2022年山西省运城市中考数学一模试卷（含解析）

2022年山西省运城市中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，直线，的顶点在直线上，与直线交于点，延长线交直线于点，已知，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 年月日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约原始科学数据．当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为分秒．已知光速约为米秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5. 不等式组，的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在矩形中，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 某学校科学兴趣小组为了了解自己栽种的树苗的生长情况，随机抽取株树苗测量其高度，统计结果如表：

则这批树苗的众数和中位数分别是(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

8. 小明用元买售价相同的软面笔记本，小丽用元买售价相同的硬面笔记本两人的钱恰好用完，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，直线与两坐标轴交于，两点，点是线段上一动点不与，两端点重合，过点作轴于点，作轴于点，小明认为矩形的周长不变且始终为；小红认为矩形的面积有最大值，最大值为关于小明与小红的判断，下面说法正确的是(    )

A. 小明与小红都是正确的 B. 小明与小红都是错误的
C. 小明是正确的，小红是错误的 D. 小明是错误的，小红是正确的

10. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 计算______．
12. 化简的结果是______．
13. 如图，在中，，，，现有图的直角三角形个，小明用这个全等的直角三角形拼成如图的赵爽弦图，若图中正方形的面积为，则的值为______．

14. 如图，在中，，，点的坐标为，轴．反比例函数的图象经过点和点，则的值为______．

15. 如图，是的弦，连接，作交的延长线于点，已知，，点是的中点，连接，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：；
    下面是小明作业中一个题目的解答过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务．
    如图，在▱中，点是上一点，，连接，，与交于点已知▱的面积为，求的面积．
    解：作于点，
    ，
    ．
    四边形是平行四边形，
    ，．
    ，，
    ∽，依据
    
    ，
    ．
    任务一：
    填空：上面解答过程中，证明三角形相似的依据是______．
    小明的作业经过老师批改在后画了错号，这一步错误的原因是______．
    任务二：请你经过正确计算直接写出的面积为______．

17. 本小题分
    某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为、、、四类其中，类表示“经常整理”，类表示“有时整理”，类表示“很少整理”，类表示“从不整理”，并把调查结果制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，请你根据图表提供的信息解答下列问题：
    参加这次调查的学生总人数为______ 人，
    请补全条形统计图；
    扇形统计图中类别所对应扇形的圆心角度数为______ ；
    类别的名学生中有名男生和名女生，班主任想从这名学生中随机选取名学生进行访谈，请用列举法画树状图或列表求所选取的名学生恰好都是男生的概率．
     

18. 本小题分

如图，在▱中，、的平分线分别交对角线于点、求证：．

19. 本小题分
    在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工天后乙工程队加入，两工程队联合施工天后，还剩米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工米，求甲，乙工程队每天各施工多少米？
20. 本小题分
    如图，是的直径，点是上一点，，的垂直平分线交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点．
    求证：；
    若，，求的长．

21. 本小题分
    阅读理解题
    定义：如果一条直线把三角形的面积分为相等的两部分，那么我们称这条直线是三角形的一条等分线，我们知道三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，那么三角形的一条中线所在的直线就是该三角形的一条等分线．如图，点是的中点，那么直线就是的一条等分线．
    任务一：如图，若，，，则的面积为______．
    任务二：如图，点，点，连接，，，直线经过点，且直线是的等分线，请在图中画出直线无需尺规作图，并求出直线的表达式．
    任务三：如图，点，轴于点，连接，点是上一点，点是上一点，若直线是的等分线，则点的坐标为______．
22. 本小题分
    综合与实践
    如图，在矩形中，对角线与交于点，将绕点顺时针旋特，点对应点为点，点对应点为点．
    当点落在的延长线上时，请解答以下两个问题：
    如图，若，，连接，则______用含的代数式表示；
    如图，延长交于点，试猜想与的位置关系并加以证明；
    如图，在图的基础上继续绕点旋转，点对应点为点，点对应点为点当点落在的延长线上时，已知，求证：四边形是菱形．

23. 本小题分
    综合与探究
    如图，二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，抛物线的对称轴为直线，对称轴交轴于点，连接，，点是线段上一动点，交于点，交轴于点，连．
    求抛物线的表达式并直接写出直线和直线的函数表达式；
    当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
    设点的纵坐标为，在点的运动过程中，是否存在是直角三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用有理数的乘法法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决问题的答案．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据合并同类项，乘方，乘法，除法运算的法则进行计算，逐一判断即可．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形的外角性质得出，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：分秒秒秒，
米米，
故选：．
先计算地球与火星的距离，再根据科学记数法的形式选择即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：解得：，
解得：，
不等式组的解集是，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据表格里的数据可知，高度为的株数最多，故众数为；
根据中位数的定义，中位数为该组数据的第个数和第个数的平均值，第个数和第个数都为，故中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义直接求解即可．
本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设软面笔记本每本售价为元，
根据题意可列出的方程为：．
故选：．
直接利用小明用元买售价相同的软面笔记本，小丽用元买售价相同的硬面笔记本，数量相同得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，
则，，
，
则小明说法正确；
矩形的面积，
当时，矩形的面积的最大值为，
则小红说法错误，
故选C．
设点的坐标为，由矩形的周长和面积的计算公式可求解．
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的最值等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，

在矩形中，，，
，，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积

．
故选：．
连接，利用矩形的性质以及勾股定理求出的长以及的度数，进而利用图中阴影部分的面积，求出答案．
此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出的长以及的度数是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接化简二次根式，进而利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由题意可得：，
图中正方形的面积为，
，
解得，不合题意，舍去，
即的值为，
故答案为：．
根据勾股定理可以用含的代数式表示出，然后根据题意可知，正方形的面积为，可以得到关于的方程，然后求解即可．
本题考查勾股定理的证明、正方形的面积，解答本题的关键是明确直角三角形和正方形的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：

，
为的中点，
，
，
根据勾股定理，得，
设点，
轴，
，
，
，，
，
点在反比例函数图象上，
，
，
解得．
故答案为：．
过点作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，可得的值，设点，表示出点的坐标，再根据点坐标和点坐标之间的关系列方程，即可求出的值．
本题考查了反比例函数与等腰三角形的综合，熟练掌握等腰三角形的性质与反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接、、，
，，，
，，
，
在中，
，
点是，
，
为等边三角形，
，
在中，
．
故答案为：．
先求，再证是等边三角形，最后在中，用勾股定理求解．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
 

16.【答案】两组角对应相等的三角形相似    

【解析】解：原式
；
任务一：由题意知，证明三角形相似的依据是两组角对应相等的三角形相似，
故答案为：两组角对应相等的三角形相似；
由知，
与的底边，上的高相等，
，
故答案为：；
任务二：由题知，，，
，，
，
，
解得：，
故答案为：．
先计算平方，负数指数幂，绝对值，然后进行加减法运算即可；
任务一：由题知，证明三角形相似的依据是两组角对应相等的三角形相似；
由知，由与的底边，上的高相等，得出，即可得出结论；
任务二：由知，，然后根据面积关系计算即可．
本题主要考查相似形综合题，涉及平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，相似三角形面积比等于相似比的平方等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及相关知识是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：参加这次调查的学生总人数为人，
故答案为：；
类别的学生人数为人，补全统计图如下：


类别所对应扇形的圆心角度数为：．
故答案为：；

根据题意列表得：

由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中都是男生的有种可能．
所以所选取的名学生恰好都是男生的概率为．
由类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
用总人数减去其它类别的人数，求出类别的学生人数；
用乘以类别人数所占比例即可得；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出所选取的名学生恰好都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，．
．
、的平分线分别交对角线于点、，
，，
．
在和中，

≌，
． 

【解析】由在▱中，可得，，，又由和的平分线、分别与对角线相交于点，，可证得，继而可证得≌，由全等三角形的性质即可得到．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是证题的关键．
 

19.【答案】解：设乙工程队每天施工米，则甲工程队每天施工米，
依题意得：，
解得：，
．
答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米． 

【解析】设乙工程队每天施工米，则甲工程队每天施工米，利用工作总量工作效率工作时间，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出乙工程队每天施工的长度，再将其代入中即可求出甲工程队每天施工长度．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

20.【答案】证明：是的切线，是的直径，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
；
解：连接，

，，
，
垂直平分，
，
，
，
，，
，
又，
为的中位线，
，
． 

【解析】由切线的性质得出，则，，由垂直平分线的性质得出，证出，则可得出结论；
连接，由勾股定理求出的长，由三角形中位线定理可得出答案．
本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，等角的余角相等，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：如图，过点作于，

，，
．
，
，
．
，
．
故答案为：；

如图，的中点为，过点、的直线即为所求作的直线，

 ，点为的中点，
，
设直线的表达式为：，
将点代入得：，
解得：，
直线的表达式为：；

设直线的解析式为：，
代入得：．
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，即，
设点的坐标为，
由，得：．
解得：
点的坐标为
故答案为：
过点作于，根据等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出、、，进而可求出，然后根据三角形面积公式计算；
根据等分线的定义和三角形中线的性质可知直线过的中点，据此作图；然后求出的中点坐标，再利用待定系数法求直线的表达式；
首先求出点坐标，然后根据等分线的定义可得，列方程求出点的纵坐标即可解决问题．
此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，三角形中线的性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式等，正确理解等分线的定义是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

四边形为矩形，
，
，
点是矩形对角线的交点，
为的中点，，
，
由旋转可知，
，
在中，，
故答案为：；
，
证明：由旋转可知，即，
，，
，
，
，即；
证明：四边形是矩形，
，，
由旋转可知，，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
过点作于点，由旋转可知，得出，由勾股定理可得出答案；
由旋转可得出，证明，则可得出结论；
由旋转可知，，，，证出，，可得出四边形是平行四边形，由菱形的判定方法可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及菱形的判定等知识．掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
 

23.【答案】解：由题意得，
，
，
抛物线的表达式是：，
，
，
直线的函数表达式是：，
，，
直线的函数表达式是：；
设点，则，
，
由得，
，
，
；
当时，
由得，
，
，
由得，
，
，
，，，
，
当时，即：，
∽，
，
，
，
，
，
即是直角三角形，
，
，舍去．
． 

【解析】将点坐标代入及对称轴列出，的方程组，求出，，进而求出点的坐标，进而求出和的表达式；
设出点的坐标，表示出点的坐标，进而表示的长，由得出方程，进而求得结果；
当∽时，，从而得出，表示出点和的坐标，进而表示出，，，从而求得的值．
本题考查了求二次函数和一次函数的解析式，平行四边形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是转化条件，列出方程．