及的面积，进而表示出四边形的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解．
【详解】四边形的面积的面积的面积，设，

则的面积
面积，
四边形的面积
，
故当，即时，四边形的面积最大值为，
故答案为：．
【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
四、解答题：本大题共6小题，共中17题满分10分，其余各题满分12分．
17. 已知复数，其中为虚数单位.
（1）若z是纯虚数，求实数m的值：
（2）若，设，试求的值.
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】根据复数的定义以及复数相等的意义即可求解.
【小问1详解】若z是纯虚数，则，解得；
【小问2详解】若，则 ，∴ ，
∴，，∴；综上，，.
18. （1）已知，且是第三象限角，求的值；
（2）已知，，求及的值．
【答案】（1）（2）
【解析】【分析】（1）求出cosθ，利用余弦和角公式即可求；
（2）根据正切的和差角公式即可求.
【详解】（1）∵，且是第三象限角，∴，
∴.
（2）∵，∴，
，
∵，∴，∴.
19. 已知，其中，．
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，求的值．
【答案】（1）最小正周期为，最小值为 （2）
【解析】【分析】（1）向量内积展开后利用倍角公式和辅助角公式整理成正弦型函数，并根据正弦函数图像性质得解；
（2）根据函数值先求出，利用正弦定理将边化角，结合，以及两角和的正弦公式和诱导公式解出答案.
【小问1详解】

∴的最小正周期为，
∵，∴的最小值为，∴函数的最小值为．
【小问2详解】，
∴，∴或，∴或（舍去)
∵，∴．
∴

20. 已知：直四棱柱所有棱长均为2，.在该棱柱内放置一个球，设球的体积为，直四棱柱去掉球剩余部分的体积为.

（1）求三棱锥的的表面积；
（2）求的最大值.（只要求写出必要的计算过程，不要求证明）
【答案】（1）； （2）.
【解析】【分析】（1）求出三棱锥的的各个面的面积即得解；
（2）设直四棱柱的体积为，当球半径R最大时，最大时，取到最大值，求出最大值即得解.
【小问1详解】解：因为直四棱柱，
所以 ，为三棱锥的的高，
由，所有棱长为2，为等边三角形，所以，
中，
中，过作于，
.

【小问2详解】解：设直四棱柱体积为，
所以,所以当最大时，取到最大值，
即求棱柱内放置一个球体积最大，即球半径R最大，
若球与棱柱侧面相切，则半径R即为菱形的内切圆半径，
连接与交于点，，
中，，
若球与棱柱上、下底面相切，则半径为，，
所以球半径最大为，此时球体积最大，.
，，
此时.

21. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.
（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.
【小问1详解】及，
，化简得，
，又，.
【小问2详解】由（1）可得


为锐角三角形，
且，，.
，，
故的取值范围为.
22. 在△ABC中，，，，Q为△ABC内一点，．
（1）若，求；
（2）若，求．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）在△ABC中由余弦定理得长度,△QBC中，
由正弦定理得,在△AQC中，由余弦定理得.
（2）根据几何图形,得到角之间的关系,然后在△QBC中，由正弦定理即可求解.
【小问1详解】在△ABC中，，，，
由余弦定理得：，
即，则即，
所以．
在△QBC中，由正弦定理得：，即，
解得，所以，所以，所以，
在△AQC中，由余弦定理得：，
即，所以．
【小问2详解】因为，，所以，
设，则，所以，
在Rt△AQB中，，
在△QBC中，由正弦定理得：，即，
所以，，
解得：．