2022-2023学年上海市松江一中高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市松江一中高二下学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市松江一中高二下学期期中数学试题 一、填空题1．函数的零点是______．【答案】//【分析】根据零点定义直接求解.【详解】令，解得，所以函数的零点为.故答案为：2．抛物线的准线方程为__________．【答案】【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.【详解】抛物线的准线方程是.【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题.3．函数在区间上的平均变化率为____________.【答案】1【解析】根据平均变化率的概念，得到，简单计算，可得结果.【详解】故答案为：1【点睛】本题考查平均变化率的概念，属基础题.4．设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______．【答案】【分析】将方程配成圆的标准方程形式，根据圆的标准方程即可求解.【详解】方程，即若它表示圆，则，即故答案为：.5．某种型号的飞机从着陆到停止，滑行路程(米)与着陆时间(秒)之间的函数关系为：，则此飞机着陆后滑行秒时的瞬时速度是___________米/秒.【答案】【分析】函数求导，再求得解【详解】,故答案为：6．已知双曲线的离心率为2，则实数______．【答案】12【分析】根据双曲线方程可得出，利用离心率求解.【详解】由双曲线知，，，所以，解得.故答案为：127．已知函数，则的值为__________．【答案】【详解】，，解得，故，故答案为.8．由曲线围成的图形的面积为_______________．【答案】【详解】试题分析：当时，曲线 表示的图形为 以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为，根据对称性，可知由曲线围成的图形的面积为【解析】本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力.点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题.9．若函数在上严格增，那么a的取值范围是______．【答案】【分析】根据函数严格增可知导数不小于0恒成立，分离参数后求最值即可得解.【详解】由题意，在上恒成立，即在上恒成立，而在上严格减，所以，故.故答案为：10．若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】转化为图象交点问题，由直线与双曲线性质求解【详解】即，表示双曲线的一支，表示过点斜率为的直线，由题意得与的图象恰有两个交点，即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时，，联立后由解得，当时，切点在轴下方，舍去，当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，当直线与双曲线的两个交点都在轴上方时，故答案为：11．已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.【答案】【分析】设出点的坐标，探讨出的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把表示为的函数即可作答.【详解】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，从而得，即，设点，而，，则，当且仅当t=1时取“=”，，因此得，即，得，所以的取值范围为.故答案为：12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是______．（填上你认为所有正确的序号）  ①双纽线C关于原点O中心对称；②双纽线C上满足的点P只有1个；③；④的最大值为．【答案】①②④【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于②，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于③，根据三角形的等面积法分析判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断.【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以，用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确，对于②，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即，所以，得，所以这样的点只有一个，所以②正确，对于③，根据三角形的等面积法可知，即，所以，所以③错误，对于④，因为，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值为，所以④正确，故答案为：①②④ 二、单选题13．函数在处的导数等于（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】对求导，将1代入求值即可.【详解】由，故.故选：B14．已知抛物线的焦点为，准线为是过焦点的一条弦，已知点，则（    ）A．焦点到准线的距离为1B．焦点，准线方程为C．D．的最小值是5【答案】D【分析】根据抛物方程可得，及焦点位置可判断AB，利用特殊位置为通径时判断C，再由抛物线定义及三点共线可判断D.【详解】由题设知，所以焦点到准线的距离为2，故A错误；由抛物线的方程知，抛物线焦点在轴上，故B错误；考虑特殊情形，当与轴垂直时，得到，故C错误；作，垂足为，如图，因为,所以，当且仅当 三点共线时等号成立，故D正确．故选：D15．设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题设，根据所过的点可得，结合图象求出极小值点并代入求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设.【详解】由题设，，则，故，所以，令，可得或，由图知：且处有极小值，所以，即，，经验证满足题设，故.故选：B16．已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是（  ）①在黄金椭圆中，；②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则；③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据黄金椭圆的概念及可判断①，根据条件及勾股定理可判断②，根据条件可求内切圆的半径进而可判断③.【详解】对①，因为，所以，则 ，故①正确；对②，因为在中，，由①知，，所以，即，故②正确；对③，由题可知以为顶点的菱形的内切圆是以原点为圆心，设圆心的半径为，所以，代入离心率得到，所以圆过焦点，故③正确．故选：D． 三、解答题17．已知函数的图象过点，且．(1)求a，b的值；(2)求曲线在点处的切线方程．【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据点以及列方程，从而求得的值. （2）利用切点和斜率求得切线方程.【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．又，，所以②，由①②解得：，．（2）由（1）知，又因为，，所以曲线在处的切线方程为，即．18．已知抛物线（）.（1）若上一点到其焦点的距离为3，求的方程；（2）若，斜率为2的直线交于A、B两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据抛物线的定义可得；（2）设出直线的方程为，并代入抛物线，根据韦达定理以及解得，然后求得．【详解】（1）由条件知, 所以的方程为.  （2）设点的坐标分别为、，，则直线的方程为；， ，，所以点的坐标为.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合，利用韦达定理来求参数，属中档题．19．2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米．(1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程；(2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位）【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意求出，即可得出椭圆标准方程；（2）设变轨时，地球位于，根据到原点距离及在椭圆上可得点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离建立不等式求解.【详解】（1）设椭圆的方程为，由题意知，，，解得，，所以，故所求椭圆的方程为：.（2）由（1）知，设变轨时，地球位于，则，又，解得，设过点P的直线方程为，即，由，化简可得解得若使地球与木星不会发生碰撞，则“变轨系数”k的取值范围是.20．已知函数．(1)若在处的切线与x轴平行，求a的值；(2)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；(3)若在区间上恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)当时，无极值点；当时，存在极小值点为，无极大值点.(3) 【分析】（1）根据导数几何意义可得在处的切线斜率为0，即可得；（2）利用导函数对参数进行分类讨论，判断出函数的单调性即可求得极值点；（3）将不等式在区间上恒成立转化成函数在恒成立，利用导数求得当时，成立，即可求得的取值范围.【详解】（1）由题可得，，又切线与x轴平行，所以，即，解得．经检验，当时，在处的切线为，满足题意．所以.（2）易知函数的定义域为，又，则当时，恒成立，在上单调递增，无极值点；当时，令，则，和随的变化如下表：x－0＋极小值此时，存在极小值点为，无极大值点．（3）设，则，当时，，则在上单调递增，，结论不成立；当时，令，则，若，即，和随的变化如下表:x－0＋极小值若在区间上恒成立，则只需.设，，则，所以在上单调递增，，因此在上无解；若，即，，在上单调递减，所以恒成立，综上所述，a的取值范围是．21．已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．    (1)若是的一条渐近线的一个法向量，试求的两渐近线的夹角；(2)若，，，，试求双曲线的方程；(3)在（1）的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，和 【分析】（1）根据渐近线法向量得到方向向量，可得渐近线的斜率，从而可得渐近线倾斜角正切，利用二倍角的正切公式即可求解；（2）求得，代入双曲线的方程，可求得的值，从而可求得双曲线的方程；（3）求得双曲线的方程，运用三点共线的条件，可得的坐标，假设存在点，运用两直线垂直的条件，结合恒等式，可得定点的坐标【详解】（1）因为是的一条渐近线的一个法向量，所以是其中一条渐近线的方向向量，所以，即其中一条渐近线的斜率为，设其倾斜角为，则，且，所以，所以.（2）设，则由条件知：，，即所以，，代入双曲线方程知：双曲线的方程：（3）因为，所以，由⑴知，，所以的方程为：，如图，  令，所以，，令，则，，令，所以，故以MN为直径的圆的方程为：，即，即，若以MN为直径的圆恒经过定点T于是所以圆过x轴上两个定点和