2023年云南省楚雄州楚雄市中考数学一模试卷（含解析）

2023年云南省楚雄州楚雄市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  据教育部消息，目前我国建成世界规模最大职业教育体系，共有职业学校万所，在校生超过万人数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  九章算术是世界数学史上首次正式引入负数的一部中国古代数学著作书中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数如果海平面以上米记作“米”，那么海平面以下米记作(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

3.  如图，，交直线于点，连接，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如果一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某体育用品专卖店在一段时间内销售了双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表则这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列标图中，既是中心对称图形又是轴对称成图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  按一定规律排列的单项式：，，，，，则第个单项式是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在平行四边形中，，是的三等分点，是的中点，，交于点，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为(    )
参考数据：，，
 

A.  B.  C.  D.

12.  如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13.  若有意义，则实数的取值范围为______ ．

14.  根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该物体承受的压强的值为          ．

15.  分解因式：           ．

16.  甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样人，甲采样人所用时间与乙采样人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样人，则可列分式方程为______．

三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，在中，点在边上，，，求证：．

19.  本小题分
某中学为调查学生对火灾逃生知识的了解程度，对全校名学生进行知识测试，将测试成绩分为组，组：，组：，组：，组：，组：，随机抽取部分学生的成绩进行统计，制作了如下统计图：

由图中给出的信息回答下列问题：
______ ， ______ ；
被抽取的甲同学在这次测试中成绩为分，他认为自己的成绩是这次测试抽取样本成绩的中位数，他的观点正确吗？请简要说明理由；
若分以上包括分为优秀，请估计全校名学生中成绩优秀的人数．

20.  本小题分
某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
“随机抽取人，甲恰好被抽中”是______事件；
A.不可能
B.必然
C.随机
若需从这名护士中随机抽取人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．

21.  本小题分
如图，在▱中，，交于点，点，在上，．

求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．

22.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
求一次函数和反比例函数的解析式；
求不等式的解集；
连接并延长，交反比例函数图象于点，连接，求的面积．

23.  本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
抛物线交轴于，两点在的左边，是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
直接写出，两点的坐标；
如图，当时，在抛物线上存在点异于点，使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
如图，直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为求的值用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据正数与负数表示意义相反的量．
所以如果海平面以上米记作“米”，
那么海平面以下米记作“米”．
故选：．
根据正数与负数表示意义相反的量，直接表示即可．
本题考查了负数的含义，理解正数与负数表示意义相反的量是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，

，
故选：．
根据平行线的性质得出，继而得出，根据邻补角即可求解．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质熟练掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个几何体的主视图如下：

故选：．
根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形内角与外角，根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．
正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【解答】
解：多边形的外角和为，
边数，
故这个正多边形的边数是．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：由表知，这组数据中出现次数最多，有次，所以这组数据的众数为．
故选：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

7.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.该图形既是中心对称图形又是轴对称成图形，故本选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方，完全平方公式以及合并同类二次根式的运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式以及同类二次根式，熟记运算法则是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，，，，
系数的规律是：，字母部分都是，
第个单项式是：．
故选：．
分别从系数，字母的指数两个方面进行找规律．
本题考查数字的变化规律，通过观察单项式的系数和字母的指数，找到一般规律是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
∽，
．
，是的三等分点，是的中点，
，，
，即，
．
故选：．
由平行四边形的性质可得出，，进而可证∽，得出结合题意易求出，即可求出．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角形函数的定义是解题关键．根据等腰三角形性质求出，根据角度的正切值可求出．
【解答】
解：，，，
，
，
，
，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，
，，
，
四边形是菱形，
连接交于，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
根据折叠的想找得到，，推出四边形是菱形，连接交于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：有意义，
，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出的范围即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
设，把代入得到反比例函数的解析式，再把代入解析式即可解决问题．
本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：设，
函数图象经过，
，
，
当时，物体所受的压强，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：
原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．
此题考查了提取公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设甲每小时采样人，则乙每小时采样人，根据题意得：
．
故答案为：．
由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】分别根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式化简各部分，再合并计算．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式等知识点的运算．
 

18.【答案】证明：因为，
所以，
在和中，
，
所以≌，
所以． 

【解析】利用平行线的性质得，再利用证明≌，可得结论．
本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：由题意知共有名，
名，
，
，
故答案为：，；
他的观点不正确，理由如下：
总人数为人，则组共人，因此成绩从低到高第名、第名一定在组，但这两名学生成绩的平均数不一定是分，因此他的观点不正确；
人，
答：估计全校名学生中成绩优秀的人数大约为人．
根据组的人数与占比求总人数，作差可求值，根据组的人数与总人数的比值求值即可；
判断中位数，然后根据中位数的定义进行判断即可；
根据，计算求解即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，中位数，用样本估计总体．解题的关键在于从图中获取正确的信息．
 

20.【答案】 

【解析】解：随机抽取人，甲恰好被抽中”是随机事件；
故答案为：；
设甲是共青团员用表示，其余人均是共产党员用表示．从这名护士中随机抽取人，所有可能出现的结果共有种，如图所示：

它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的记为事件的结果有种，
则，
根据随机事件的定义即可解决问题；
从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用表示，其余人均是共产党员用表示．从这名护士中随机抽取人，所有可能出现的结果共有种，然后利用树状图即可解决问题．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：在▱中，，，
．
，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．
 

22.【答案】解：反比例函数 的图象双曲线过点，
，
，
双曲线过点，
，
，
点，
一次函数的图象直线过点，，
则有
，
；
由图可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，
故不等式的解集是：或；
如解图，设与轴的交点为，连接．

当时，．
．
反比例函数和正比例函数的图象直线都关于原点中心对称，
这两个函数图象的交点关于原点中心对称，
．
，
点和点的纵坐标相等，
轴．
．
分别记点，，的纵坐标为，，，
，
，
． 

【解析】待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式；
通过图象找到所要求的解集区域，再通过交点坐标得出解集；
作水平辅助线把图象分割成两个三角形，再求面积．
本题考查待定系数法求解析式、一次函数与反比例函数图象的交点、围成的图形面积，掌握反比例函数的图象和性质是本题关键．
 

23.【答案】证明：如图，连接，则，

，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：如图，过点作，

则，，
，，


四边形是矩形，
，，
，设，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，，舍去，
，
． 

【解析】连接，根据，，推出，得到，根据，推出，得到是的切线；
过点作，得到，根据，，推出四边形是矩形，得到，，设，，得到，，根据勾股定理得到，解得，，得到，推出．
本题主要考查了等腰三角形，圆的切线，垂径定理，矩形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，圆的切线判定和性质定理，垂径定理，矩形判定和性质，勾股定理解直角三角形．
 

24.【答案】解：令，得，
解得或，
，；

，
，
直线的解析式为．
若点在的下方时，
过点作的平行线与抛物线交点即为．
，，
直线的解析式为，
由，解得：，
，
的横坐标为．
若点在的上方时，点关于点的对称点，
过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件．

直线的解析式为，
由，可得，
解得，
，的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点的横坐标为，，；


设点的横坐标为，过点的直线的解析式为，
由，可得，
设，是方程的两根，则，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
同法可得
，
，
，
 

【解析】令，得，解得或，即可求解；
若点在的下方时，由，即可求解；若点在的上方时，点关于点的对称点，过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件，进而求解；
设，是方程的两根，则，得到，进而求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．