2022-2023学年陕西省西安市长安区高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市长安区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合或，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据补集和交集定义直接求解即可.

【详解】，.

故选：C.

2．下列函数中，与函数是同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依次判断各个选项中的函数与已知函数的定义域和解析式是否相同即可得到结果.

【详解】由题意知：的定义域为；

对于A，的定义域为，，

与不是同一函数，A错误；

对于B，的定义域为，，

与是同一函数，B正确；

对于C，的定义域为，与不是同一函数，C错误；

对于D，的定义域为，与不是同一函数，D错误.

故选：B.

3．函数图象的一个对称中心是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用整体法列式得，求解并对赋值，即可得答案.

【详解】利用整体法得，，

解得，令，，

令，，

所以函数的对称中心有，.

故选：C

4．在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】假设指数函数图象正确，结合对数函数单调性和处函数值的正负可得到正确图象.

【详解】对于AB，若图象正确，则，单调递减，

又时，，A正确，B错误；

对于CD，若图象正确，则，单调递增，CD错误.

故选：A.

5．要得到的图像，只需要将的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】先利用余弦的倍角公式化得，再利用三角函数的平移变换即可得到结果.

【详解】根据题意，得，

又因为，

所以向右平移个单位长度可得到，即.

故选：D.

6．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解，

【详解】由题意可知恒成立．

①当时，恒成立；

②当时，，解得．

综上：．

故选：C

7．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（，结果精确到0.1）（    ）

A．2.7 B．2.9 C．3.1 D．3.3

【答案】C

【分析】根据题意列出关于的式子，根据对数的运算性质即可求解.

【详解】设注射个小时后需要向病人血液中再次注射该药品，则，

由得：

故的最大值为3.1,

故选：C

8．函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ）

A．， B．是奇函数

C．直线是的对称轴 D．函数在上单调递减

【答案】C

【分析】根据已知函数图象求得的解析式，再根据三角函数的奇偶性、对称性、以及单调性，对每个选项进行逐一判断，即可选择.

【详解】根据的函数图象可知，的最大值为2，又，故；

又，即，则，又，故；

又，即，解得，

故可得；又，则，又，故当时，；

故

对A：由上述求解可知，，，故A错误；

对B：，又，

故是偶函数，故B错误；

对C：当时，，即当时，取得最小值，

故是的对称轴，故C正确；

对D：当时，，而在不单调，故D错误.

故选：C.

二、多选题

9．若实数满足，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用作差法，结合不等式的性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，，即，A错误；

对于B，，，即，B正确；

对于C，，，，，即，C错误；

对于D，，，即，D正确.

故选：BD.

10．下列转化结果正确的有（    ）

A． B．

C．化成弧度是 D．化成度是

【答案】AD

【分析】根据诱导公式，以及弧度数和角度的转化公式，即可判断选项.

【详解】，故A正确；

，故B错误；

化成弧度是，故C错误；

化成度是，故D正确.

故选：AD

11．设函数，则下列说法正确的是（    ）

A． B．函数

C．函数为非奇非偶函数 D．函数在其定义域内单调递减

【答案】BC

【分析】求出函数解析式，结合函数的单调性奇偶性即可求解.

【详解】因为，所以，B正确；

所以，A错误；

因为定义域为，不关于原点对称，

所以函数为非奇非偶函数，C正确；

函数在上单调递减，D错误，

故选：BC.

12．已知，则满足（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据指对互化可得，，结合对数运算法则和基本不等式依次判断各个选项即可.

【详解】由得：，，

对于A，，，即，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够将各选项中的式子转化为同底的对数运算的形式，结合基本不等式可确定取值范围.

三、填空题

13．已知幂函数为偶函数，则实数的值为__________.

【答案】

【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.

【详解】为幂函数，，解得：或；

当时，为偶函数，满足题意；

当时，为奇函数，不合题意；

综上所述：.

故答案为：.

14．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步米）意思是现有扇形田，弧长为米，直径为米，那么扇形田的面积为__________平方米.

【答案】

【分析】利用扇形面积公式直接求解即可.

【详解】由题意知：扇形田的半径（米），弧长（米），

则扇形田的面积（平方米）.

故答案为：.

15．已知，满足①，且，②两个条件中的一个，则的一个值可以为__________.

【答案】或6(答案只要是与6中的一个即可)

【分析】若满足的条件①利用及进行转化解出，，利用两角和的正切公式求解；若满足的条件②配凑角，然后利用公式计算即可

【详解】若满足条件①，因为，所以，

解得或，

则或舍去，

则，，

故

若满足条件②，

则

故答案为：或6.

16．已知，用表示不超过的最大整数，例如，.若函数，则函数的零点个数是__________.

【答案】

【分析】根据的定义，结合正弦函数的值域可求得所有可能的取值，分别在、和的情况下，求解函数零点即可.

【详解】，；

当，即时，，，

令，解得：，满足，

是的一个零点；

当，即且时，，，

令，解得：，不满足且，不合题意；

当，即时，，，

令，解得：，满足，

是的一个零点；

综上所述：有个零点.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求解函数零点(方程根)的个数常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程，由方程的根的个数确定零点个数；

（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题

17．在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）直接由三角函数的定义求解即可；

（2）直接通过诱导公式化简求值即可.

【详解】（1）由题意，，

由三角函数的定义得，，

；

（2）由（1）知，

.

18．已知函数，且的图象经过点.

(1)求的值；

(2)求在区间上的最小值；

(3)若，求证：在区间内存在零点.

【答案】(1)2

(2)

(3)证明见解析

【分析】(1)根据点在函数图象上直接求解；

(2)利用指数函数的单调性求解；

(3)根据零点的存在性定理证明.

【详解】（1）因为函数，且的图象经过点，

所以，因为，所以.

（2）由(1)得，

所以在区间上单调递增，

所以.

（3）,

,,

根据零点的存在性定理可知在区间内存在零点.

19．已知集合.

(1)若，求；

(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)解一元二次不等式，再根据并集的运算求解；

(2)根据题意确定，再分类讨论解出集合，列出不等式求解.

【详解】（1）因为，所以

由解得，所以

又由可得解得，则

所以.

（2）因为是的充分条件，所以，

若即，则

由可得解得，

若即，则，满足，

若即，则

由可得无解，

综上实数的取值范围为或.

20．已知是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求函数在上的解析式；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；

（2）作出函数的图象，从而得函数的单调递增区间，由题意列不等式求解，即可得答案.

【详解】（1）设，则，所以，

因为函数是定义在上的奇函数，

所以，

所以函数在上的解析式为.

（2）作出函数的图象，如图所示，

由函数图象可知，在上单调递增，

根据题意得，，解得，

所以实数的取值范围为.

21．已知函数，.

(1)求的定义域；

(2)若和的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数真数大于零可直接构造不等式组求得结果；

（2）将问题转化为有两个不同解，分别讨论和两种情况，根据二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果.

【详解】（1）由得：，则的定义域为.

（2）与有两个不同的交点，等价于有两个不同的实数解，

即有两个不同实数解，

，，即的定义域为；

①当，即时，在上有两个不同实数解，

在上有两个不同实数解，

，不等式组无解，不合题意；

②当，即时，在上有两个不同实数解，

在上有两个不同实数解，

，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

22．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面100，最低点距离地面10，摩天轮上均匀设置了依次标号为1~36号的36个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t后距离地面的高度为H，转一周需要30.

(1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；

(2)若甲、乙两人分别坐在1号和7号座舱里，在转动一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值.

【答案】(1)

(2)最大高度差45m.

【分析】(1)利用正弦函数的图象性质求解；

(2)利用三角恒等变换公式表示得即可求解.

【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，

以轴心为坐标原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，

设，

因为摩天轮最高点距离地面100，最低点距离地面10，

所以解得,

根据转一周需要30可得，所以，

时，游客位于点，

所以，即，

因为以为终边的角为，所以，

所以.

（2）如图，甲乙两人的位置用表示，，

经过后，甲距离地面高度

点相对于落后，所以乙距离地面高度

所以高度差为

因为

，

所以

所以当或，

即当或时，两人高度差最大，最大值为m.