2022-2023学年北京市一零一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年北京市一零一中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知数列为等差数列，若，，则公差等于（    ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】根据等差数列的通项公式直接求解即可.

【详解】由等差数列的通项公式可得，

所以.

故选:C.

2．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等比数列通项公式将展开计算即可.

【详解】，解得.

故选：B.

3．已知函数，则函数的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】利用导数求出的单调区间，从而可得函数的最小值.

【详解】函数的定义域为，且，令,可得.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

故.

故选:B.

4．函数的单调递减区间是    

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，可得和定义域，由，即可求解函数的递减区间.

【详解】由题意，可得，

令，即，解得，即函数的递减区间为.

【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

5．函数的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】利用导数求函数的单调性，易知0是函数的零点，从而可求解.

【详解】记，函数的定义域为，

，故函数在上单调递增.

又，所以函数的零点个数为.

故选:B.

6．设曲线在点处的切线与直线垂直，则

A．2 B． C． D．

【答案】D

【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D

7．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致 （　 ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；

总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；

考察A. D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，

考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A.

故选A.

8．设等比数列的前n项和为，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的求和公式分析判断即可.

【详解】若公比，则当时，成立，

当时，则，

若，则，

因为与同号，

所以当时，成立，

当时，成立，

所以“”是“”的充分必要条件，

故选：C.

9．已知函数，当时，下列关系正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】利用导数明确函数单调性，结合自变量的大小关系即可得到结果.

【详解】由题意得，当时，，所以在上单调递增．

又，所以．

由在上单调递增，可知当时，，所以．

综上，．

故选：A

10．对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为m，且，则n的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】C

【分析】先由条件得出，进而结合等差数列前n项和列出不等式，解不等式即可.

【详解】由递增数列中不大于的项的个数恰为可知，

又，故，

即，解得或，

又，故的最小值为10.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据递增数列中不大于的项的个数恰为m，得出是解决本题的关键.

二、填空题

11．已知函数，则________．

【答案】

【分析】根据复合函数的求导公式直接求解.

【详解】,

所以.

故答案为:.

12．已知数列的前n项和为，若，则________．

【答案】5

【分析】根据与的关系可得，且，可得数列的周期为2，从而可求解.

【详解】在①中，令可得，即.

当时，②，

①-②，，即③,

所以④.

④-③,得，所以数列的周期为2，

所以.

故答案为：5.

13．用铁皮围成一个容积为的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_____．（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）

【答案】

【分析】设该正四棱柱形水箱底面边长为，需用铁皮的面积为，则，

处理方法一：利用导数求函数最值；

处理方法二：三元均值不等式．

【详解】解：设该正四棱柱形水箱底面边长为，则高为，设需用铁皮的面积为，

则，

处理方法一：求导

由得，

当时，，

当时，，

所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，

当时，函数取得最小值，最小值为12，

即需用铁皮的面积至少为．

处理方法二：三元均值不等式

，

当，即时，不等式等号成立．

即需用铁皮的面积至少为．

故答案为：.

14．已知函数在区间的极小值也是最小值，则n的取值范围是________．

【答案】

【分析】利用导数求出函数的单调性，可得的极小值为，又，数形结合即可求解.

【详解】，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增.

所以的极小值为，又，

作出的大致图象如图所示：

因为函数在区间的极小值也是最小值，

由图可知.

故n的取值范围是.

故答案为:.

15．已知an＝(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*， k≥3n－6恒成立，则实数k的取值范围是__．

【答案】

【详解】解：，

，

，

，

，

，

数列前3项单调递增，从第3项起单调递减，

当时，数列有最大值，

故．

故答案为：．

【解析】1．等比数列；2．数列的最值．

16．已知数列满足，，给出下列四个结论：

①数列的前n项和；

②数列的每一项都满足；

③数列的每一项都满足；

④存在，使得成立．

其中，所有正确结论的序号是________．

【答案】②③

【分析】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对②③④进行判断，算出即可判断①.

【详解】，，，

，①错误；

，为单调递减数列，

又因为，所以，所以，②正确；

由可得，即，

又，两边同时除以，可得：

，，… ，，

累加可得，即有，

当时，，所以，④错误；

，，，满足；

由④可知，且时，

，

可得，则，故③正确.

故答案为：②③.

【点睛】思路点睛：

数列中出现大小比较时，若通过原数列或者构造新数列不能找到大小关系，常见思路为对数列进行放缩，通过将数列放缩为一个简单的通项公式再进行大小比较.

三、解答题

17．已知数列的前n项和为，且满足．

(1)若成等比数列，求m的值；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意是公差为2的等差数列，根据已知求并写出通项公式，再根据等比中项性质列方程求参数；

（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n项和公式求.

【详解】（1）由题设，故是公差为2的等差数列，

所以，即，得，

所以，又，则，即.

（2）由（1）知：，

所以.

18．已知函数，其中．

(1)当时，求函数的极小值；

(2)求函数的单调区间；

(3)证明：当时，函数有且仅有一个零点．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求导，求出函数的单调区间，再根据极小值的定义即可得解；

（2）求导，再分，和三种情况讨论，即可得解；

（3）由（2）得当时，在上单调递增，在上单调递减，则函数的极大值为，再利用导数证明极大值即可得证.

【详解】（1）当时，，

，

当或时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的极小值为；

（2），

令，得，

当时，，则函数在上单调递增，

当时，或时，，时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，或时，，时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时，的单调增区间为，无单调减区间；

当时，的单调增区间为，减区间为；

当时，的单调增区间为，减区间为；

（3）由（2）得当时，

在上单调递增，在上单调递减，

则函数的极大值为，

极小值为，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，

所以当时，，

又当时，，当时，，

如图，作出函数的大致图象，

由图可得函数有且仅有一个零点．

【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：

（1）求函数的定义域；

（2）求导数；

（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.

19．已知函数，．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围；

(3)若函数的最小值为，求a的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；

（2）求导，由函数在上存在单调递减区间，可得在上有解，即在上有解，从而可得出答案；

（3）先利用导数分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，进而可求得函数的最小值，再结合题意即可得出答案.

【详解】（1）当时，，则，

故，

所以曲线在点处的切线方程为，即；

（2），

因为函数在上存在单调递减区间，

所以在上有解，

即在上有解，

所以，解得，

所以a的取值范围为；

（3）设，

①当时，，恒成立，

∴恒成立，在上单调递增，函数没有最小值，

②当时，，

令得，

解得，

∴当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴当时，取得极大值，

当时，取得极小值，

∴当时，，

∴，则，

又∵函数的最小值为，

∴函数的最小值只能在处取得，

则,

∴，

令，则，

所以函数在上单调递增，

所以，解得.

【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；

（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；

（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；

（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；

（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.

20．在无穷数列中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为．

(1)设数列为，写出，，，的值；

(2)若为等差数列，求出所有可能的数列；

(3)设，，求的值．（用p，q，A表示）

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据使得成立的的最大值为，结合数列为，分析即可；

（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；

（3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出 的值．

【详解】（1）由使得成立的的最大值为，数列为，

得，则，

，则，

，则，

，则，

所以；

（2）由题意，得，

结合条件，得，

又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，

所以，.，

设，则，

假设，即，

则当时，，当时，，

所以，，

因为为等差数列，

所以公差，

所以，其中，

这与矛盾，

所以，

又因为，

所以，

由为等差数列，得，其中，

因为使得成立的的最大值为，

所以，

由，得；

（3）设，

因为，

所以，且 ，

所以数列中等于1的项有个，即个，

设，

则，且，

所以数列中等于2的项有个，即个，

以此类推，数列中等于的项有个.，

所以

，

即.

【点睛】关键点点睛：本题巧妙得将数列和不等关系融合在一起，理解题目所表达得具体含义是解决本题得关键.