2022-2023学年福建省三明第一中学高二下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年福建省三明第一中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．曲线在处的切线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求导得切线的斜率，由点斜式即可求解直线方程.

【详解】，所以，因此切线的斜率为，

又，由点斜式可得切线方程为，

故选：B

2．有3名防控新冠肺炎疫情的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选择方法共有

（    ）

A．12种 B．9种 C．8种 D．6种

【答案】C

【分析】根据分步计数原理可求.

【详解】每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有2种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有（种）．

故选：C．

3．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由导数求单调递增区间.

【详解】因为定义域是，且，令，解得：，故单调递增区间是，

故选:.

4．函数的大致图像为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数奇偶性、特殊点的函数值、解不等式以及导数来研究函数图像进行判断.

【详解】因为函数，定义域为，

又，

所以为偶函数，故B错误；

由得，，

同理，由得，或，故C错误；

因为，，

所以，故D错误；

因为函数，定义域为，

且当时，，，

由有，，

同理，由，解得，

所以当时，在单调递增，在上单调递减，

又，所以A正确.

故选：A.

5．把一个周长为的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的高为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】根据题意，列出关于圆柱体积的函数，然后求导即可求最值，得到结果.

【详解】设圆柱的高为，底面半径为，则解得，

圆柱的体积为，，

则，

当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

所以当时，取得最大.

故选:C

6．《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有（    ）

A．30种 B．54种 C．60种 D．64种

【答案】B

【分析】分两种情况考虑，均在晚上播放，或者白天一场，晚上一场，求得结果.

【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有种，若白天一场，晚上一场，则有种，故放映这两部电影不同的安排方式共有48+6=54种.

故选：B

7．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.

【详解】函数的定义域为，

因为函数有两个不同的极值点，

所以有两个不同正根，

即有两个不同正根，

所以解得，

故答案为:A.

8．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不等式可转化为对任意恒成立，构造利用导数求出的最小值即可.

【详解】由，则，

因为在上为增函数，所以，即对任意恒成立，

设函数，则，

由可得，由可得，

所以在上为减函数，在上为增函数，所以，

因为对任意的恒成立，所以，

所以.

故选：B．

二、多选题

9．（多选）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ）

A．在上是增函数 B．在上是减函数

C．在上是增函数 D．当时，取得极小值

【答案】CD

【解析】根据，则递增，，则递减判断.

【详解】的图象在上先小于0，后大于0，故在上先减后增，因此A错误；

的图象在上先大于0，后小于0，故在上先增后减，因此B错误；

由图可知，当时，，所以在上单调递增，因此C正确；

当时，，当时，，所以当时，取得极小值，因此D正确．

故选：CD．

10．在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（    ）

A．共有18种安排方法

B．若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排方法

C．若学校需要两名志愿者，则有24种安排方法

D．若甲被安排在学校，则有12安排方法

【答案】BD

【分析】先将四名志愿者分成三组，然后再分到三所学校求方法数即可判断A选项；先挑出一所学校分给甲乙，剩下的两人去剩下的两所学校，然后求方法数即可判断B选项；先给学校挑两名志愿者，剩下的两人去剩下的两所学校，然后求方法数即可判断C选项；分甲一个人在学校和两个人在学校两种情况计算即可判断D选项.

【详解】所有安排方法有，A错误；

若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法，B正确；

若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，C错误；

若甲被安排在学校，则有种安排方法，D正确.

故选：BD.

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．在处取得最大值 B．在上单调递增

C．有两个不同的零点 D．恒成立

【答案】ABD

【分析】利用函数的导数与单调性的关系可判断A,B，根据单调性与最值的关系可判断C，构造函数，利用导数讨论单调性和最值即可判断D.

【详解】函数的定义域为，，

令解得，令解得，

所以在单调递增，单调递减，

所以在处取得最大值，A正确；

在上单调递增，B正确，

，所以函数无零点，C错误；

恒成立即恒成立，

也即恒成立，

令，

令

所以恒成立，所以在单调递增，

所以在存在唯一零点，且，

，即，

当，函数单调递减，

当，函数单调递增，

所以，

当且仅当，但是，所以等号不成立，

所以恒成立，即恒成立，D正确，

故选:ABD.

12．已知（e为自然对数的底数），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用指数函数的单调性，可比较大小，然后将，，变形并构造函数，利用导数判断其单调性，进而比较出，，的大小关系，由此可判断A，B，C，D.

【详解】因为，所以，，．

对，，这三个数先取自然对数再除以，则，，,

设，则，由，解得，

所以在上单调递增，故，

即，则，故，

故选：AD．

三、填空题

13．小明跟父母､爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排．则小明的父母都与他相邻的排法总数为_________．

【答案】12

【分析】根据已知“小明的父母都与他相邻”，可采用捆绑法处理，再整体全排即可.

【详解】小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，

将3人看成一个整体,考虑父母的顺序，有种情况，

将这个整体与爷爷奶奶进行全排列,有种情况，

此时，共有2×6=12种不同坐法；

故答案为：12

14．由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字且比1300大的正整数__________.

【答案】22个

【分析】根据千位为1和不为1，由排列组合即可求解.

【详解】当千位和百位分别为1，3时，则十位和个位有个符合条件的,

当千位和百位分别为1，4时，则十位和个位有个符合条件的,

当千位为不为1时，共有个符合条件的,

故共有个,

故答案为:22个

15．设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围_____________．

【答案】

【分析】首先根据题意得到，，再根据的单调性即可得到答案.

【详解】，因为函数在区间上单调递减，

所以，恒成立，

即，.

又在上单调递减，所以，

故，即，

所以m的取值范围为.

故答案为：.

16．已知奇函数的定义域为，导函数为，若对任意，都有恒成立，，则不等式的解集是__________.

【答案】

【分析】构造新函数，根据的性质推出的性质，最后利用单调性解不等式.

【详解】设，，为奇函数，∴，即是偶函数，有，∵，恒成立，故时，，∴函数在上为增函数，∵，∴，等价于，，且函数在上为增函数，∴，解得.

故答案为：

四、解答题

17．（1）计算：;                         

（2）已知，求.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）利用排列数公式求解即可；

（2）利用组合数的性质求解即可.

【详解】解：（1）;

(2)已知，则或

解得：或，经检验均符合.

故或.

18．已知函数在处取得极小值1.

(1)求实数的值；

(2)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)a＝3，b＝－9

(2)

【分析】（1）对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；

（2）由（1）得到的解析式，利用导数研究其单调性，进而可求出最值，得到值域.

【详解】（1）因为，所以，

根据题意，即

解得a＝3，b＝－9.

（2）由（1）知，，

令，解得或，

当时，及的变化情况如下表：

因此当时，取得最小值，

当时，取得最大值，

故的值域为.

19．（1）某学校文艺汇演准备从舞蹈､小品､相声､音乐､魔术､朗诵6个节目中选取5个进行演出，要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前､小品在后，那么不同的演出顺序共有多少种；

（2）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生.则有多少种不同的分配方法.

【答案】（1）240；（2）150

【分析】（1）先从相声､音乐､魔术､朗诵4个节目中选3个，再把5个节目排列且满足舞蹈在前､小品在后，结合分步乘法计数原理求解；

（2）讨论，两种情况，结合分组问题的解决思路求解即可.

【详解】解：（1）先从相声､音乐､魔术､朗诵4个节目中选3个，有种，

再把5个节目排列且满足舞蹈在前､小品在后，有，总共有种.

（2）根据题意，先把5名医生分成3组再分配，

一是分成然后分配，共有种分配方法，

二是分成然后分配，共有种分配方法，

所以共有种分配方法.

20．已知函数.

(1)讨论单调性；

(2)若函数在上不单调，求的取值范围.

【答案】(1)的单调递增区间为，的单调递减区间为

(2)

【分析】（1）求导，分，，，，讨论求解；

（2）根据函数在上不单调，由在上有不同的解求解.

【详解】（1）函数的定义域为，

（i）当时，，所以时，，此时单调递减；

时，，此时单调递增；

（ii）当时，时，

令，得或，

令，得，

所以的单调递增区间为，

的单调递减区间为

（iii）当时，恒成立，在上单调递增.

（iv）当时，，令，得或，

令，得，

所以的单调递增区间为的单调递减区间为，

综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增.

（2）函数，若函数在上不单调，则在上有不等根.

又，

可得：，

令，

则有，

因为，则有恒成立，

所以在上单调递减，

所以，即，

解得：，则的取值范围为.

【点睛】方法点睛：当函数在某区间上单调时，或；当函数在某区间上不单调时，则在某区间上有不等根求解.

21．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，

(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式；

(2)求出的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域；

（2）对求导，令得或，讨论与区间的位置情况判断的符号，进而确定的单调性，即可求得最大值．

【详解】（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交元，

所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：．

（2）∵，

∴，

令，解得：或，而，则，

①当，即时，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴当时，取最大值；

②当，即时，

当时，，单调递增，

∴当时，取最大值，

综上，

22．已知函数.

(1)证明：；

(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）令，利用导数分析函数的单调性，可得出，即可证得结论成立；

（2）令，其中，由题意可知对任意的恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）证明：令，，，

，由可得，由可得.

所以，函数的减区间为，增区间为，

所以，，故原不等式得证.

（2）解：当时，由可得，

令，其中，

由题意可知对任意的恒成立，

，且，

令，其中，则，

令，其中，则，

所以，函数在上为增函数，则.

①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，

故函数在上为增函数，则且不恒为零，

故函数在上为增函数，则，合乎题意；

②当时，即当时，，

，

所以，存在，使得，

当时，，则，此时函数单调递减，

则当时，，即，故函数在上单调递减，

所以，，不合乎题意.

综上所述，.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键在于通过构造函数，且注意到，转化为恒成立，在确定导数符号时，本题需要二次求导，需要注意每次求导时函数单调性与导数之间的关系.