2021-2022学年北京市一零一中矿大分校高二下学期期中考试数学试题（解析版）

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2021-2022学年北京市一零一中矿大分校高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知等差数列中，，公差，则（    ）A．29 B．32 C．26 D．35【答案】A【分析】直接根据等差数列的通项公式进行基本量的求解.【详解】依题意，对于等差数列，，故.故选：A2．已知等比数列的公比为q，前n项和为，若q = 2，，则（    ）A．8 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】由等比数列的基本量运算求得后求得，从而易得．【详解】由题意，，所以，．故选：D．3．函数的导函数（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据除法求导法则以及基本初等函数的求导公式即可求解.【详解】由得，故选：B4．函数的单调递增区间是（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域，再利用导数即可求出函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为，∵，令，则，解得，∴函数的单调递增区间是.故选：C.5．已知某物体运动的位移s关于t的函数为，则当时的瞬时速度为（    ）A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s【答案】D【分析】直接对求导，代入即可得到答案.【详解】因为，所以，所以当时，（m/s）.故选：D.6．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是图中的（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数的图象的增减变化趋势，判断函数取值的正、负，由此判断可得选项.【详解】解：由函数的图象的增减变化趋势，判断函数取值的正、负情况如下表：所以当时，函数的图象在x轴下方；当时，函数的图象在x轴上方；当时，函数的图象在x轴下方．故选：C.7．若函数有唯一零点，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】由导数求得函数的极大值和极小值，三次函数有唯一零点，则极大值小于0或极小值大于0．【详解】，或时，，时，，因此在和上都递增，在上递减，所以极大值，极小值，有唯一零点，则或，解得或．故选：D8．函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由导数法求得函数最小值点，根据区间列不等式求解即可.【详解】由得，则当或，，单调递增；，，单调递减.在区间内存在最小值，故最小值为，又，故有，解得. 故实数a的取值范围是.故选：C.9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．的极小值为 B．的极大值为C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减【答案】B【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值.【详解】因为，所以，令，得或；令，得；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，所以在处有极大值，极大值为；在处有极小值，极小值为.故选：B.10．已知等比数列满足，记，则数列（    ）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求出等比数列的通项公式，进而求出，再由数列最大项、最小项的意义判断作答.【详解】依题意，等比数列的通项公式，，，由知，时，数列是递增的，时，数列是递减的，于是得数列的最大项为，而n为奇数时，，n偶数时，，所以和分别是数列的最大项和最小项.故选：A11．已知成等差数列，成等比数列，则等于（    ）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根据等差和等比数列通项公式可求得公差和公比的平方，由此可得，代入即可得到结果.【详解】设构成的等差数列公差为，构成的等比数列公比为，，，即，，，，.故选：A.12．函数的图像大致是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用函数的零点，极值点，单调性即可解决.【详解】解：由得或，故BD错；又，所以，当或时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以，在处取得极大值，在处取得极小值，故A错.故选：C二、填空题13．过且与曲线相切的直线方程是___________.【答案】【分析】设曲线切点为，对函数求导，点斜式方程，代入即可求出，即可求出答案.【详解】设切点为，曲线，，则切线斜率为直线经过点，则直线，切点在直线上，则或或则直线为.故答案为：.14．函数，设在区间与的平均变化率为a，b，则a，b的大小关系为_______.【答案】a < b##b>a【分析】根据平均变化率的计算公式分别计算出，，进而得出结果.【详解】自变量从1变化到2时，函数的平均变化率为，自变量从3变化到5时，函数的平均变化率为，由于，所以函数在区间的平均变化率比在的平均变化率小，也即.故答案为：.15．已知函数，则_______.【答案】##0.5【分析】由导数的定义与导数的运算公式可得结果.【详解】∵∴∴故答案为：.16．若数列满足：，在数列的通项公式为___________.【答案】【分析】利用累加法，结合等比数列的求和公式进行求解即可【详解】由，则，……，于是故答案为：三、解答题17．已知等差数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前n项和，求正整数n的范围，使得．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件可求出的公差，进而可求得的通项公式；（2）结合（1）可得到，然后解不等式即可求得正整数n的范围．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以；（2）结合（1）可得，令，即，解得或（舍去），所以存在，使得成立，故正整数n的范围为．18．已知函数且在处取得极值.(1)求a，b的值；(2)求函数在的最大值与最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用来求得的值.（2）结合（1）求得在区间上的最值，由此确定正确结论.【详解】（1），依题意，解得.，所以在区间上递增；在区间上递减.所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意.（2），，由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为.19．已知函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)求的单调区间.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用导数求出在处的切线的斜率，再由原函数求出在处的切点，利用直线点斜式直接得出答案；（2）分类讨论，当时，由二次函数性质得出；当时，分为与，由导数得出，最后综合得出答案.【详解】（1）当时，，则，在处的切线的斜率，且，在处的切线方程为，即；（2）当时，，此时在上单调递减，在上单调递增；当时，定义域为，，当时，在定义域上恒成立，此时在上单调递增，无递减区间；当时，由解得，，解得，解得，此时在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为.20．已知函数.（1）当时，判断函数的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域，并求出导数，分别解不等式和，可得出函数的单调递增区间和单调递减区间；（2）由得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，定义域为，且，若，则；若，则，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）若恒成立，则恒成立，，所以分离变量得恒成立，设，其中，则，所以，当时，；当时，.即函数在上单调递增，在上单调递减.当时，函数取最大值，即，所以.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题第一问考查利用导数求函数的单调区间，第二问考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，在求解含单参数的函数不等式恒成立问题时，灵活利用参变量分离法求解，可避免分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.x递减递增递减