2023届海南省琼海市高三模拟考试数学试题含解析

2023届海南省琼海市高三模拟考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的乘法规则求解.

【详解】；

故选：C.

2．已知集合，，若，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】有集合间的关系建立不等式组求出即可.

【详解】由，得，易知集合非空，

则，

解得．

故选：B.

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.

【详解】.

故选：B.

4．如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正方体的侧面展开图找出相对面，再由其特征得到结果.

【详解】由图①可知，“同心圆”和“圆”相对，“加号”和“箭头”相对，“心形”和“星星”相对．

由图②可得，小正方体从如图②所示的位置翻到第6格时正面朝上的图案是．

故选：C.

5．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（    ）

A．19903元 B．19913元 C．20103元 D．20113元

【答案】C

【分析】利用等差数列前n项和公式即可求得小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额．

【详解】设小方第天存钱元，

则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，

所以小方存钱203天的储蓄总额为

元．

故选：C

6．如图，已知，，分别以为直径作半圆弧，D是半圆弧的中点，E为半圆弧上靠近点C的三等分点，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由投影向量的定义求解即可.

【详解】依题意可得，

所以向量在向量上的投影向量为：

故选：C.

7．当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.

【详解】当，时，，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为．

所以，即．

故选：A.

8．已知分别是双曲线的左､右焦点，斜率为的直线过，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意画出图形，利用双曲线定义求出，再利用三角形相似，即可求解.

【详解】如图，由题可知，

又因为，所以，

因为直线的斜率为，所以，

设为的中点，连接，易知，

所以，则，解得，

所以双曲线的离心率为．

故选：A.

二、多选题

9．已知，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【分析】根据题意通过赋值逐项分析判断.

【详解】对于A：令，可得，故A错误；

对于B：令，可得，故B正确；

对于C：令，可得，

结合选项B，两式作差，可得，

即，故C正确；

对于D：令，可得，故D正确.

故选：BCD.

10．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（    ）．

A． B．直线是图象的一条对称轴

C．在上单调递减 D．是奇函数

【答案】ACD

【分析】由可得，对称中心，即可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可.

【详解】因为点在的图象上，所以．又，所以．

因为图象的一个对称中心是，所以，则．

又，所以，则，A正确．

，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确．

当时，，单调递减，C正确．

，是奇函数，D正确．

故选：ACD.

11．若与y轴相切的圆C与直线也相切，且圆C经过点，则圆C的直径可能为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】AB

【分析】由分析知，圆C的圆心在两切线所成角的角平分线上，设圆心，即可表示出圆C的方程，又因为圆C经过点，代入解得即可得出答案.

【详解】因为直线的倾斜角为30°，

所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线上.

设圆心，则圆C的方程为，

将点的坐标代入，得，解得或.

故圆C的直径为2或.

故选：AB.

12．若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在区间上有两个不同的平均值点，则m的取值不可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据题意分析可得原题意等价于与有两个不同的交点，求导，利用导数判断单调性，结合图象分析判断.

【详解】因为函数在区间上有两个不同的平均值点，

则有两个不同的根，

整理得，

构建，则原题意等价于与有两个不同的交点，

因为，令，解得；令，解得；

则在上单调递减，在上单调递增，

且，

所以，

因为，

所以m的取值不可能是.

故选：AD.

三、填空题

13．在全国第七次人口普查中，山东省16个城市的人口数（单位：万）如下表所示，则该组数据中的分位数为___________万.

【答案】880

【分析】将16个城市的人口数从小到大排序，根据百分位数的计算方法，即可求解.

【详解】由题意，将16个城市的人口数从小到大排序：219，291，297，386，393，470，547，561，595，710，836，880，920，939，1007，1102，

因为，所以该组数据的分位数是第12个数，即为880，

所以该组数据的分位数为.

故答案为：.

14．已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则的面积为_________．

【答案】

【分析】根据抛物线焦半径的求解可得，进而得，由面积公式即可求解.

【详解】设，由，可得，所以，

则，即，所以的面积为．

故答案为：

15．定义在R上的奇函数满足R，，且当时，，则_________．

【答案】1012

【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.

【详解】因为是奇函数，且，

所以，

故是周期为4的周期函数．

所以，

令,可得，所以，

因为函数为奇函数且周期为4，所以，

则，

则．

故答案为:1012.

16．在四面体中，，，向量与的夹角为，若，则该四面体外接球的表面积为_____________．

【答案】

【分析】利用条件，将四面体补成直三棱柱，再利用条件和球的截面圆的性质即可求出外接球的半径，从而求出结果.

【详解】如图，过点作且，连，

因为，所以，又，，平面，所以平面，

将四面体补成如图所示的直三棱柱，则四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，

因为向量与的夹角为，所以，又，所以三角形是等边三角形，

设直三棱柱上下底面中心分别为，连接，则由球的截面圆的性质知，球心为的中点，

设外接球的半径为，易知，，所以，

所以该四面体外接球的表面积为．

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列 满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和 .

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等比数列的首项和公比即可求解；

（2）由等比数列的求和公式以及裂项求和即可.

【详解】（1）由，当时，，得，

因为，所以是首项为4，公比也为4的等比数列，

所以.

（2）由（1）知，

所以

18．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为棱上的一点．

(1)证明：；

(2)若二面角的余弦值为，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用三角形的关系及余弦定理求得线与线垂直，再利用线面垂直的性质定理即证；

（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设出，利用空间向量的性质表示出二面角的余弦值，求得即可.

【详解】（1）证明：过点A作，垂足为N，

在等腰梯形中，因为，所以．

在中，，则，则．

因为底面，底面，所以．

因为，所以平面．

又平面，以．

（2）解：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，，则，

则．

设平面的法向量为，则令，得．

由图可知，是平面的一个法向量．

因为二面角的余弦值为，所以，解得．

故当二面角的余弦值为时，．

19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列.

(1)若，求的面积.

(2)是否存在正整数b，使得的外心在的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）由结合正弦定理可得到，结合等差数列可求出a，b，c的值，然后用余弦定理求出，继而求出，即可求得面积；

（2）先假设存在，由题意可得是钝角三角形，而通过可得，再结合两边之和大于第三边即求出，即可求解

【详解】（1），由正弦定理得，

a，b，c是公差为2的等差数列，，，

，，，，

，

，且，，

故的面积为.

（2）假设存在正整数b，使得的外心在的外部，则为钝角三角形，

依题意可知，则C为钝角，则，

所以，解得，

，，

，

存在正整数b，使得的外心在的外部，此时整数b的取值集合为.

20．某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”.参赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名得0分，每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于6分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰.“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失败者则被淘汰.已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第三名、第四名的概率均为；甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为.

(1)求甲获得参加“挑战答题”活动资格的概率.

(2)“挑战答题”活动规则如下：参赛者从10道题中随机选取5道回答，每道题答对得1分，答错得0分.若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的10道题中只有3道题甲不能正确回答，记甲在“挑战答题”中累计得分为X，求随机变量X的分布列与数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，由题意确定的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得答案.

（2）确定随机变量X的所有可能取值，求得每个值对应概率，可得分布列，即可求得数学期望.

【详解】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，则甲在“四人赛”中累计得分不低于6分包含了或或或.

；

；

；

，

所以甲在“四人赛”中累计得分不低于6分的概率，

故甲能进入“挑战答题”活动的概率.

（2）随机变量X的所有可能取值为，

；；

；.

所以X的分布列如下表所示：

所以.

21．已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由以及即可求解的值，

（2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即可化简求解.

【详解】（1）由，可得，解得，

又因为，所以，

因为点在椭圆上，所以，

解得，，，所以椭圆的标准方程为．

（2）证明：当与轴重合时，，所以

当不与轴重合时，设，直线的方程为，

由整理得，

则，

故

圆心到直线的距离为，则，

所以，即为定值．

22．已知函数

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线方程的公式，求得切点坐标与斜率，可得答案；

（2）先写出一个正整数，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，研究最值，可得答案.

【详解】（1），

因为，所以，则，

所以曲线在处的切线方程为，即．

（2）当时，恒成立，即恒成立，

证明过程如下．

今，

①当时，，所以．

②当时，，令，

则，可知在上单调递增．

当时，，所以，即在上单调递增，

又因为，所以，即在上单调递增，

所以成立．

一般情况下探求：当时，，即，

令，

①当时，，所以．

②当时，，令，

则，可知在上单调递增．

又因为，所以存在，使得，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为，所以只需满足即可.