湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题

长郡中学2021-2022学年度高一第二学期期末考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（    ）

A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知为不共线的非零向量，，，，则（    ）

A. 三点共线 B. 三点共线

C 三点共线 D. 三点共线

3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为，则球的体积为 （    ）

A.  B.  C.  D.

5. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为

A.  B.

C.  D.

6. 在四棱柱中，平面，，底面是边长为4的菱形，且，，，是的中点，则点到平面的距离为（    ）

A. 2 B. 1 C.  D. 3

7. 四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ）．

A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2

C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8

8. 已知m，n异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则

（  ）

A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β

C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 2022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中错误的是（    ）

A. 2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降

B. 2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加

C. 2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

D. 2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6%

10. 已知向量，则（    ）

A.  B. 若，则 C. 若，则 D.

11. (多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则（    ）

A. A，M，N，B四点共面

B. 平面ADM⊥平面CDD1C1

C. 直线BN与B1M所成角为60°

D. BN∥平面ADM

12. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A. 角C可以为锐角 B.

C. 最小值为 D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为______.

14. 某次海上联合作战演习中，红方一艘侦查艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦查艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角的余弦值为______.

15. 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为______.

16. 如图，在直三棱柱中，点为棱上的点.且平面，则________.已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．

（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；

（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．

18. 设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）设μ＝，求证：μ为纯虚数.

19. 如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

20. 某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头天的日用水量频数分布表

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

21. 记的内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，且

（1）证明：；

（2）若，求.

22. 如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，F为PA的中点，，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.

（1）求证：平面DEF；

（2）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.