重庆市第八中学校2023届高三下学期高考适应性月考（七）数学试卷（含答案）

这是一份重庆市第八中学校2023届高三下学期高考适应性月考（七）数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市第八中学校2023届高三下学期高考适应性月考（七）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、若集合，, 则 (   )A. B. C. D.2、若复数 ( i是虚数单位), 则 对应的点在(   )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第风象限3、若向量 , 满足,, 则 (   )A. B. C. 8 D. 124、已知函数, 若 是函数 图象的一条对称轴, 则其图象的一个 对称中心为(   )A. B. C. D.5、文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简单的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个“”，两个“”和两个“”.把它们从上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为“”，同一种图形不相邻，那么可以传递的信息数量有(   )A. 8 个 B. 10 个 C. 12 个 D. 14 个6、若 为奇函数, 则 (   )A.2 B.-2 C. D.7、半径均为R 的四个球两两之间有且仅有一个公共点，在以四个球心为顶点的三棱锥的内部放一个小球，小球体积的最大值为(   )A. B. C. D.8、若,,, 则(   ) A.  B. C. D.二、多项选择题9、已知,,, 则(   )A.  B.C.  D.10、如下图，点 A, B,C, P,Q是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面ABC的有(   )A.  B. C.  D. 11、已知抛物线, 过焦点F 的直线l 与 C交于 ,两点, ,E与F 关于原 点对称, 直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,, 则 (   )A.  B.C.  D.12、函数 与 的定义域为R, 且,. 若的图像关于点 对称. 则 (   )A.的图像关于直线 对称 B.C.的一个周期为 4 D.的图像关于点对称三、填空题13、设随机变量, 若, 则 的最大值为______14、若直线 与圆心为C 的圆 相交于A,B 两点, 则 _______.15、已知正实数x,y 满足, 则 的最小值为_______.16、已知点在函数的图象上, 过点 P作曲线 的两条切线,, 若 , 的倾斜角互补, 则 _______.四、解答题17、记数列 的前n 项和为, 且.(1)若,, 求;(2)若是等差数列, 证明:.18、已知的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,,.(1)求 A;(2) M为内一点, AM的延长线交BC 于点D, ________, 求的面积.请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.①的三个顶点都在以M 为圆心的圆上, 且;②的三条边都与以 M为圆心的圆相切, 且.19、如图, 在三棱锥中, 平面ABC,,,, 点 Q满足 平面ABC,, 且 Q在平面ABP 内的射影恰为的重心.（1）求直线BQ 与平面ABP 所成角的正弦值；（2）求点B 到平面APQ 的距离.20、某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A，B，C，D 四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A，B，C，D 四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A 种疫苗后，再为居民们接种，记第n 位居民（不包含张医生）接种A，B，C，D 四种疫苗的概率分别为,,,.(1)第2 位居民接种哪种疫苗的概率最大；(2)证明：（3）张医生认为，一段时间后接种A，B，C，D 四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10 位居民接种A，B，C，D 四种的概率，解释张医生观点的合理性.参考数据：,,,21、如图, 平面直角坐标系xOy 中, 直线l 与 y轴的正半轴及 x轴的负半轴分别相交于P,Q 两点, 与椭圆 相交于A,M 两点 (其中M 在第一象限), 且 ,N与M 关于 x轴对称, 延长NP 交㮋圆于点B.(1)设直线 AM,BN的斜率分别为,, 证明: 为定值;(2)求直线AB 的斜率的最小值.22、已知函数, 其中.(1) 若, 讨论 的单调性;(2) 若 不为 的极值点, 求a.
参考答案1、答案： A解析：由已知得，. 所以.故选: A.2、答案： C解析：因为, 则, 因此, 对应的点, 在第三象限. 故选: C.3、答案： A解析：, 得,所以.故选: A.4、答案： A解析：因为 是函数 图象的对称轴,所以, 则 又因为, 所以.令, 得,所以函数 图象的一个对称中心为.故选: A.5、答案： B解析：列举得：,，，，，，，，,共 10 种,故选: B.6、答案： C解析：因为函数 为奇函数,所以 的定义域关于原点对称.若, 则 的定义域不关于原点对称，所以 ，的定义域为 且,从而, 解得.所以, 定义域为.令,得，.经检验, 为奇函数,故选: C.7、答案： D解析：所得三棱雉是边长为 的正四面体, 不妨记为, 令体积最大的小球半径为r, 球心为O, 连接 AO并延长交平面 BCD于点, 则 平面 BCD,为正三角形 BCD的中心, 且, 连 接OC,,则由正弦定理得, 所以,在 中, ,在中, 由 得, 则 所以小球的最大体积为.故选: D.8、答案： B解析：令，, 所以 在 上单调递减, 又, 所以, 即.令, 则, 则, 即,所以.由, 得,所以,综上.故选: B.9、答案： AC解析：由条件, , 所以，，, 故 A 正确, B 错误; 因为, 所以，, 故 C 正确, D 错误, 故选: AC.10、答案： BD解析：对于 A，如下图，连接BD，则又平面, 则 平面ABC, 所以 PQ不平行平面ABC, 故 A 不正确; 对于 B, 因为 ，平面 ABC,平面ABC, 所以 平面ABC, 故 B 正确; 对于 C, 如下图, 取FN 中点D, 连接EF,MN,CD,BD,由正方体得,,，又,，所以 A, B,C,D, P,Q六点共面，故 C 不正确；对于D，如下图，连接PD 交AB 于O ，连接OC ，在正方体中，由于四边形APBD 为正方形，所以O为PD中点，又C为DQ中点，所以，平面ABC ， 平面ABC ，所以平面ABC ，故D 正确.故选：BD.11、答案： BD解析：作 轴于D, 作 轴于C, 则 ，由，, 则，,抛物线 的焦点, 因为, 所以, 即,所以直线l 的斜率存在设为k, 可得直线l 的方程为,与抛物线方程联立, 整理得, 所以,则，,对于 A:，, 所以, 故 A 错误;对于 B: 因为，, 所以所以直线AE 与 BE的倾斜角互补, 即, 故 B 正确;对于 C: 因为, 所以, 即, 因为, 所以, 故C 错误;对于D : 因为，, 所以，, 所以, 所以, 即, 故 D 正确,故选：BD12、答案： AC解析： A 选项: 由, 得, 又, 所以 ，的图像关于 对称, A选项正确;B 选项: 由 的图像关于点 对称, 得, 由A 选项结论知, 所以, 从而, 故, 即 的一个周期为 4 ,因为，，,所以 ，B 选项错误；C 选项: 由, 及,则, 得, 函数 的周期为4,C 选项正确;D 选项: 取，, 又,与 的图像关于点 对称矛盾, D 选项错误,故选: AC.13、答案：3解析：随机变量, 由 可得, 所以 又 ，当且仅当 时, “”成立, 故 的最大值为 3 . 故答案为: 3 .14、答案：解析：过点C 作, 垂足为M, 圆心C 到直线l 的距离为, 所以, 即, 所以. 故答案为: 15、答案：解析：由, 得,令, 则 在R 上单调递增, 所以, 即, 又因为 x,y是正实数,所以,当且仅当, 即 时等号成立, 故答案为: 16、答案：解析：对于函数, 则, 则可设 ， 分别与函数 相切于 ，两点,所以, 即, 解得. 故答案为:.17、答案：(1) 当 时, ,当 时,(2)见解析解析：因为, 所以,即 ①,若，, 则由①得：, 解得 或,当 时, ,当 时,.(2) 证明: 若 是等差数列, 设公差为d,则由①得:,化简得, 即,所以 且, 得证.18、答案：(1)(2)解析：在 中, 因为, 所以,由正弦定理, 得,因为, 所以,化简, 得, 因为, 所以.(2)选条件①:设 的外接圆半径为R,则在 中, 由正弦定理得, 即,由题意知:，,由余弦定理知:,所以，.在 中, 由正弦定理知:,所以,从而, 所以 为等边三角形,的面积.选条件②:由条件知:,由, 得,因为, 所以, 即,由（1） 可得, 即,所以, 即,又因为, 所以,所以 的面积.19、答案： (1)(2)解析：(1)由条件, 以C 为原点, 方向为 x轴的正方向建立空间直角坐标系, 如图. 设,则，，，,则 的重心.设, 则，,因为 平面ABC, 所以, 则, 即.，因为 平面ABP, 且，,所以, 即,又由, 得.解得，.，，所以, 直线BQ 与平面ABP 所成角的正弦值为.(2),设平面APQ 的法向量为,则, 即, 取,又,点B 到平面APQ 的距离.20、答案： (1) 第 2 位居民接种A 疫苗的概率最大(2)见解析(3)张医生的话合理解析: (1)第 1 位居民接种A,B,C,D 疫苗的概率分别为0，，，, 第 2 位居民接种A 疫苗的概率; 第 2 位居民接种B 疫苗的概率; 同理, 第 2 位居民接种C,D 疫苗的概率也等于. 故第 2 位居民接种A 疫苗的概率最大.(2)证明: 由于第n 位居民接种A,B,C,D 疫苗概率分别为,,,,则,同理:,相减得,又,,, 同理可得, 故.(3) 因为, 所以,故数列 是公比为 的等比数列.又由,故,即 ，从而,同理,所以,第 10 位居民接种 A,B,C,D疫苗概率应该相差无几.第 位居民接种 A,B,C,D疫苗概率应该相差将会更小, 所以张医生的话合理.21、答案：(1)(2)解析：设，,由 可得，.直线AM 的斜率,直线BN 的斜率,此时, 所以 为定值.(2) 设,, 直线AM 的方程为, 直线NB 的方程为联立 整理得.由, 可得,所以.同理,.所以,所以.因为,所以, 等号当且仅当 时取得, 所以直线 AB的斜率的最小值为.22、答案： (1)在 上单增, 在 上单减(2)解析：(1)若, 则,,令, 得,, 得,所以 在 上单增, 在 上单减.(2)由 (1) 知, 只需讨论 时的情形,, 其中,令, 则,其中,令, 则,其中 （这里有. 证明: 令, 则, 令, 解得,所以 在 上单增, 在 上单减, 故 )因为, 且,所以 在 上恒成立,所以 在 上恒成立, 即 在 上单增.①当, 即 时, 在 上单减, 在上单增, 此时 在 上恒成立,所以 在 上单增, 不为 的极值点, 符合题意.②当, 即 时, 取, 则当 时,故存在, 使得, 则 在 上单减, 在 上单增, 又因为, 所以 在 上单减, 在 上单增, 此时 为 的极小值点, 不合题意.③当, 即 时, 取,则当 时, 故存在, 使得, 则 在 上单减, 在 上单增,又因为, 所以 在 上单增, 在 上单减, 此时 为 的极大值点, 不合题意.综上所述,.