2022-2023学年四川省成都四十三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省成都四十三中八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

1.  已知，则下列式子不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  的三边分别为，，，且满足，则的形状为(    )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

7.  把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，三角板的直角顶点与原点重合，点的坐标是，现将该三角板向右平移，使得点与点重合，得到，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  小明网购了一本好玩的数学，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少元．”乙说：“至多元．”丙说：“至多元．”小明说：“你们三个人都说错了”则这本书的价格元所在的范围为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  用提公因式法分解因式时，应该提取的公因式是______ ．

12.  在，四个数中，满足不等式的是______ ．

13.  若，，则 ______ ．

14.  如图，在中，，的平分线交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，的直线交于点，若，则的度数是______ ．

15.  解不等式：；
解不等式组：．

16.  用简便方法计算：；
分解因式：．

17.  小明计划购买一些作业本和笔记本共计本，总费用不超过元已知每个作业本元，每个笔记本元，那么小明最少要购买多少本作业本？

18.  如图，中，，点，是上不与点，重合的两点，且．
求证：．
过点作交的延长线于点，求证：是等腰三角形．

19.  如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，并分别与轴相交于点、．

求交点的坐标；

求的面积；

请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量的取值范围．

20.  如图，过边长为的等边的顶点作直线，点在直线上不与点重合，作射线，将射线绕点顺时针旋转后交直线于点．

如图，点在点的左侧，点在边上，求证：．
如图，点在点的右侧，点在边的延长线上，那么中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，再证明．
如图，点在边的反向延长线上，若，请直接写出线段的长．

21.  已知，则代数式的值为______．

22.  我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，则该等腰三角形的顶角为______度．

23.  若关于的不等式只有个正整数解，则的取值范围为______．

24.  如图，在中，，，将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，在上取点，使，那么点到的距离等于______．

25.  如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为______．
 

26.  要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，然后再减去，整个式子的值不变，于是有：像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
请利用“配方法”解决下列问题：
分解因式：．
已知，求的值．

27.  某地脱贫攻坚，大力发展有机农业，种植了甲、乙两种蔬菜某超市花元可购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克；花元可购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克．
求该超市购进甲、乙两种蔬菜的单价分别为多少元？
若该超市每天购进甲、乙两种蔬菜共计千克甲、乙两种蔬菜重量均为整数，且花费资金不少于元又不多于元，问该超市有多少种购进方案？
已知甲种蔬菜市场销售价为每千克元，乙种蔬菜市场销售价为每千克元在的条件下，该超市决定按能获得最大利润的方案进货并销售每天所进蔬菜均能卖完，同时将获得的利润按甲种蔬菜每千克元，乙种蔬菜每千克元的标准捐献给当地政府作为扶贫基金若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．

28.  建立模型：
如图，已知，，，顶点在直线上．操作：过点作于点，过点作于点，求证：≌．
应用模型：
如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到求的函数表达式．
如图，在直角坐标系中，点，作轴于点，作轴于点，是线段上的一个动点，点位于第一象限内．问点、、能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，故A正确，不符合题意；
B.，
当时，，
当时，，
当时，，
故B错误，符合题意；
C.，
，故C正确，不符合题意；
D.，
，故D正确，不符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质进行判断：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
此题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
本题主要考查了中心对称图形，正确理解中心对称图形的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：解不等式得，
解不等式得，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C、能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：．
根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．
此题考查了平方差公式以及运用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
．
故选：．
根据完全平方公式解决此题．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
，
是等腰三角形，
故选：．
先将进行因式分解，可得，进一步即可判断的形状．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
旋转的角度是的整数倍，
旋转的角度至少是．
故选：．
根据图形的对称性，用除以计算即可得解．
本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，
，，，
，
平移后，，，
．
故选：．
解直角三角形求出的长度，再根据平移的性质即可得出答案．
本题考查了坐标与图形变化中的平移，解直角三角形，解题关键是熟练掌握基本知识．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，以及角平分线的定义，关键是熟知等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
根据等腰三角形的三线合一的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可求得的度数，再根据角平分线的定义即可求得的度数．
【解答】
解：是的中线，，
，
，
，
，
是的角平分线，
．
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：

故选：．
根据题意得出不等式组解答即可．
此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：
，
应提取的公因式是．
故答案为：．
根据提公因式法，找出各项的公因式即可．
本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：不等式，
解得，
只有满足要求，
故答案为：．
先解不等式，再判断题干的数是否满足要求即可．
本题考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握一元一次不等式的运算．
 

13.【答案】 

【解析】解：，

又，
，
．
故答案为：．
将左右平方，再利用完全平方公式展开，将已知等式代入计算即可求值．
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，根据作图可知是的垂直平分线，
，
，
是的平分线，
，
，，
，
，，
，
解得，
．
故答案为：．
设，根据作图可知是的垂直平分线，可得，根据等边对等角可得，根据角平分线的意义可得，结合已知条件，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可求解．
本题考查了作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握基本作图是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
，
，
，
；
，
由得，；
由得，；
所以不等式组的解集为：． 

【解析】根据不等式的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为，求解不等式即可；
根据不等式组的解集的解法求解即可．
本题考查了解一元一次不等式和不等式组，准确掌握解不等式的步骤以及不等式组解集的步骤和方法是本题的关键．
 

16.【答案】解：原式


；
原式

； 

【解析】灵活运用提取公因式法和公式法分解因式，即可简便求解；
分组分解，然后根据完全平方公式和平方差公式，进行因式分解即可．
本题考查了公式法，提取公因式法进行因式分解，以及因式分解的应用，熟练掌握公式法、提取公因式法，以及正确地分组是本题的关键．
 

17.【答案】解：设购买作业本本，购买笔记本本，
根据题意得：，
解得：，
，
最小取，
答：最少要购买本作业本． 

【解析】设购买作业本本，购买笔记本本，根据题意列出不等式，解得的范围，取最小整数即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意，找准数量关系是解题关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
证明：，
，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】由，得，由，得，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得；
由，得，而，则，即可证明是等腰三角形．
此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：由，解得，
；
直线与直线中，令，则，，
解得与，
，，
，
；
如图所示：

自变量的取值范围是． 

【解析】联立解析式，解方程组即可求得交点的坐标；
求得、的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
根据图象求得即可．
本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．
 

20.【答案】证明：在等边三角形中，，，
直线，
，，
在和中，
，
≌，
，
；
解：，
证明：直线，
，
，，
又，
在和中，
，
≌，
，
；
解：如图所示，过作于，

直线，
，
又，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
． 

【解析】根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出，，，则，再得出≌，则有，由，即可得证；
根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出，，由旋转的性质，从而证明≌，得出，根据，即可得证；
过作于，根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出，再根据，，从而证明≌，得出，由，，得出，，根据勾股定理求得，再算得，得为等腰直角三角形，则，即可求出的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题关键是熟练运用以上性质进行求证．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
，



，
故答案为：．
先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．
本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：．
 

22.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出是解此题的关键．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理和已知得出，求出即可．
【解答】
解：如图，

中，，
，
等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，
：：，
即，
，
故答案为：．  

23.【答案】 

【解析】解：由可得，
关于的不等式只有个正整数解，
，
解得，
故答案为：．
先求出不等式的解集，再根据关于的不等式只有个正整数解，可以得到关于的不等式组，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确有两个正整数解，一定是和．
 

24.【答案】 

【解析】解：方法一：在中，，，
，，
将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，
，，
，
过作于，延长交于，

，
，
，，
，
，
，
方法二：

过作于，于，
则，，
在中，，，
，，
将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
根据直角三角形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，求得，延长交于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：延长到，使得，
，
是等腰三角形，
，
过点点作，交于点
，
，
，，
，
，
在，
由勾股定理可知：，
在中，
，
故答案为：
延长到，使得，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
 

26.【答案】解：



；


，
．
，，
，，
解得，，
． 

【解析】原式前两项配方后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
已知等式变形后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出与的值即可．
此题考查了完全平方式，非负数的性质：偶次方，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

27.【答案】解：设甲单价元，乙单价元，
根据题意，得，
解得，
甲种蔬菜的单价为元，乙种蔬菜的单价为元；
设购进甲千克，则购进乙千克，
由题意得：，
解得：，
共有种方案；
元，元，
总利润为：，
当取最大值时，总利润最大元，
此时成本元，
由题意得，，
解得：，
最大为． 

【解析】设甲单价元，乙单价元，根据题意列出方程计算即可；
设购进甲千克，则购进乙千克，根据题意列出不等式，求解即可；
先算出总利润得表达式，得出当取最大值时，有最大总利润，再根据题意列出不等式求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系．
 

28.【答案】解：如图，，，
，
在和中，
，
≌；
直线与轴交于点，与轴交于点，
、，
如图，过点作交直线于点，过点作轴，
在和中，

≌，
，，
，
点坐标为，
设的解析式为，将，点坐标代入，得，
解得，
的函数表达式为；
、、可以构成以点为直角顶点的
等腰直角三角形；
点，点是直线上一点，
当点在下方时，如图，
过点作轴，分别交轴和直线于点、．
在和中，

≌，
，即，
解得；
当点在线段上方时，如图，
过点作轴，分别交轴和直线于点、，
则，．
在和中，同理可证≌，
，即，
解得；
综上可知，、、可以构成以点为直角顶点的
等腰直角三角形，的值为或． 

【解析】点拨
根据余角的性质，可得，根据全等三角形的判定，可得答案；
根据自变量与函数值的对应关系，可得、点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得，的长，根据待定系数法，可得的解析式；
根据全等三角形的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
本题考查了一次函数综合题，利用余角的性质得出是解题关键，又利用了全等三角形的判定；利用了全等三角形的性质得出，的长是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．