安徽省皖北县中名校2023届高三下学期5月联考数学试卷（含答案）

安徽省皖北县中名校2023届高三下学期5月联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、复数z满足，则它的共轭复数的虚部为(   )

A.-1 B.1 C. D.

2、已知集合，，则集合(   )

A. B. C. D.

3、老师排练节目霞要4个男生和2个女生，将这六名学生随机排成一排，2个女生不相邻的概率为(   )

A. B. C. D.

4、已知非零向量a，b满足，且佝量b在向量a上的投影向量是，则向量a与b的夹角是(   )

A. B. C. D.

5、已知圆C：，从点E出发的光线要想不被圆C挡住直接到达点F，则实数m的取值范围为(   )

A.  B.

C.  D.

6、在正方体中，M为正方形内(含边界)一动点，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7、已知函数、是定义域为R的可导函数，且，都有f(x)>0，g(x)>0，若、满足，则当时下列选项一定成立的是(   )

A. B.

C. D.

8、已知实数m，n，t满足，则(   )

A.， B.，

C.， D.，

二、多项选择题

9、已知为R上的奇函数，且在上单调递增，，则下列命题中一定正确的是(   )

A..  B.有3个零点

C.  D.

10、在中，，，，则下列结论错误的是(   )

A.AB边上的中线长为2 B.为锐角三角形

C.  D.的周长为12

11、已知椭圆C：中的左、右焦点分别为、，上顶点为M，直线l：与椭圆C交于A，B两点，的角平分线与x轴相交于点C，写y轴相交于点，则(   )

A.四边形的周长为16 B.直线MA，MB的斜率之积为

C.的最小值为 D.当时，点A的纵坐标为

12、勒洛三角形也被称为定宽曲线，勒洛三角形的立体版就是如图所示的立体图形，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分组成的，因此它能像球一样来回滚动.这种立体图形称为勒洛四面体，若图中勒洛四面体的四个顶点分别为P、A、B、C，任意两个顶点之间的距离为1,则下列说法正确的是(   )

A.图中所示勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为1

B.图中所示勒洛四面体的内切球的表面积为

C.平面ABC截此勒洛四面体所得截面的面积为

D.图中所示的勒洛四面体的体积是

三、填空题

13、小明统计了最近一段时间某超市冷饮的销售量n.根据统计发现n近似服从正态分布，且，已知该超市冷饮的销售量在区间内的有80天，则可以估计小明一共统计了___________天.

14、已知平面直角坐标系中，曲线C上的点到定直线l：的距离与到定点的距离相等，P为曲线C上一点，过点P作，垂足为M.若，则___________

15、数学课上，老师计了一道智力游戏题。如图所示，平面直角坐标系中有一个3乘3方格图(小正方形边长为1)，一共有十六个红色的格点，游戏规则是每一步可以改变其中一个点的颜色（只能由红变绿或绿变红），如将其中任何一个点由红色改成绿色，则这个点周围与之相邻的点也要从原来的颜色变成另外一种颜色，比如选择变成绿色，则与之相邻的，，，四个点也要变成绿色，那么最少需要___________步，才能使得位于直线上的四个点变成绿色，而其他点都是红色.

16、已约数列满足，令，数列的前n项和为.若对任意测恒成立，则实数p的取值范围为___________

四、解答题

17、已知函数为奇函数，其图像相邻两对称轴间的距离为

（1）求和；

（2）当时，记方程的根为，求的范围

18、已知数列中，，且

（1）求证：数列是等差数列；

（2）记数列，求数列的前n项和

19、如图所示的圆锥中.P为顶点，在底面圆周上取A、B、C三点，使得，，在母线PA上取一点D，过D作一个平行于底面的平面，分别交PB、PC于点E、F，且，

（1）求证：平面平面ABC；

（2）已知三棱锥F-BCD的体积为2，求平面EBD与平面BDF夹角的正切值.

20、某公司对新生产出来的300辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽年，有且只有一名质检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽车.假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每一次检测不合格的概率为.

（1）求每辆汽车被列为不合格汽车的概率q；

（2）公司对本次质量检测的预算支出是4万元，每辆汽车不需要重新检测的费用为60元，需要重新检测的前后两轮检测的总费用为100元，所有汽车除检测费用外，其他费用估算为1万元，若300䥻汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算？

21、已知函数.

（1）若的图象在处的切线与直线垂直，求a的值及切线方程；

（2）若，函数在其定义域上存在零点，求实数a的取值范围.

22、双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，虚轴长为2.

（1）求双曲线C的标准序程；

（2）直线与双曲线(的右支交于M、N两点，M位于第一象限，M关于原点O的对称点为Q。设的角平分线为，且，垂足为E，求的最大值.

参考答案

1、答案：A

解析：，，则，所以的虚部为-1

2、答案：B

解析：由题知，且，又，则。

3、答案：A

解析：4个男生和2个女生随机排成一行，可利用揷空法，先排4个男生有种排法，4个男生产生5个空，将2个女生揷人5个空中；有种排法，6名学生共有种排法，所以2个女生不相邻的概率为

4、答案：C

解析：，向量b在向量a上的投影向量是，，则，即，且，则，故选C

5、答案：B

解析：由题意知，从点出发的光线与圆C相离时，光线不被挡住.设过点与圆C相切的直线方程为l：，即，又圆C：，所以圆心到l的距离，解得，故，令，，即或，故选B

6、答案：D

解析：因为，所以，M，B三点共线，连接，B，，，，M，因为平面，所以直线与平面所成角为，其正弦值为，，当时，，所以，则，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是，故选D

7、答案：D

解析：由题意：，设，则，由得，因为，所以，又、是定义域为R的恒大于0的可导函数，故，B错误，，A错误；

，

因为不知道正负，所以C不一定成立；

，即，D正确

8、答案：C

解析：令，，在R上单调递减，时，，

，，即，，排除AB

时，，，，，

显然，所以，选C，时可得相同结论，时取“=”

9、答案：AB

解析：由已知函数在上单调递增，在上也单调递增，，

由，得

对于A，因为在上单调递增，所以，A正确；

对于B，在上单调递增，且，，故在上有且只有一个，使，同理在上单调递增，且，，故在上有且只有一个，使，又，所以有3个零点，B正确；

对于C，因为在上单调递增，，C错误；

对于D，f，，易知与无法比较大小，D不一定正确

10、答案：BCD

解析：

如图，在边AB上取一点D，使

设，则，

，解得，

在中，，

，解得，，为直角三角形，B错误

CD为斜边AB上的中线，所以A正确；，C错误；的周长为，D错误.故选BCD

11、答案：ABD

解析：对于A，由椭圆的定义知，四边形的周长为，A正确；

对于B，设，则，又，所以

因为点在椭圆上，所以，即，

所以，B正确

对于C，，当且仅当，时等号成立，故C错误；

对于D，设，则，，

所以，

在椭圆中，由其第二定义(d指的是椭圆上的点到相应的准线的距离)得

，所以，故，，，

因为三点共线，所以，故D正确.故选ABD，

12、答案：AB

解析：

对于A，勒洛四面体能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，所以其表面上任意两点间距离的最大值即为其内接四面体PABC的棱长1，所以A对；

对于B，勒洛四面体的内切球与勒洛四面体的弧面相切，如图，其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，易知该球的球心O为正四面体PABC的中心，半径为OE，连接AE，易知A、O、E三点共线，且，，

因此内切球的表面积为，故B正确

对于C，截面如图所示，为三个半径为1，圆心角为的扇形面积减去两个边长为1的正三角形的面积，，C错误；

对于D，勒洛四面体的体积介于正四面体PABC的体积和正四面体PABC的外接球的体积之间，正四面体PABC的体积，其外接球的体积，故D错误.

13、答案：100

解析：n近似服从正态分布，故，，估计小明一共统计的天数为

14、答案：

解析：由题意曲线C为抛物线，不妨设点P在第二象限，由抛物线定义可得，又，所以是等边三角形，所以，则，则，，则

15、答案：4

解析：由题意可知，需要使，，，变成绿色，其他点都是红色。第一步：变成绿色，则，也变成绿色；第二步：变成绿色，则，变成红色，，变成绿色；第三步：变成绿色，则，变成红色，，变成绿色；第四步：变成绿色，则，变成红色

16、答案：

解析：由题意可得，时，，

两式相减可得：，化为，时，，满足上式，

故，，故对任意的恒成立，

，即，解得，即

17、答案：（1），（2）

解析：（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得

又因为函数为奇函数，

所以，则，解得

由得

（2）由（1）知，，即，

因为，可得

结合正弦函数图像知，，即

且，则，，

故

18、答案：（1）证明见解析（2）

解析：（1）证明：，

，

，

是首项为2，公差为1的等差数列

（2）解：因为，

所以，，

所以，

19、答案：（1）证明见解析（2）

解析：（1）由题意可知为一个三棱锥，且，

因为，，所以D、E、F分别为PA、PB、PC的中点，且

取AB的中点M，连接PM、CM，则

因为，，，，

所以，所以.

，则，故，

即

因为，，AB，平面ABC，

所以平面ABC

又平面ABD，故平面平面ABC

（2）

因为，所以.

而，

所以，解得.

以C为坐标原点，CA、CB所在直线分别为x轴，y軸，过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

设为平面EBD的一个法向量

因为，所以

不妨设，则平面EBD的一个法向量

同理可求得平面BDF的一个法向量.

所以，

所以平面EBD与平面BDF夹角的正切值为.

20、答案：（1）（2）不会

解析：（1）由题意知，每辆汽车第一轮质量检测被列为不合格汽车的概率为

每辆汽车重新检测被列为不合格汽车的概率为

综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概索为

（2）设每辆汽车质量检测的费用为X元，则X的可能取值为60，100，

由题意知，，

所以随机变量X的数学期望为

（元），，则，

所以当时，；当时，；

所以函数在上单调递增，在上单週递减，

所以，即(元).

所以此方案的最高费用为(万元)，

综上可知，实际费用估计不会超过预算.

21、答案：（1），（2）

解析：（1），，

的图象在处的切线与直线垂直，

，解得，

，，

故所求切线方程为，即

（2）由，，可知其定义域为，令，则

又，所以

令，即可转化为有解

设，则由可得，

则在上单调递减，在上单调递增

又，所以有唯一的零点

若在区间上存在零点，

则在上有解，整理得

设，

由，知在上单调递减，在上单调递增，

又当时，，则，

所以，得，

故实数a的取值范围是

22、答案：（1）（2）

解析：（1）因为虚轴长为2，即，所以

焦距为4，所以，，

所以双曲线C的标准方程为

（2）

如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设，则

易知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，记，又为的平分线，则，因为，，

所以，

同理，

又，，

代人，得，

化简得

又，，所以，

将代人，得，，

所以，，

设直线的方程为，

将代人得，

所以直线的方程为，，

由点到直线的距离公式得

，

又直线MN的斜率为，设直线MN的方程为，

将代人得，

所以直线MN的方程为，

将其与联立得

设，则，

由得，

故，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为