2023年云南省昭通市永善县中考数学二模试卷

这是一份2023年云南省昭通市永善县中考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年云南省昭通市永善县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科学记数法表示为（　　）
A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×1010
2．如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是（　　）

A．60° B．80° C．100° D．120°
3．遵义市2019年6月1日的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义市这一天的最高气温比最低气温高（　　）
A．25℃ B．15℃ C．10℃ D．﹣10℃
4．函数y＝和一次函数y＝﹣ax+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，△ABC中，CE交AB于点D，∠A＝∠E，AD：DB＝2：3，AB＝10，ED＝5，则DC的长等于（　　）

A． B． C． D．
6．在2023年“五四青年节”来临之际，实验中学开展“我的青春，我的梦”演讲比赛中，五名选手的成绩及部分统计信息如表：
组员及项目
甲
乙
丙
丁
戊
方差
平均成绩
得分
91
89
□
92
90
□
90
其中被遮住的两个数据依次是（　　）
A． B．88，2 C． D．90，2
7．下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（　　）
A． B． C． D．
8．关于x的分式方程+1＝的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
9．如图，AC＝BC，AD＝BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：①△ACD≌△BCD；②AO＝BO；③AB⊥CD；④∠CAB＝∠ABD．其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
10．下列计算正确的是（　　）
A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
11．观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，
根据其中的规律可得31+32+33+…+32023的结果的个位数字是（　　）
A．0 B．2 C．7 D．9
12．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．已知x2﹣2x+1＝0，则x﹣＝　 　．
14．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长　 　．

15．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是 　 　．

16．如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．先化简，再求值：
，其中．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，A1的坐标为　 　；
（2）再将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2画出△A1B2C2；
（3）求出在（2）的变换过程中，点B1到达点B2走过的路径长．

19．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

20．如果一个两位正整数，某个位数字大于十位数字，则称这个两位数为“两位递增数”（如14，56，37）．在一次趣味数学活动中，参加者需从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取两张，组成一个“两位递增数”
（1）写出所有个位数字是4的“两位递增数”：　 　；
（2）请用列表法或树状图，求组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的概率．
21．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，则▱ABCD的面积是　 　．

22．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．

24．如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．



参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科学记数法表示为（　　）
A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：14.1亿＝1410000000＝1.41×109．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
2．如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是（　　）

A．60° B．80° C．100° D．120°
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可求解．
解：如果∠2＝∠1＝120°，
那么a∥b．
所以要使a∥b，则∠2的大小是120°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
3．遵义市2019年6月1日的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义市这一天的最高气温比最低气温高（　　）
A．25℃ B．15℃ C．10℃ D．﹣10℃
【分析】所求的数值就是最高气温与最低气温的差，利用有理数的减法法则即可求解．
解：25﹣15＝10℃．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需要熟记的内容．
4．函数y＝和一次函数y＝﹣ax+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
解：∵函数y＝和一次函数y＝﹣ax+1（a≠0），
∴当a＞0时，函数y＝在第一、三象限，一次函数y＝﹣ax+1经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项C正确；
当a＜0时，函数y＝在第二、四象限，一次函数y＝﹣ax+1经过一、二、三象限，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
5．如图，△ABC中，CE交AB于点D，∠A＝∠E，AD：DB＝2：3，AB＝10，ED＝5，则DC的长等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据题意得出△BDE∽△CDA，再由相似三角形的对应边成比例求出DC的长即可．
解：∵∠A＝∠E，∠ADC＝∠EDB，
∴△BDE∽△CDA．
∵AD：DB＝2：3，AB＝10，ED＝5，
∴AD＝×10＝4，BD＝10﹣4＝6，
∴＝，即＝，
解得DC＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
6．在2023年“五四青年节”来临之际，实验中学开展“我的青春，我的梦”演讲比赛中，五名选手的成绩及部分统计信息如表：
组员及项目
甲
乙
丙
丁
戊
方差
平均成绩
得分
91
89
□
92
90
□
90
其中被遮住的两个数据依次是（　　）
A． B．88，2 C． D．90，2
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
解：根据题意得：
90×5﹣（91+89+90+92）＝88（分），
则丙的得分是88分；
方差＝[（91﹣90）2+（89﹣90）2+（88﹣90）2+（90﹣90）2+（92﹣90）2]＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
7．下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（　　）
A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解：球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，锻炼了学生的空间想象能力．
8．关于x的分式方程+1＝的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【分析】由关于y的一元一次不等式组有解得到a的取值范围，再由关于x的分式方程+1＝的解为正数得到a的取值范围，将所得的两个不等式组成不等式组，确定a的整数解，结论可求．
解：关于x的分式方程+1＝的解为x＝，
∵关于x的分式方程+1＝的解为正数，
∴a+4＞0，
∴a＞﹣4，
∵关于x的分式方程+1＝有可能产生增根2，
∴，
∴a≠﹣1，
解关于y的一元一次不等式组得，
∵关于y的一元一次不等式组有解，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2，
综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣1，
∵a为整数，
∴a＝﹣3或﹣2或0或1，
∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，确定分式方程的解时，注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．
9．如图，AC＝BC，AD＝BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：①△ACD≌△BCD；②AO＝BO；③AB⊥CD；④∠CAB＝∠ABD．其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【分析】根据题意和图形，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SSS），故①正确；
∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AO＝BO，AB⊥CD，故②③正确；
由已知和图形无法判断∠CAB＝∠ABD，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．下列计算正确的是（　　）
A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方积的乘方以及完全平方公式进行计算即可．
解：a2+2a2＝3a2，因此选项A不符合题意；
a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此选项C不符合题意；
（ab）2＝a2b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方积的乘方以及完全平方公式，掌握计算法则是正确计算的前提．
11．观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，
根据其中的规律可得31+32+33+…+32023的结果的个位数字是（　　）
A．0 B．2 C．7 D．9
【分析】由已知发现末尾数字每四个一组循环，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81四个数的末尾数字之和是0，又由于2020÷4＝505，则可求解．
解：由已知可知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，……
末尾数字每四个一组循环，
∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81四个数的末尾数字之和是0，
又∵2023÷4＝505…3，
∴3+9+27＝39，
∴31+32+33+…+32023的结果的个位数字是9，
故选：D．
【点评】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键．
12．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC﹣S扇形BOE＝图中阴影部分的面积求出即可．
解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAD＝∠EBA＝30°，
∴BE∥AD，
∵的长为π，
∴＝，
解得：R＝4，
∴AB＝ADcos30°＝4，
∴BC＝AB＝2，
∴AC＝BC＝6，
∴S△ABC＝×BC×AC＝×2×6＝6，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝6﹣＝6﹣．
故选：D．

【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．已知x2﹣2x+1＝0，则x﹣＝　±2　．
【分析】先将方程两边都除以x得出x+＝2，再两边平方可得x2+＝10，继而知x2+﹣2＝8，即（x﹣）2＝8，最后两边开方即可得．
解：当x＝0时，x2﹣2x+1＝1≠0，
∴方程x2﹣2x+1＝0的解不是x＝0，
两边都除以x，得：x﹣2+＝0，
则x+＝2，
两边平方，得：x2+2+＝12，
∴x2+＝10，
∴x2+﹣2＝8，即（x﹣）2＝8，
∴x﹣＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握方程的解的概念、分式的性质、完全平方公式等知识点．
14．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长　2+2　．

【分析】根据DE垂直平分AB，可得BE＝AE，进而AE+CE＝BE+CE＝BC＝2，即可求得△ACE的周长．
解：∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴AE+CE＝BE+CE＝BC＝2，
∴△ACE的周长为：AC+AE+CE＝AC+BC＝2+2．
故答案为：2+2．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
15．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是 　①②④　．

【分析】证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；在证明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正确；得出BE＝AF，④正确，③不正确；即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∵DF＝AB，
∴DF＝CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠DFE＝90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△DFA中，，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴S△ABE＝S△ADF；②正确；
∴BE＝AF，④正确，③不正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为　﹣3或6　．

【分析】根据正方形的性质得出另外两个顶点C、D的坐标，继而得出对角线的交点P的坐标，代入解析式求解可得．
解：∵点A（﹣4，0）、B（﹣2，0），
∴点C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），
则对角线AC、BD交点P的坐标为（﹣3，﹣1），
根据题意，将点P（﹣3，﹣1）代入解析式y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1，
得：18+3n﹣n2﹣1＝﹣1，
整理，得：n2﹣3n﹣18＝0，
解得：n＝﹣3或n＝6，
故答案为：﹣3或6．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握正方形的性质找到符合条件的点P的坐标．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．先化简，再求值：
，其中．
【分析】先化简分式，然后代入x求值，根据负整数指数幂、零指数幂以及绝对值计算出x的值．
解：原式＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝，
∵x＝2﹣+2﹣1﹣3+1＝1﹣，
∴原式＝＝﹣+1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，属于基础计算题，熟记计算法则即可解答．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，A1的坐标为　（﹣1，﹣3）　；
（2）再将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2画出△A1B2C2；
（3）求出在（2）的变换过程中，点B1到达点B2走过的路径长．

【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B2、C2，从而得到△A1B2C2；
（3）先计算出A1B1的长，然后利用弧长计算点B1到达点B2走过的路径长．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；A1（﹣1，﹣3）；
故答案为（﹣1，﹣3）；
（2）如图，△A1B2C2为所作；
（3）A1B1＝＝，
所以点B1到达点B2走过的路径长＝＝π．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
19．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；
（2）根据统计表中的数据，可以得到该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好，然后说明理由即可；
（3）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少．
解：（1）∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴a＝7，
由条形统计图可得，b＝（7+8）÷2＝7.5，
c＝（5+2+3）÷20×100%＝50%，
即a＝7，b＝7.5，c＝50%；
（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，
理由：八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃圾分类知识较好；
（3）∵从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，
∴参加此次测试活动成绩合格的学生有1200×＝1080（人），
即估计参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．
【点评】本题考查了条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，掌握数形结合的思想是关键．
20．如果一个两位正整数，某个位数字大于十位数字，则称这个两位数为“两位递增数”（如14，56，37）．在一次趣味数学活动中，参加者需从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取两张，组成一个“两位递增数”
（1）写出所有个位数字是4的“两位递增数”：　14，24，34　；
（2）请用列表法或树状图，求组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的概率．
【分析】画树状图列出所有“两位递增数”，根据概率公式求解可得．
解：画树状图如图所示：

（1）所有个位数字是4的“两位递增数”：14，24，34，
故答案为14，24，34；

（2）一共有10种可能，组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的有4种可能，
所求概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，则▱ABCD的面积是　24　．

【分析】（1）根据已知条件得到AF＝CE，根据平行线的性质得到∠DFA＝∠BEC，根据全等三角形的性质得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△BCG是等腰直角三角形，求得BG＝CG＝4，解直角三角形得到AG＝10，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵CG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∵∠CBG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵BC＝4，
∴BG＝CG＝4，
∵tan∠CAB＝，
∴AG＝10，
∴AB＝6，
∴▱ABCD的面积＝6×4＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了平行相交线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
22．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．
解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，
，解得，，
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；
（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30﹣a）台，
，
解得，10≤a≤12，
∴a＝10、11、12，共有三种采购方案，
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，
方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，
方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；
（3）设总费用为w元，
w＝9000a+6000（30﹣a）＝3000a+180000，
∴当a＝10时，w取得最小值，此时w＝210000，
即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．

【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到结论．
【解答】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH为⊙O的半径，
∵OH⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
在Rt△AOH中，∵tanA＝，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝4x，
∴AO＝＝＝5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，∵tanA＝，
∴BC＝AC•tanA＝8×＝6，
∴OB＝＝＝3．

【点评】本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．

【分析】（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为，进而可知A点坐标为：，代入解析式即可求出k；
（2）①由△OAB为等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根据同角的余角相等可证∠AOE＝∠FBO，由AAS即可证明△OAE≌△BOF；
②由“ZJ距离”的定义可知d（M，N）为MN两点的水平距离与垂直距离之和，故d（A，C）+d（A，B）＝BF+CF，即只需求出B点坐标即可，设点A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．
解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，
∴，即：E点坐标为，
又∵AE⊥y轴，AE＝1，
∴，
∴．
（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠FOB＝90°，
又∵BF⊥y轴，
∴∠FBO+∠FOB＝90°，
∴∠AOE＝∠FBO，
在△OAE和△BOF中，
，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
②解：设点A坐标为（1，m），
∵△OAE≌△BOF，
∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，
∴B（m，﹣1），
设直线AB解析式为：lAB：y＝nx+5，将AB两点代入得：
则．
解得，
当m＝2时，OE＝2，，，符合；
∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，
当m＝3时，OE＝3，，S△AOB＝5＞3，不符，舍去；
综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．
【点评】此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键．