2022-2023学年陕西省榆林市绥德中学高二下学期第一次阶段测试数学（文）试题含解析

2022-2023学年陕西省榆林市绥德中学高二下学期第一次阶段测试数学（文）试题

一、单选题

1．设，则=

A．2 B． C． D．1

【答案】C

【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求．

【详解】因为，所以，所以，故选C．

【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．

2．已知集合，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求，再求．

【详解】由已知得，所以，故选C．

【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．

3．已知，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】则．故选B．

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

4．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（    ）

A．甲是教师，乙是医生，丙是记者

B．甲是医生，乙是记者，丙是教师

C．甲是医生，乙是教师，丙是记者

D．甲是记者，乙是医生，丙是教师

【答案】C

【分析】首先可以推断丙是记者，再根据丙的年龄比医生大，推断出乙，即可判断；

【详解】解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，

从而排除和；

由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生．

故选：．

5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A．中位数 B．平均数

C．方差 D．极差

【答案】A

【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．

【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．

则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，

中位数仍为，A正确．

②原始平均数，后来平均数

平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确

③

由②易知，C不正确．

④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．

【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.

6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是

A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生

【答案】C

【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．

【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，

所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，

所以，

若，则，不合题意；若，则，不合题意；

若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．

【点睛】本题主要考查系统抽样.

7．设，为两个平面，则的充要条件是

A．内有无数条直线与平行

B．内有两条相交直线与平行

C．，平行于同一条直线

D．，垂直于同一平面

【答案】B

【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．

【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．

【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．

8．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，的夹角为，，根据得到，得到答案.

【详解】设，的夹角为，，

因为，，

所以，

则，.

故选：B.

9．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可．

【详解】因为为奇函数，∴；

又

，，又

∴，

故选C．

【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．

10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得

，故选A．

【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．

11．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果.

【详解】设点，则①．

又，

②．

由①②得，

即，

，

故选B．

【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．

12．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．

【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．

如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为___________．

【答案】.

【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程

【详解】详解：

所以，

所以，曲线在点处的切线方程为，即．

【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．

14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．

【答案】.

【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知

，即

解得，

所以．

【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．

一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算．

15．函数的最小值为___________．

【答案】.

【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.

【详解】，

，当时，，

故函数的最小值为．

【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．

16．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.

【答案】

【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．

【详解】由余弦定理得，

所以，

即

解得（舍去）

所以，

【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

三、解答题

17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：．

【答案】（1）；

（2）能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【分析】（1）从题中所给的列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；

（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，

所以男顾客对商场服务满意率估计为,

50名女顾客对商场满意的有30人，

所以女顾客对商场服务满意率估计为,

（2）由列联表可知，

所以能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算的值，独立性检验，属于简单题目.

18．已知向量, 设函数.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)

【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可.

【详解】

（Ⅰ）的最小正周期为.

（Ⅱ），，

故当即时，

当即时，

本题主要考查的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一.

【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．

19．已知数列的前项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（Ⅰ）由数列{an}的前n项和Sn满足Sn=，利用，能求出数列{an}的通项公式．

（Ⅱ）推导出，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和．

【详解】解：（Ⅰ）当时，；当时，，符合上式.

综上，.

（Ⅱ）.则，

，

∴，

∴.

【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，点M是SD的中点，且交SC于点N.

(1)求证：∥平面ACM；

(2)求证：平面平面AMN.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）连结BD交AC于E，连结ME，由三角形中位线的性质可得ME∥SB，结合线面平行的性质可得平面ACM；

（2）由线面垂直得线线垂直，由线线垂直证明线面垂直，从而证明面面垂直.

【详解】（1）连结交于，连结，

因为是矩形，所以是的中点，

因为是的中点，所以是的中位线，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）因为底面ABCD，底面ABCD，

所以，又四边形ABCD为矩形，所以，

又，平面SAD，平面SAD，

所以平面SAD，因为平面SAD，所以，

由题意，，点M是SD的中点，所以，

又，平面SCD，平面SCD，

所以平面SCD，因为平面SCD，所以，

又，，平面AMN，平面AMN，

所以平面AMN，又因为平面SAC，所以平面平面AMN.

21．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)求C上的点到l距离的最小值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据题意，由参数方程与普通方程的互化以及极坐标方程与普通方程的互化即可得到结果；

（2）根据题意，由点到直线的距离公式即可得到结果.

【详解】（1）由题意，因为，即，

由，即，所以.

由可得.

（2）设曲线上的点坐标为，

则其到直线的距离

当时，，则，

即C上的点到l距离的最小值为.

22．已知函数，

(1)求函数的单调区间；

(2)若对一切的，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）求导后，利用的正负即可得到函数的单调区间；

（2）参变分离，构造函数，然后利用导数求其最大值即可.

【详解】（1）函数的定义域为，

因为，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）因为，

所以对一切的，恒成立，

即恒成立，

可得，即，

令，其中，

则，

则当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，则，解得，

所以的取值范围为.