浙江省宁波市2022年中考数学试卷（有答案+考点范围分析）

这是一份浙江省宁波市2022年中考数学试卷（有答案+考点范围分析），共25页。


浙江省宁波市2022年中考数学试卷
阅卷人

一、选择题(每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) (共10题；共40分)
得分

1．（4分）（2022·宁波）-2022的相反数是（　　）
A．2022 B．−12022 C．-2022 D．12022
2．（4分）（2022·宁波）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a=a4 B．a6÷a2=a3 C．(a2)3=a5 D．a3·a=a4
3．（4分）（2022·宁波）据国家医保局最新消息，全国统一的医保信息平台已全面建成，在全国31个省份和新疆生产建设兵团全域上线，为1360 000 000参保人提供医保服务，医保信息化标准化取得里程碑式突破．数1360 000 000用科学记数法表示为（　　）
A．1.36×107 B．13.6×108 C．1.36×109 D．0.136×1010
4．（4分）（2022·宁波）如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是(　　)

A． B． C． D．
5．（4分）（2022·宁波）开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温(℃)
36.2
36.3
36.5
36.6
36.8
天数(天)
3
3
4
2
2
这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为(　　)
A．36.5℃，36.4℃ B．36.5℃，36.5℃
C．36.8C，36.4℃ D．36.8℃，36.5℃
6．（4分）（2022·宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为(　　)
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
7．（4分）（2022·宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE=AD，DF=2，则BD的长为(　　)

A．22 B．3 C．23 D．4
8．（4分）（2022·宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗，问故米几何？”意思为： 50 斗谷子能出30斗米，即出米率为 35 ．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原米有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为(　　)
A．x+y=10x+35y=7 B．x+y=1035x+y=7
C．x+y=7x+35y=10 D．x+y=735x+y=10
9．（4分）（2022·宁波）点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上。若y1 A．m>2 B．m> 32 C．m<1 D．32 10．（4分）（2022·宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　　)

A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积
C．△BEF的面积 D．△AEH的面积
阅卷人

二、填空题(每小题5分，共30分) (共6题；共30分)
得分

11．（5分）（2022·宁波）请写出一个大于2的无理数：　 　
12．（5分）（2019·云南）分解因式：x2-2x+1=　 　.
13．（5分）（2022·宁波）一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　
14．（5分）（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a ⊗ b= 1a+1b ．若(x+1) ⊗ x= 2x+1x ，则x的值为　 　
15．（5分）（2022·宁波）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为　 　

16．（5分）（2022·宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y= 62x (x>0)的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为 92 时， EFOE 的值为　 　，点F的坐标为　 　．

阅卷人

三、解答题(本大题有8小题，共80分) (共8题；共80分)
得分

17．（8分）（2022·宁波）
（1）（4分）计算：(x+1)(x-1)+x(2-x)．
（2）（4分）解不等式组： 4x−3>92+x≥0
18．（8分）（2022·宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．

（1）（4分）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．(画出一个即可)
（2）（4分）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．
19．（8分）（2022·宁波）如图，正比例函数y= −23 x的图象与反比例函数y= kx (k≠0)的图象都经过点A(a，2)．

（1）（4分）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）（4分）若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
20．（10分）（2022·宁波）小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）（3分）这5期的集训共有多少天？
（2）（3.5分）哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？
（3）（3.5分）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你的想法．
21．（10分）（2022·宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．

(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)
（1）（5分）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
（2）（5分）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
22．（10分）（2022·宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系，每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）（5分）求y关于x的函数表达式．
（2）（5分）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少下克？
23．（12分）（2022·宁波）
（1）（4分）【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．
（2）（4分）【尝试应用】
如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求 DEBC 的值．
（3）（4分）【拓展提高】
如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．

24．（14分）（2022·宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．

（1）（4.5分）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）（4.5分）求证：△BDE≌△FDG．
（3）（5分）如图2，AD为⊙O的直径．
①当 AB 的长为2时，求 AC 的长．
②当OF：OE=4：11时，求cosα的值．

答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-2022的相反数是2022.
故答案为：A.

【分析】根据相反数的定义可知，只有符号不同的两个数互为相反数，依此求解即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 a3和a不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、a6÷a2=a6-2=a4， 不符合题意；
C、 (a2)3=a2×3 =a6，不符合题意；
D、 a3·a=a4 ，符合题意.
故答案为：D.

【分析】根据合并同类项的法则计算判断A；进同底数幂的除法运算判断B；进行幂的乘方的运算判断C；进行同底数幂的除法运算判断D.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解： 1360 000 000 = 1.36×109 .
故答案为：C.

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：∵球的俯视图一个大圆，圆柱的俯视图也是一个小圆，
∴该几何体的俯视图是两个同心圆.
故答案为：C.

【分析】视线由上向下看所得的视图是俯视图，观察该几何体，即可作出判断.
5．【答案】B
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】解：∵36.5℃出现4天，次数最多，
∴众数为36.5℃，
∵3+3=6<7，3+3+4=10>8，
∴中位数=36.5+36.52=36.5°C.
故答案为：B.

【分析】根据众数的定义在这组数中找出出现次数最多的数即是众数；根据中位数的定义，这组数的中位数是按从小到大的顺序排列的第7和第8个数的平均数.
6．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积=12cl=12×2π×4×6=24 πcm2 .
故答案为：B.

【分析】圆锥的侧面积=底面周长和母线乘积的一半，依此列式计算，即可解答.
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形， D为斜边AC的中点，
∴AD=BD=CD，
∵AE=AD，
∴AE=BD，
∵D为AC的中点，F为EC的中点，
∴DF为△ACE的中位线，
∴AE=2DF=4，
∴BD=AE=4.
故答案为：D.

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出AD=BD=CD，结合AE=AD，得出AE=BD，然后由中位线定理求出AE的长，则可求出BD长.
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则x+y= 10；
已知谷子出米率为35，则来年共得米x+35y= 7；
x+y=10x+35y=7 .
故答案为：A.

【分析】根据“原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗“和“谷子出米率为35“，分别列出二元一次方程组，组成方程组即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵点A (m-1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上 ，
∴y1=(m-1-1)2+n ， y2=(m-1)2+n ，
∵y1 ∴(m-1-1)2+n<(m-1)2+n ，
整理得：-2m+3<0，
∴m>32，
故答案为：B.

【分析】把A、B点坐标代入函数式，根据y1 10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设MD=m，MH=n，则MH=m-n，

∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
∴2AP+2(PG-PH)=2AP+2（m-n）=4m，
∴AP=m+n，
∴阴影部分面积=S矩形ABCD-2S△ADH-2S△AEB
=(2m+n)(2m-n)-2×12(m-n)(2m+n)-2×12(2m-n)m
=2mn，
∵正方形纸片的面积=m2，四边形EFGH的面积=n2，△BEF的面积=12mn， △AEH的面积=12n(m-n) ；
∴△BEF的面积=14阴影部分面积，
∴一定能求出△BEF的面积.
故答案为：C.

【分析】设设MD=m，MH=n，则MH=m-n，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，列式求出AP=m+n，然后根据面积的和差表示图中阴影部分的面积，再整理化简，再用m、n分别表示出四个选项的面积，即可作出选择.
11．【答案】π（答案不唯一）
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：∵π>2，且π是无理数，
故答案为：π（答案不唯一）.

【分析】根据π是无理数，且π>2，即可解答.
12．【答案】（x-1）2
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：x2-2x+1=（x-1）2。
故答案为：（x-1）2。
【分析】利用完全平方公式直接分解因式即可。
13．【答案】511
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵有5个红球和6个白球，
∴从袋中任意摸出个球是红球的概率P=55+6=511.
故答案为：511.

【分析】根据概率公式，利用红球的个数除以球的总数，即可求出答案.
14．【答案】−12
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】 解：由题意得： (x+1)⊗x=1x+1+1x，
∴1x+1+1x=2x+1x，
∴1x+1=2，
解得x=-12.
故答案为：-12.

【分析】根据新定义的运算法则得出(x+1)⊗x=1x+1+1x，则可列出方程1x+1+1x=2x+1x，然后求解，即可得出答案.
15．【答案】32 或 65
【知识点】勾股定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，

∵圆与AC相切于点A，
∴OA⊥AC，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∴ AC=4，
在Rt△AOC中，
∵OA2+AC2=OC2，即r2+4= (4-r)2，
解得：r=32，
∴AD=AO=32；
②当∠ADC=90°时，
∵S△AOC=12OC×AD=12OA×AC，
AD=AO.ACOC，
∵AO=32，AC=2，OC=4-r=52，
∴AD=65，
综上所述，AD的长为32 或 65.
故答案为：32 或 65.

【分析】连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，分两种情况讨论，即①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，在Rt△AOC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；②当∠ADC=90°时，根据等面积法解答即可.
16．【答案】12；（ 332 ，0）
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，

设点B (b，62b )，DB (a，62a )，
由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，
∴OI=BI，
∴DI=CI，
∴CIBI=DIOI，
∵∠CID=∠BIO，
∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI=∠BOI，
∴CD∥OB，
∴S△BOD=S△AOB=12S矩形AOCB=922，
∵S△BOE=S△DOG=12|k|=32，
S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，
∴S梯形BEGD=S△BOD=922，
∴1262a+62ba−b=922，
∴2a2-3ab-2b2=0，
解得：a=2b，a=-b2（舍去），
∴D（2b，32b） ，
在Rt△BOD中，OD2+BD2=OB2，
∴2b2+32b2+2b−b2+62b−32b2=b2+62b2，
∴b=3，
∴B(3，26)，D(23，6)，
∵直线OB的解析式为：y=22x，
∴直线DF的解析式为：y=22x-36，
当y=0时，22x-36=0，
∴x=332，
∴F(332，0)，
∵OE=3，OF=332，
∴EF=OF-OE=32，
∴EFOE=12，
故答案为：12，（ 332 ，0）.
【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B (b，62b )，DB (a，62a )，由矩形的面积求出△BOD的面积，将△BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而列出关于a， b的等式，由此求出a， b的关系，在Rt△BOD中，根据勾股定理建立方程，则可求出B， D两点的坐标，再可求出直线OB的解析式，从而求出直线DF的解析式，令y=0，求出F点坐标，再根据线段的和差求出OE、EF长，最后作比即可.
17．【答案】（1）解：原式=x2-1+2x-x2
=2x-1
（2）解：解不等式①，得x>3，
解不等式②，得x≥-2，
所以原不等式组的解是x>3．
【知识点】整式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)根据平方差公式将第一项展开，进行整式的乘法运算将第二项展开，然后进行整式的加减混合运算，即可得出结果；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
18．【答案】（1）解：答案不唯一。

（2）解：如图

【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】(1)以AB为腰或以AB为底，根据等腰三角形的性质，找出C点的位置，再连线即可；
(2)根据菱形四边相等的性质，找出点D和点E的位置，再连线即可.
19．【答案】（1）解：把A(a，2)的坐标代入y= −23 x，得2= −23 a，
解得a=-3，
∴A (-3，2)，
把A (-3，2)的坐标代入y= kx ，得2= k−3，
解得k=-6，
∴反比例函数的表达式为y= −6x；
（2）n的范围为 n>2或n<-2.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：(2)∵点P（m，n）在反比例函数图象上， 且它到y轴距离小于3，
∴-3 当m=-3时，n=−6−3=2，
当m=3时，n=−63=-2，
∴若点P (m，n)在该反比例函数图象上， 且它到y轴距离小于3， n的范围为 n>2或n<-2.
【分析】(1)把A(a，2)代入正比例函数式求出A点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数式即可；
(2)观察图象先确定出m的范围，再结合函数关系式和图象确定出n的取值范围即可.
20．【答案】（1）解：4+7+10+14+20=55 (天)，
答：这5期的集训共有55天．
（2）解：11.72-11.52=0.2 (秒)．
答：第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒．
（3）解：个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下降；集训的时间为10天或14天时，成绩最好等． (言之有理即可)
【知识点】条形统计图；折线统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】(1)根据图中的信息，求出这5期的集训的天数之和即可；
(2)观察折线统计图可得第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多进步的时间根据折线统计图计算即可；
(3)根据图中的信息和题意，说明自己的观点，如从集训时间的长短来分析跟成绩的关系，答案不唯一.
21．【答案】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9，
∴ AB= BDcos∠ABD=9cos53° ≈ 90.6 =15 (m)．
答：此时云梯AB的长为15m．
（2）解：∵AE=19，DE=BC=2，
∴AD=AE-DE=19-2=17．
在Rt△ABD中，BD=9，
∴AB= AD2+BD2=172+92 = 370 (m)，
∵370 <20，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】(1)在Rt△ABD中， 根据锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
(2)根据题意可得DE=BC= 2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再和20m进行比较，即可判断.
22．【答案】（1）解：由题意，y=4-0.5(x-2)．
∴y=-0.5x+5 (2≤x≤8，且x为整数)．
（2）解：设每平方米小番茄产量为w千克，
w=x(- 0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x-5)2+12.5．
∴当x=5时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可列出函数表达式；
(2)设每平方米小番茄产量为w千克，根据“产量=每平方米种植株数×单株产量”列出函数关系式，再根据二次函数性质求最大值，即可解答.
23．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，
∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．
∴DGBF=AGAF，EGCF=AGAF
∴DGBF=EGCF
∵BF=CF，
∴DG= EG．
（2）解：由(1)得DG=EG，
∵CG⊥DE，
∴CE=CD=6．
∵AE=3，
∴AC=AE+CE=9．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴DEBC=AEAC=13
（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．
在▱ABCD中，

BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．
∵EG∥BD，
∴由(1)得ME=GE，
∵EF⊥EG，
∴FM=FG=10，
∴∠EFM=∠EFG．
∵∠EGF=40° ，
∴∠EFG=50°．
∵FG平分∠EFC，
∴∠EFG=∠CFG=50° ，
∴∠BFM= 180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．
∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=5 3 ，
∵∠MBN=45°，MN⊥BN，
∴BN= MN=5，
∴BF=BN+FN=5+ 53．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)由DE∥BC，证明△ADG~ △ABF，△AEG~△ACF，根据相似比的性质列出比例式，结合BF=CF，即可得出结论；
(2)由(1)得DG=EG，CG⊥DE，求出△DCE是等腰三角形，得出EC的长，则可求出AC长，由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC．利用三角形相似比的性质，即可求出DEBC 的值；
(3)延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N，根据（1）的方法求出ME=GE，构造出等腰三角形MFG，求出MF的长，根据直角三角形的性质求出∠EFG的度数，则可求出∠CFG，然后根据平角的定义求出∠BFM=30°，最后根据含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN、FN的值，即可得出BF的长.
24．【答案】（1）解：∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α，①
又∵∠AFB+∠BFD=180°，②
②-①，得2∠BFD=180°-α，
∴∠BFD=90°- α2
（2）证明：由(1)得∠BFD=90°- α2 ，
∵∠ADB=∠ACB=α，
∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°- α2
∴DB=DF．
∵FG∥AC，
∴∠CAD=∠DFG．
∵∠CAD=∠DBE，
∴∠DFG=∠DBE．
∵BE=FG，
∴△BDE≌△FDG (SAS) ．
（3）解：①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG=∠BDE=α，
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α．
∵DE=DG，
∴∠DGE= 12 (180°-∠FDG)=90°- α2 ，
∴在△BDG中，∠DBG= 180°-∠BDG-∠DGE= 90°- 3α2
∵AD为⊙O的直径，
∵∠ABD=90°．
∴∠ABC=∠ABD-∠DBG= 3α2
∴AC 与 AB 的度数之比为3：2．
∴AC 与 AB 的长度之比为3：2，
∵AB =2，
∴AC =3．
②如图，连结BO．

∵OB= OD，
∴∠OBD=∠ODB=a，
：∠BOF=∠OBD+∠ODB=2α．
∴∠BDG= 2α，
∴∠BOF=∠BDG．
∵∠BGD=∠BFO= 90°- α2 ，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴DGOF=BDBO =k．
∵OFOE=411
∴设OF=4x，则OE=11x，DE=DG= 4kx，
∴OB=OD=OE+DE=11x+4kx，
BD=DF=15x+4kx，
∴BDBO=15x+4kx11x+4kx=15+4k11+4k
由 15+4k11+4k =k，得4k2+7k-15=0，
解得k1= 54 ，k2=-3(舍)，
∴OD= 11x+4kx=16x，BD=15x+4kx=20x，
∴AD=2OD=32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB= BDAD=20x32x=58
∴cosα= 58
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)根据条件得出∠AFB-∠BFD=∠ACB=α，∠AFB+∠BFD=180°，两者联立即可求解；
(2)利用(1)的结论，FGIIAC、BE= FG，利用SAS证明△BDE≌△FDG，即可得证；
(3)①用含α的代数式表示∠ABC=∠ABD-∠DBG= 3α2，再根据同圆中圆周角的度数比等于弧长比，则可求AC的长；②连结BO，证明△BDG∽△BOF，设△BDG与△BOF的相似比为k，OF=4x，然后分别表示出OE、DE 、DG的长度，根据相似比的性质求出k值，从而表示出AD和BD长，最后在Rt△ABD中，根据余弦的定义计算，即可求解.

试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布
客观题（占比）
40.0(26.7%)
主观题（占比）
110.0(73.3%)
题量分布
客观题（占比）
10(41.7%)
主观题（占比）
14(58.3%)
2、试卷题量分布分析
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
选择题(每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
10(41.7%)
40.0(26.7%)
填空题(每小题5分，共30分)
6(25.0%)
30.0(20.0%)
解答题(本大题有8小题，共80分)
8(33.3%)
80.0(53.3%)
3、试卷难度结构分析
序号
难易度
占比
1
普通
(58.3%)
2
容易
(29.2%)
3
困难
(12.5%)
4、试卷知识点分析
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
三角形的中位线定理
4.0(2.7%)
7
2
简单事件概率的计算
5.0(3.3%)
13
3
相反数及有理数的相反数
4.0(2.7%)
1
4
几何图形的面积计算-割补法
9.0(6.0%)
10,16
5
直角三角形的性质
5.0(3.3%)
15
6
科学记数法—表示绝对值较大的数
4.0(2.7%)
3
7
解直角三角形
12.0(8.0%)
23
8
等腰直角三角形
12.0(8.0%)
23
9
解分式方程
5.0(3.3%)
14
10
圆的综合题
14.0(9.3%)
24
11
合并同类项法则及应用
4.0(2.7%)
2
12
二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
4.0(2.7%)
9
13
切线的性质
5.0(3.3%)
15
14
同底数幂的乘法
4.0(2.7%)
2
15
平行四边形的性质
12.0(8.0%)
23
16
中位数
4.0(2.7%)
5
17
反比例函数与一次函数的交点问题
8.0(5.3%)
19
18
因式分解﹣运用公式法
5.0(3.3%)
12
19
众数
4.0(2.7%)
5
20
圆锥的计算
4.0(2.7%)
6
21
直角三角形斜边上的中线
4.0(2.7%)
7
22
简单组合体的三视图
4.0(2.7%)
4
23
利用统计图表分析实际问题
10.0(6.7%)
20
24
解直角三角形的应用
10.0(6.7%)
21
25
一次函数的实际应用
10.0(6.7%)
22
26
二次函数图象上点的坐标特征
4.0(2.7%)
9
27
菱形的性质
8.0(5.3%)
18
28
反比例函数系数k的几何意义
5.0(3.3%)
16
29
解一元一次不等式组
8.0(5.3%)
17
30
无理数的认识
5.0(3.3%)
11
31
矩形的性质
9.0(6.0%)
10,16
32
二元一次方程组的应用-古代数学问题
4.0(2.7%)
8
33
等腰三角形的性质
8.0(5.3%)
18
34
条形统计图
10.0(6.7%)
20
35
定义新运算
5.0(3.3%)
14
36
整式的混合运算
8.0(5.3%)
17
37
二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
4.0(2.7%)
9
38
同底数幂的除法
4.0(2.7%)
2
39
相似三角形的判定与性质
31.0(20.7%)
16,23,24
40
勾股定理
5.0(3.3%)
15
41
等腰三角形的判定与性质
12.0(8.0%)
23
42
反比例函数图象上点的坐标特征
8.0(5.3%)
19
43
二次函数的其他应用
10.0(6.7%)
22
44
正方形的性质
4.0(2.7%)
10
45
三角形全等的判定（SAS）
14.0(9.3%)
24
46
待定系数法求反比例函数解析式
8.0(5.3%)
19
47
分析数据的集中趋势
4.0(2.7%)
5
48
幂的乘方
4.0(2.7%)
2
49
折线统计图
10.0(6.7%)
20
50
锐角三角函数的定义
14.0(9.3%)
24