专题53 圆锥曲线的取值范围问题（解析版）学案

专题53  圆锥曲线的取值范围问题

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.

圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.

1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解.常见的不等关系如下：

（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围

① 椭圆（以为例），则，

② 双曲线：（以为例），则（左支）（右支）

③ 抛物线：（以为例，则

（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程

（3）点与椭圆（以为例）位置关系：若点在椭圆内，则

（4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件

2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围

（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”；③ 反比例函数；④ 分式函数.若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决.

（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决.

3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：

（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域

（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可

【经典例题】

例1．（2020·山西运城·高三三模）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】抛物线的准线方程为，

，到准线的距离为2，故点纵坐标为1，

把代入抛物线方程可得．

不妨设在第一象限，则，

点关于准线的对称点为，连接，

则，于是

故的最小值为．

故选：A．

例2．（2020·北京海淀·人大附中高三三模）点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题可知是抛物线的准线，交点，

由抛物线的性质可知,

，

如图，当在一条直线上时，取得最小值为，

利用点到直线距离公式可以求出，

所以的最小值为.

故选：B.

例3．（2020·湖北东西湖·武汉为明学校高三三模）已知F是抛物线的焦点，则过F作倾斜角为的直线交抛物线于（A点在x轴上方）两点，则的值为（    ）

A．9 B．3 C．2 D．

【答案】B

【解析】因为，所以直线的方程为

所以由可得，解得或

因为A点在x轴上方，所以，

所以故选：B

例4．（2020·河北桃城·衡水中学高三三模）已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，2），

∴抛物线的准线方程为l：x＝﹣1，直线AF的斜率为k＝﹣2，

过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，

∵Rt△MPN中，tan∠NMP＝﹣k＝2，

∴2，可得|PN|＝2|PM|，

得|MN||PM|，

因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：．

故选C．

例5．（2020·山东省平邑县第一中学高三三模）已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】如图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为：y＝±，

则点F（c，0），A（c，），设点B（x0，），∵BF∥OA，

∴，即，解得：x0，所以

∴，

又∵，∴0，即a2＝3b2．

∵c2＝a2+b2，∴a2＝3（c2﹣a2），即3c2＝4a2，

所以离心率e．故选：A．

例6．（2020·湖南益阳·高三三模）过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若，O为坐标原点，则（      ）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【解析】如图,作分别作关于准线的垂线,垂足分别为,直线交准线于.过作的垂线交于,准线与轴交于.则根据抛物线的定义有.

设,,故,,故.

故,故是边的中位线,故.

故.

故选：A

例7．（2020·梅河口市第五中学高三三模）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则与面积的比（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图过，两点分别作准线的垂线，垂足分别为，，

因为 ∽，所以，

由抛物线定义得，，

因为，所以，

因为，所以，，

所以 ，

所以直线AB的方程为，

将代入上式得，，解得 或，

所以，，

所以 ，

所以，

故选：D

例8．（2020·安徽高三三模）已知直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若对于任意时，为定值，则实数的值为（    ）.

A．12 B．8 C．4 D．2

【答案】B

【解析】设，

将代入得，

，

将代入得，

，

，

，故选：B.

【精选精练】

1．（2020·山西运城·高三三模）已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】抛物线的准线方程为，

∵，∴到准线的距离为4，故点纵坐标为2，

把代入抛物线方程可得．

不妨设在第一象限，则，

点关于准线的对称点为，连接，

则，于是

故的最小值为．

故选：B．

2．（2020·全国高三三模）已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知，所以.

又，

如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为.

故选：B

3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，其中在左支上，在右支上，若点在线段的中垂线上，则（    ）

A． B．8 C． D．4

【答案】A

【解析】由点在线段的中垂线上可知，

,

由双曲线定义可知，

，，

两式相加得，

.

故选: A.

4．（2020·湖北武汉·高三三模）已知过抛物线C：焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

，

的圆心，半径为1，设，，则

设直线方程为，

，

，

，

，

，

故选：B

5．（2020·贵州贵阳·高三三模）已知是双曲线的右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点.若，则的离心率为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】不妨设点在第一象限，如图：

设渐近线的倾斜角为，则，

所以，又，

所以，所以，，所以，

所以，

所以，所以，所以，即，

所以.

故选：A.

6．（2020·福建高三三模）已知椭圆，圆，，分別为椭圆和圆上的点，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由圆，得．作出椭圆与圆的图象如图，

为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，

则，

圆过点，要使最小，则需要取最大值为圆的直径．

的最小值为．

故选：．

7．（2020·湖南益阳·高三三模）如图，已知，为椭圆：（）的左、右焦点，过原点 的直线与椭圆交于两点（），若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由两边平方得，所以，

由椭圆的对称性知四边形为矩形，

又因为，所以，

又因为，

由矩形的面积公式与椭圆的定义得，

解得：，

所以，即是方程 的实数根，

又因为，所以

所以，

所以 .

故选：D.

8．（2020·佛山市顺德区容山中学高三三模）已知抛物线与圆相交于A，B两点，点M为劣弧上不同A，B的一个动点，平行于轴的直线MN交抛物线于点N，则的周长的取值范围为（    ）

A．(3，5) B．(5，7) C．(6，8) D．(6，8]

【答案】C

【解析】画出图象如下图所示.圆的圆心为，半径为，抛物线的焦点为，准线为.由解得，所以.

设平行于轴的直线交抛物线的准线于，根据抛物线的定义可知，

所以的周长为.

而，所以.

也即周长的取值范围是.

故选：C

9．（2020·四川仁寿一中高三三模）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交于，两点，与的准线交于点，若，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意设直线，，，，，

则，，由联立得，则△，

①，②．，点是线段的中点，③，由①③可得代入②可整理得：，解得：．又

，．

故选：D．

10．（2020·陕西新城·西安中学高三三模）如图，，分别为双曲线：（a，）的左､右焦点，过点作直线l，使直线l与圆相切于点P，设直线l交双曲线的左右两支分别于A､B两点（A､B位于线段上），若且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】C

【解析】连接，因为且，所以，

设，则，，

由双曲线的定义知：，，，

在直角中有：，（1）

在直角中有：，（2）

在直角中有：，（3）

由（2）（3），可得，

由（1）（2）可得，（4）

将代入（4）可得，

所以双曲线的离心率为。

故选：C.

11．（2020·广东深圳·高三三模）已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF的中点，连接OM，则△OMQ的最小面积为（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】如图所示：

设P（x1，y1），Q（x2，y2），设P在x轴上方，

由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x＝my+1，

联立直线与抛物线的方程，

整理可得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，

因为M为PF的中点，所以yM，

所以S△OMQ＝S△OFQ+S△OMF|OF|•|y2|•1，当且仅当取等号.

所以△OMQ的最小面积为，

故选：B．

12．（2020·芜湖县第一中学高三三模）已知椭圆的左，右焦点分别为，抛物线的准线过点，设是直线与椭圆的交点，是线段与抛物线的一个交点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由椭圆，有，所以得.

所以，抛物线的准线：过点.

所以，得，所以抛物线，

由是直线与椭圆的交点，不妨设在轴上方,将直线：代入椭圆方程.

得，即，

，过作直线于，

由抛物线定义知，又，所以，

∴，

∴.

故选：A