重庆市第八中学校2023届高三下学期高考适应性月考（六）数学试卷（含答案）

这是一份重庆市第八中学校2023届高三下学期高考适应性月考（六）数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市第八中学校2023届高三下学期高考适应性月考（六）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知集合，，则下列关系中，正确的是(   )A. B. C. D.2、复数，则z的共轭复数的虚部为(   )A. B. C. D.3、斐波那契数列(Fibonaccisequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、….小利是个数学迷，她在设置手机的数字密码时，打算将斐波那契数列的前5个数字1，1，2，3，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小利可以设置的不同密码有(   )A.24个 B.36个 C.72个 D.60个4、如图，大正方形的中心与小正方形的中心重合，且大正方形边长为，小正方形边长为2，截去图中阴影部分后，翻折得到正四棱锥(A，B，C，D四点重合于点P)，则此四棱锥的体积为(   )A. B. C. D.5、重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，5A级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观.现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家5A级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率(   )A. B. C. D.6、在中，，且，，动点M在线段AB上移动，则的最小值为(   )A. B. C. D.7、2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为66个.已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设M个超导量子比特共有N种叠加态，且N是一个20位的数，则这样的M有(   )个.(参考数据：)A.2 B.3 C.4 D.58、已知函数，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，则实数a的取值范围为(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、加斯帕尔·蒙日(如图甲)是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(图乙).已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是(   )A.椭圆C的离心率为 B.椭圆C的蒙日圆方程为C.椭圆C的蒙日圆方程为 D.长方形R的面积最大值为1810、已知函数，且，的最小正周期为T，，则(   )A.  B.C.为奇函数 D.关于对称11、已知，则(   )A. B. C. D.12、记表示与实数x最接近的整数，数列的通项公式为，其前n项和为.设，则下列结论正确的是(   )A. B. C. D.三、填空题13、圆被直线截得的最短弦长为__________.14、将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________.15、设四棱锥的顶点P和底面的四个顶点都在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为__________.16、已知抛物线的焦点为F，点P，Q在抛物线上，且满足，设弦的中点M到y轴的距离为d，则的最小值为__________.四、解答题17、已知等差数列的前n项和为，且，.(1)求，并求的最大值；(2)设数列的前n项和为，求.18、如图所示，已知DOE是半径为，圆心角为的扇形，P为弧上—动点，四边形PQMN是矩形，.(1)求矩形PQMN的面积的最大值及取得最大值时的x值；(2)在中，，，其面积，求的周长.19、如图，在斜三棱柱中，底面ABC是边长为2的正三角形，，侧棱AD与底面ABC所成角为60°.(1)求证：四边形BCFE为矩形；(2)求平面DBC与平面BCFE夹角的余弦值.20、2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行.中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击.据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中.(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值；(3)在(2)的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.21、已知双曲线的实轴长为，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为1.(1)求双曲线C的方程；(2)点P在第一象限，P，Q在直线上，点P，A，B均在双曲线C上，且轴，M在直线上，P，M，B三点共线.从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立：①Q是的中点；②直线过定点.22、已知函数.(1)若在上恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：.
参考答案1、答案：D解析：由已知，，可得或，故集合A不是B的子集，A错误；，C错误；又，，则，则不是的子集，B错误，D正确，故选：D.2、答案：B解析：由已知可得复数，故z的共轭复数为，则其虚部为，故选：B.3、答案：B解析：由题意可知：排列时要求两个1不相邻，则现将数字2，3，5进行全排列，有种；再将两个1进行插空，则有种，所以小利可以设置的不同密码有种，故选：B.4、答案：C解析：如图：取的中点M，连接，连接交于N，如图.由题意知，设，在直角三角形中，.在直角三角形中，，即，所以，化简得，结合，，解得，所以，.过点P作平面，连接ON，如图，则正四棱锥的高，所以正四棱锥的体积.故选：C.5、答案：D解析：由题意可知事件A发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为，事件A，B同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，故，故选：D.6、答案：B解析：解：如图所示：由题意可知为等腰直角三角形，又因为，所以，由，可得N是中点，又因为动点M在线段AB上，设，，则，所以，所以，又因为，所以当时，.故选：B.7、答案：B解析：根据题意，设M个超导量子比特共有中叠加态，也即，两边同时取以10为底的对数得，，所以，因为N是一个20位的数，所以，也即，解得，所以这样的M有64，65，66这3个，故选：B.8、答案：D解析：由题意可知，的定义域为，因为对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，所以函数在上没有最小值，，当时，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，值域为，在内无最小值，因此.当时，令，，，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，显然，即，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图所示：当时，有两个根，，不妨设，当或时，；当或时，；所以在和上单调递减，在和上单调递增.所以在与处都取得极小值，，不符合题意，当时，，当且仅当，时取到等号，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.当时，取得最小值为，不符合题意，综上所述，实数a的取值范围为.故选：D.9、答案：CD解析：由题意可知，，，则椭圆C的离心率为，故A错误；当长方体R的对称轴恰好就是椭圆C的对称轴时，其长为，宽为，所以椭圆C的蒙日圆的半径为，即椭圆C的蒙日圆方程为，故C正确，B错误；设长方体R的长为m，宽为n，则，长方形R的面积为，当且仅当时，取等号，即长方形R的面积最大值为18，故D正确；故选：CD.10、答案：BD解析：对于A：因为，所以为的一个极值点，所以，所以，即，所以，又因为，所以，因为，所以，所以，故选项A错误；对于B：，故选项B正确；对于C：，，即不是奇函数，故选项C错误；对于D：，即关于对称，故选项D正确；故选：BD.11、答案：ABD解析：由得，，由于，所以，所以，因此且，故A正确，，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，故，当时，，所以，故B正确，，当且仅当，时取等号，故，所以C错误，，当且仅当取等号，又，所以，或者，等号成立，故选：ABD.12、答案：BCD解析：由题意，记表示与实数x最接近的整数，且，对于A，当时，可得，，故A错误；对于B，由，即，可得，可得成立，故B正确；对于C，由，可得，平方可得，因为，且不是整数，其中是左侧的最接近的整数，所以成立，所以C正确；对于D，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；……归纳可得数列中，有2个1，4个，6个，8个，……又由2，4，6，8…构成首项为2，公差为2的等差数列，可得其前n项和为，令，，解得，所以，故D正确.故选：BCD.13、答案：解析：由，因此该直线经过点，因为，所以点在该圆内，设圆的圆心为，半径为2，当直线与直线垂直时，所得弦长最短，，则有，故答案为：.14、答案：解析：由题意令，，即2不是数列与的公共项；令，，即4是数列与的公共项；令，，即8不是数列与的公共项；令，，即16是数列与的公共项；依次类推，可得数列：4，16，64，256，…，即是首项为4，公比为4的等比数列，故数列的前n项的和为，故答案为：.15、答案：解析：如图，设底面所在小圆的圆心为，半径为r，四棱锥的外接球半径为，则当垂直于小圆所在平面时，四棱锥的高最大，四边形内接于小圆，当四边形是正方形时面积最大，所以四棱锥是正四棱锥时体积最大，设该正四棱锥的底面边长为a，高为h，，连接，，则为直角三角形，则，即，，，，则，令，，(舍去)，当时，，V在上单调递增，当时，，V在上单调递减，所以当时，V取得最大值，故答案为：.16、答案：1解析：由抛物线可得准线方程为，设，，，由余弦定理可得，由抛物线定义可得P到准线的距离等于，Q到准线的距离等于，M为的中点，由梯形的中位线定理可得M到准线的距离为，则弦的中点M到y轴的距离，故，又，，，，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1，故答案为：1.17、答案：(1)30(2)630解析：(1)等差数列的前n项和为，，解得：，则，，开口向下，对称轴为，则或6时，取最大值，为，即的最大值30；(2)根据(1)可得，令，解得：，.18、答案：(1)的最大值为，此时(2)解析：(1)由题意，，，，，矩形的面积为：，，，当时，即时，的最大值为.(2)由，，因为，，所以，，，，由余弦定理得，，即，，的周长为.19、答案：(1)见解析(2)解析：(1)取的中点P，连接，，如图：在等边中，易知，在中，，则，，平面，，平面，平面，，在三棱柱中，易知，四边形是平行四边形，则，是矩形.(2)取的中点Q，连接，，过D作，如图：则，平面，平面，，故是平面DBC与平面BCFE夹角或其补角，在等边中，，则，在中，，平面，平面，平面平面，平面平面，且，平面，则是侧棱AD与底面ABC所成角，即，在中，，设，化简可得，分解因式可得，解得，即，在中，，故平面DBC与平面BCFE夹角的余弦值为.20、答案：(1)乙(2)(3)分布列见解析解析：(1)甲队进入决赛的概率为，乙队进入决赛的概率为，丙队进入决赛的概率为，因为，所以，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大；(2)因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，所以有，解得，或，因为，所以；(3)由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为、、，的可能取值为0、1、2、3，，，，，所以的分布列为：0123P21、答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)由已知可得，即，双曲线右焦点为，不妨取一条渐近线为，即，则，即得，故双曲线C的方程为.(2)联立，解得或，故(P在第一象限)，若①作为条件，证明②，设，，由题意可知直线斜率一定存在，设直线，由于双曲线渐近线斜率为，故，Q在直线上，Q是的中点，则，，则，，因为P，M，B三点共线，故有，；联立，则，需满足，则，故由，可得，即，，将代入可得，即，，若，则，，此时直线过点，与已知条件不符，故舍去，故只能是，即直线：过定点.若②作为条件，证明①，由题意可知直线斜率一定存在，设直线，，设，，则，联立，则，需满足，则，由，得直线的方程为，令得点，要证Q是的中点，即证：，即，即证，而即，即证，而，故Q是的中点.22、答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)解：由题意，函数，令，因为，可得，且，因为在上恒成立，即在上恒成立，当时，不等式，显然成立，所以等价于在上恒成立，设，，则，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又因为，，，所以在上存在一个零点，设为，所以当时，，可得，单调递增；当时，，可得，单调递减，所以在处取得极大值，且为最大值，由，所以，即实数a的取值范围为.(2)解：由(1)知，当时，不等式恒成立，即，即恒成立，当，且时，可得，所以，所以，所以，又因为，所以.