2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题含解析

2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．若复数满足，则复数的虚部是（    ）

A．－2 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】计算，得到复数的虚部.

【详解】，则.

故复数的虚部是.

故选：C

2．已知空间中不过同一点的三条直线，则“两两相交”是“共面”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由，，，在同一平面，则，，，相交或，，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．

【详解】空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．

所以“，，在同一平面”成立，则“，，两两相交”不一定成立；

而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立．

故“，，两两相交”是“，，共面”的充分不必要条件，

故选：A

【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

3．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A．－4 B．－3 C．4 D．3

【答案】D

【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.

【详解】因为，所以，

当时，，

所以曲线在点处的切线的斜率等于3，

所以直线的斜率等于，

即，解得，

故选:D.

4．已知数列的前项和为.若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由与关系可化简已知等式证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可求得结果.

【详解】由得：，又，

数列是以为首项，为公差的等差数列，

，.

故选：C.

5．已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.

【详解】圆，圆心为，半径，

圆心到直线的距离为，直线和圆相离，

故圆上的点到直线的距离的最小值为.

故选：B

6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以内的素数有四个，而以内的孪生素数有，根据古典概型的概率公式计算即可.

【详解】由题知，

以内的素数有，，，，

则是，，，，

符合孪生素数的有，

则所求概率为.

故选：C

7．设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可.

【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点，

所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为，

设，

联立，整理得，

所以

所以，

因为线段中点的横坐标为，

所以，所以，

所以，

故选：B.

8．关于的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则假命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【分析】确定甲或乙为假命题，丙丁为真命题，假设甲为真命题，得到矛盾，得到答案.

【详解】根据题意：甲乙丙中有矛盾，其中有一个假命题；甲乙丁中有矛盾，其中有一个假命题；

故甲或乙为假命题，丙丁为真命题.

假设甲为真命题，是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为，

与丁矛盾，假设不成立，故甲为假命题.

假设乙为真命题，是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为，

满足条件.

综上所述：甲为假命题.

故选：A.

9．若椭圆的离心率为，则的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】考虑和两种情况，根据离心率的公式计算得到答案.

【详解】当时，离心率为，解得；

当时，离心率为，解得.

综上所述：或.

故选：D

10．以下判断正确的是（    ）

A．的充要条件是

B．若命题：，，则：，

C．命题“在中，若，则”的否命题为假命题

D．“”是“函数是偶函数”的充要条件

【答案】D

【分析】当，A错误，为，，B错误，确定否命题为真命题，C错误，根据偶函数定义得到D正确，得到答案.

【详解】对选项A：当时，成立，无意义，错误；

对选项B：为，，错误；

对选项C：否命题为在中，若，则，

若，则，故，为真命题，错误；

对选项D：若，则为偶函数，

，函数定义域为，函数关于对称，

函数为偶函数，故，即，正确.

故选：D

11．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】关于的不等式在上恒成立可转化为在上恒成立，分情况讨论的范围，利用导数研究函数的单调性与极值及最值，即可得出结论.

【详解】由题知，在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，恒成立，；

当时，恒成立，

令，则，

令，得，

令，得，令，得，

则，可得；

当时，恒成立，

此时，故只需，即；

综上，的取值范围为.

故选：D

12．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，确定，根据二次函数性质得到最值.

【详解】，设，

则，，

当时，最大为.

故选：B

13．已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案.

【详解】，即，圆心，；

，即，圆心，半径；

两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故，

即，

.

当且仅当，即，时等号成立.

故选：A

14．已知函数的定义域为，其导函数是. 有，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性与定义域可求得原不等式的解集.

【详解】构造函数，其中，则，

所以，函数在上单调递减，

因为，则，由可得，

即，所以，，解得，

因此，不等式的解集为.

故选：A.

二、填空题

15．某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为________．

【答案】4

【分析】先算抽样比，然后由大型城市数乘以抽样比可得.

【详解】，应抽取的大型城市个数为个．

故答案为：4．

16．若样本数据，，…，的方差为100，则数据，，…，的方差为________.

【答案】900

【分析】由方差的性质直接写出答案即可.

【详解】样本数据，，…，的方差为100，

数据，，…，的方差为.

故答案为：

17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，交另一条渐近线于，且为的中点，则双曲线的渐近线方程为________.

【答案】

【分析】根据垂直得到直线的斜率为，根据中位线平行得到，确定，得到渐近线方程.

【详解】根据对称性，不妨设与渐近线垂直，则直线的斜率为，

为的中点，为中点，，则，即，

整理得到，故渐近线方程为.

故答案为：.

18．已知的三个内角，，的对边分别为，，，，且，则面积的取值范围为_________.

【答案】

【分析】根据正弦定理化简已知表达式，再结合余弦定理即可求得，表达面积，再用基本不等式即可求得.

【详解】因为，

则由正弦定理得：，化简得，

因为，代入化简得，，则，

所以，面积；

又，解得，当且仅当时，等号成立，

所以，故三角形面积的取值范围是.

故答案为：

19．已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，若点，是线段的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.

【答案】

【分析】由点，是线段的三等分点, 得出, 结合对称性得出B 点坐标,最后应用点在椭圆上计算得出离心率.

【详解】

由已知可知，点，是线段的三等分点，则 为 的中点，右焦点为，所以,

所以 x 轴，由椭圆方程 得A 点的坐标为,,

关于 对称，易知 B 点坐标

将其代入椭圆方程得得，

所以离心率为.

故答案为： .

20．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算，得到，解得答案.

【详解】，，取得到，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

，取，则或，

函数在上有最小值，则，

解得，即.

故答案为：

三、解答题

21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图的频率分布直方图.

(1)求直方图中a的值；

(2)估计居民月均用水量的中位数；

(3)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由.

【答案】(1)0.30

(2)

(3)162000，理由见解析

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求解；

（2）利用中位数的定义求解；

（3）利用样本估计总体.

【详解】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为,

同理，在中的频率分别为

.

由，

解得.

（2）由频率分布直方图得：

,

,

所以中位数应落在，

设中位数为x，则，解得，

估计居民月均用水量的中位数约为.

（3）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于2.5吨的频率为

.

由以上样本的频率分布，

可以估计全市60万居民中月均用水量不低于2.5吨的人数为

22．如图，在四棱锥中，，，，平面平面.

(1)求证：平面；

(2)设，，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，结合等腰三角形三线合一、面面垂直和线面垂直性质可得；又，由线面垂直的判定可证得结论；

（2）利用勾股定理可求得，根据，结合棱锥体积公式可求得结果.

【详解】（1）取的中点，连接，

，为中点，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，，

，，，

，平面，平面.

（2）由（1）知：平面，

平面，，又，，，

，为等腰三角形，，，

.

23．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为6.

(1)求动圆圆心的轨迹方程；

(2)设不与轴垂直的直线与点的轨迹交于不同的两点，.若，求证：直线l过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设动圆圆心为，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；

（2）设，将其和轨迹C联立，得到根与系数的关系，代入，可得的关系，代入，即可找到定点．

【详解】（1）设动圆圆心为，，到x轴距离为，x轴截得半弦长为3,

则，化简得；

所以动圆圆心M的轨迹方程为.

（2）易知直线l的斜率存在，设，则

由，得，

,

由韦达定理有：，.

从而，

即，则,

则直线，

故直线过定点.

24．已知函数有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围.

（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.

（3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.

【答案】（1）（2）（3）没有最小值.见解析

【解析】（1）先求得函数的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.

（2）根据（1）求得，求得的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.

（3）由（2）假设，，则，求得的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即没有最小值.

【详解】（1）定义域为，.

因为有两个不同的极值点，且，

所以有两个不同的正根，，解得.

（2）因为，不妨设，所以，，

所以

.

令，则，

所以在上单调递增，所以，

即的极大值与极小值之和的取值范围是.

（3）由（2）知.因为，

所以，

所以.

因为，所以

.

令，则，

所以在上单调递减，无最小值，

故没有最小值.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.