2023年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷01（含考试版+全解全析+参考答案）

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2023年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01考生须知1. 考生要认真填写考场号和座位序号.2. 本试卷共8页，分为两个部分，第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分 （选择题 60分）一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分．在每题四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{2,3}，则∁UM＝（　　）A．∅ B．{2，3} C．{1，4} D．{2，3，4}【答案】C解：M ＝{2，3}，则∁UM＝{1，4}．故选：C．2．若复数z＝（1﹣i）（2+i）（i为虚数单位），则z的虚部为（　　）A．﹣1 B．﹣i C．﹣2 D．1【答案】A解：∵z＝（1﹣i）（2+i）＝2+i﹣2i﹣i2＝3﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：A．3．sin300°的值为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：sin300°＝sin（360°﹣60°）＝﹣sin60°＝﹣，故选：D． 4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（　　）A．y＝0 B． C．y＝x2 D．y＝2x【答案】D解：选项A，y＝0既是奇函数又是偶函数，不符合题意；选项B，y＝是奇函数，不符合题意；选项C，y＝x2是偶函数，不符合题意；选项D，y＝2x是非奇非偶函数，符合题意．故选：D． 5．已知，且，则（　　）A． B． C． D．【答案】D解：因为，，所以，所以，所以．故选：D． 6．已知log23＝a，log25＝b，则log1815＝（　　）A． B． C．﹣a+b﹣1 D．a+b﹣1【答案】B．解：∵log23＝a，log25＝b，∴log1815＝＝＝，故选：B． 7．在△ABC中，“”是“”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A解：在△ABC中，若A＝，则sinA＝sin＝，即“”⇒“”，反之，在△ABC中，若sinA＝，则A＝或，故由“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A． 8．＝（　　）A． B． C． D．【答案】B解：，故选：B． 9．棱长为1的正方体的外接球的表面积为（　　）A． B．3π C．12π D．16π【答案】B解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则，故，所以．故选：B．10．已知不同平面α，β，γ，不同直线m和n，则下列命题中正确的是（　　）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β C．若m⊥n，m⊥α，则n∥α D．若m∥α，n∥α，则m∥n【答案】A解：对于A，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故A正确；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能垂直，平行，故B不正确；对于C，若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故C不正确；对于D，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行，异面，相交，故D不正确；故选：A．11．学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（　　）A．87分 B．88分 C．85分 D．90分【答案】B．解：8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，因为8×75%＝6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即（分）．故选：B．12．函数的最小正周期为（　　）A． B．π C．2π D．4π【答案】C．解：，所以该函数的最小正周期为，故选：C．13．函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（　　）A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【答案】C．解：直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，由＞＞＞，故选：C．14．已知正数m，n满足2m×4n＝2，则的最小值为（　　）A．3 B．5 C．8 D．9【答案】D解：由正数m，n满足2m×4n＝2，即2m×22n＝2m+2n＝2，所以m+2n＝1，所以，当且仅当，即时，取得等号．故选：D．15．不等式2x2+5x﹣12＜0的解集为（　　）A． B． C． D．【答案】B．解:由2x2+5x﹣12＜0可得（2x﹣3）（x+4）＜0，解得，因此，原不等式的解集为．故选：B．16．已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是（　　）A． B． C． D．【答案】B．解：因为是单位向量，，向量的夹角为，所以在上的投影向量是||cos＝8×（﹣）＝﹣4．故选：B．17．在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（　　）A．估计该校有40%的学生在2小时内完成课后作业 B．抽取的学生中有10人不能在4小时内完成课后作业 C．抽取学生课后完成作业时间的100个数据的中位数在区间（2，2.5）内 D．抽取学生课后完成作业时间的100个数据的众数一定在区间（2，2.5）内【答案】B．解：对于A，估计该校在2小时内完成作业的学生占比是0.1×0.5+0.3×0.5＝0.20＝20%，故A错误；对于B，抽取的学生不能在4小时内完成课后作业的人数是100×（0.1×0.5+0.1×0.5）＝10（人），故B正确；对于C，抽取学生课后完成作业时间的100个数据中，第一、第二、第三组频率和为0.1×0.5+0.3×0.5+0.5×0.5＝0.45＜0.5，前四组频率和为0.45+0.4×0.5＝0.65＞0.5，所以中位数在区间（2.5，3）内，故C错误；对于D，学生课后完成作业时间的100个数据的众数不能由直方图确定，故D错误．故选：B．18．若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是（　　）A．4π2 B．3π2 C．2π2 D．π2【答案】A解：由题意可得侧面展开图的边长为2π×1＝2π，所以侧面展开图的面积为（2π）2＝4π2，故这个圆柱的侧面积是4π2．故选：A．19．已知函数在其定义域上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）A．a≥0 B．a≤1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1【答案】D【解答】解：由题意得，解得0≤a≤1．故选：D．20．某中学为了落实五育并举，全面发展学生的素质，积极响应党的号召，开展各项有益于德、智、体、美、劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、高三（2）班两个班级在某次活动中的德、智、体、美、劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（　　）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5 B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分 C．各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大 D．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高【答案】D解：高三（1）班德、智、体、美、劳各项得分依次为9.5，9.5，9，9.5，9.25，高三（2）班德、智、体、美、劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5．对于A：高三（2）班五项评价得分的极差为9.5﹣8.5＝1，A错误；对于B：两班的德育得分均为9.5，两者相等，B错误；对于C：两班的德育得分相差9.5﹣9.5＝0；两班的智育、体育和美育得分相差均为9.5﹣9＝0.5，两班的劳育得分相差9.25﹣8.5＝0.75，故两个班的劳育得分相差最大，C错误；对于D：高三（1）班得分的平均数为×（9.5+9.25+9.5+9+9.5）＝9.35，高三（2）班得分的平均数为×（9.5+8.5+9+9.5+9）＝9.1，∵9.35＞9.1，∴高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高，D正确．故选：D．  第二部分（非选择题  共40分）二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）21．已知向量，，且，则m＝　       ．【答案】1或﹣5．解：因为，所以m（m+2）﹣（5﹣2m）＝0，整理得m2+4m﹣5＝0，解得m＝1或m＝﹣5．故答案为：1或﹣5．22．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是　         　．【答案】∃x0∈R，x02﹣x0+2＜0 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是：“∃x0∈R，x02﹣x0+2＜0”．故答案为：∃x0∈R，x02﹣x0+2＜0． 23．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 　  　．【答案】解：扇形中，弧长为l＝30，直径为d＝16，扇形的圆心角弧度数是α＝＝＝．故答案为：．  24．写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________．①；②；③任取，，，．【答案】（答案不唯一）解：由题设，的对称轴为直线，在上单调递增，故可设，由，得，解得，故符合要求．故答案为：(答案不唯一)． 三、解答题（共4小题，每小题7分，共28分，每题写出必要的解题过程和步骤）25．（本小题满分7分）已知幂函数（m∈N*）的图象经过点．（1）试求m的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f（1+a）＞f（3﹣）的实数a的取值范围．【答案】（1）（1，9]（2）根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．解：（1）∵幂函数f（x）的图象经过点，∴＝，即m2+m＝2，解得：m＝1或m＝﹣2，∵m∈N*，故m＝1，故f（x）＝，x∈[0，+∞）；（2）∵f（x）在[0，+∞）递增，由f（1+a）＞f（3﹣），得，解得：1＜a≤9，故a的范围是（1，9]． 26．（本小题满分7分）已知，，．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的值域．【答案】（1）π（2）[-1,2] 解：(1)∵，∴的最小正周期．由，，解得，故函数的对称轴方程为，．(2)时，可得：，当时，函数取得最小值为．当时，函数取得最大值为．所以函数在区间上的值域为． 27．（本小题满分7分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB＝6，BC＝8，AC＝10，BB1＝3，E为A1C1的中点，过A、B、E的平面与B1C1交于点F．（1）求证：点F为B1C1的中点；（2）四边形ABFE是什么平面图形？说明理由，并求其面积．【答案】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理，证明A1B1∥平面ABFE，A1B1∥EF，可得点F为B1C1的中点；（2）四边形ABFE是直角梯形，先判断四边形ABFE是梯形；再判断梯形ABFE是直角梯形，从而计算直角梯形ABFE的面积．解：（1）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABFE，∴A1B1∥平面ABFE，又EF⊂平面A1B1C1，∴A1B1∥EF，又E为A1C1的中点，∴点F为B1C1的中点；（2）四边形ABFE是直角梯形，理由为：由（1）知，EF∥AB，且EF＝A1B1＝AB，∴四边形ABFE是梯形；又侧棱B1B⊥底面ABC，∴B1B⊥AB；又AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC，又B1B∩BC＝B，∴AB⊥平面B1BCC1；又BF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥BF；∴梯形ABFE是直角梯形；由BB1＝3，B1F＝4，∴BF＝5；又EF＝3，AB＝6，∴直角梯形ABFE的面积为S＝×（3+6）×5＝．28．（本小题满分7分）阅读下面题目及其解答过程．已知函数，（1）求与的值；（2）求的最大值．解：（1）因为，所以＝    ①    ．因为，所以＝    ②    ．（2）因为时，有，而且，所以在上的最大值为    ③    ．又因为时，有，而且    ④    ，所以在（0，＋∞）上的最大值为1．综上，的最大值为    ⑤    ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“”或“”）．空格序号选项①A．（－2）＋3＝1           B．②A．2＋3＝5        　　       B．③A．3               　　　　　   B．0④A．        　　　   B．⑤A．1                  　　　　　B．3 【答案】（1）①A   ；   ②B；（2）③A     ； ④A     ； ⑤B．【解析】【详解】解：因为，（1）因为，所以，因为，所以（2）因为时，有，而且，所以在上的最大值为．又因为时，有，而且，所以在上的最大值为1．综上，的最大值为．