【期末复习】第四单元《比例》——小学数学人教版六年级下册单元知识梳理+练习（原卷版+解析版）

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人教版六年级下册同步重难点讲义精讲精练
第四单元 比例





1、比例的意义：比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
2、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
3、比和比例的区别
（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。
（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。
4、解比例：根据比例的基本性质，把比例转化成以前学过的方程，求比例中的未知项，叫做解比例。

5、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k（一定）
6、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k（一定）
7、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：
关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。
8、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
9、比例尺的分数
（1）数值比例尺和线段比例尺
（2）缩小比例尺和放大比例尺
10、图上距离：实际距离=比例尺
实际距离×比例尺=图上距离
图上距离÷比例尺=实际距离
11、应用比例尺画图
（1）写出图的名称、
（2）确定比例尺；
（3）根据比例尺求出图上距离；
（4）画图（画出单位长度）
（5）标出实际距离，写清地点名称
（6）标出比例尺
12、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。（相似图形）
13、用比例解决问题：
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。
=
考点1：比例的意义
【典例分析01】被减数一定，减数与差（　　）。
A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例
【答案】A
【完整解答】解：被减数一定，减数与差不成比例。
故答案为：A。
【思路引导】正比例的判断方法：相关联，能变化，商一定；反比例的判断方法：相关联，能变化，积一定。
【典例分析02】下面哪组的比可以组成比例？（　　）
A．9：4=18：16 B．3：7=12：21 C．9：27=18：54
【答案】C
【完整解答】解：A：9：4= ，19：16= ，不能组成比例；
B：3：7= ，12：21= ，不能组成比例；
C：9：27= ，18：54= ，能组成比例。
故答案为：C。
【思路引导】表示两个比相等的式子叫做比例，因此两个比值相等的比就能组成比例。
【变式训练1-1】用右图中的4个数据可以组成多少个比例？





【变式训练1-2】组成比例的四个数中，中间的两个数叫做比例的　 　。
考点2：比例的基本性质
【典例分析03】在一个比例里两个内项的积是最小合数，一个外项是1，那么另一个外项是　 　.
【答案】4
【完整解答】解：最小的合数是4；
4÷1=4。
故答案为：4。
【思路引导】比例的两个内项之积÷其中一个外项=另一个外项，据此解答。
【典例分析04】在比例里，（　　），这叫作比例的基本性质。
A．两个外项的和等于两个内项的和
B．两个前项的积等于两个后项的积
C．两个外项的积等于两个内项的积
【答案】C
【完整解答】解：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积 ，叫作比例的基本性质。
故答案为：C。
【思路引导】比例的两个外项之积÷其中一个内项=另一个内项；比例的两个内项之积÷其中一个外项=另一个外项。
【变式训练2-1】在一个比例里，两个外项都是质数，它们的积是26，已知一个内项是130，那么另一个内项为（　　）
A．5 B．13 C．2 D．
【变式训练2-2】（2021六下·汤阴期中）应用比例的基本性质判断下面哪组中的两个比可以组成比例，把组成的比例写出来。
（1）16：8和24：4 （2）3.2：0.2和6.4：0.4


（3） ： 和8：3 （4） ： 和 ：

考点3：解比例
【典例分析05】解方程或比例。
（1） x- x=0.8
（2） ∶x= ∶
【答案】（1）解：x=6
（2）解：x=
【完整解答】（1） x- x=0.8
解： x=
x= ÷
x= ×
x=6
（2） ∶x= ∶
解： x= ×
x=
x= ×5
x=
【思路引导】解比例时，根据比例的基本性质把比例化为方程，再根据等式性质解方程；
比例的基本性质：比例的两个外项之积等于比例的两个内项之积；
等式性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；
等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
【典例分析06】一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以上的高度比符合黄金比0.618：1，则这个人的身材比较好看。一个参加空姐选拔活动的选手身高是165cm，她肚脐以上的部分长65cm，未来显得更好看些，她应该穿多高的鞋子？（得数保留整数）
【答案】解：设她应该穿鞋跟高xcm的鞋子。
65：（165-65+x）=0.618：1
0.618（100+x）=65
x≈5
答：她应该穿鞋跟高5cm的鞋子。
【完整解答】解：设她应该穿鞋跟高xcm的鞋子。
65：（165-65+x）=0.618：1
0.618×（100+x）=65
61.8+0.618x=65
0.618x=65-61.8
0.618x=3.2
x=3.2÷0.618
x≈5
答：她应该穿鞋跟高5cm的鞋子。
【思路引导】空姐的身高-肚脐以上的部分长+鞋子的高度=肚脐以下的部分长；肚脐以上的部分长：肚脐以下的部分长=0.618：1，据此写比例，解比例时，根据比例的基本性质把比例化为方程，再根据等式性质解方程。
【变式训练3-1】解方程9：2=27：x，得出x的值正确的是（　　）。
A．3 B．6 C．9
【变式训练3-2】根据比例的基本性质，在横线上填上合适的数。
1.2∶ =2.4∶　 　 = 　 　
3∶9=　 　∶15 　 　=
　 　∶3=4∶　 　 0.5∶　 　=　 　∶12
考点4：成正比例的量
【典例分析07】下面是买同一种书的本数与所付书费的情况。
本数
0
1
2
3
4
5
6
7
…
书费/元
0
_____
_____
27
_____
_____
54
_____
…
（1）把上面的表格填写完整。
（2）先根据上表描点，再顺次连接各点，你发现了什么？

（3）所付书费与买的本数成　 　比例，点（8，72）　 　（填“在”或“不在”）这条直线上，这一点表示　 　。
（4）万老师带200元最多可以买　 　本这种书。
【完整解答】解：（1）1×9=9，2×9=18，4×9=36，5×9=45，7×9=63，
本数
0
1
2
3
4
5
6
7
…
书费/元
0
9
18
27
36
45
54
63
…
（2）

答：我发现这是从（0，0）出发的一条射线。
（3）9÷1=18÷2=27÷3=......=9，所付书费与买的本数成正比例；
72÷8=9，点（8，72）在这条直线上，这一点表示买8本书要72元；
（4）200÷9=22（本）......2（元）
最多可以买22本这种书。
【思路引导】（1）本数×9元=总钱数，据此填数；
（2）正比例的图形是从（0，0）出发的一条射线；
（3）比值一定，成正比例；点（8，72）的比值也是9，说明在这条直线上，据此解答；
（4）总钱数÷单价=买的本数......余下的钱数。
【典例分析08】下面所给例子中（　　）不成比例
A．速度一定时，路程和所用时间 B．单价一定时，数量和总价
C．长方形的面积和宽 D．圆锥底面积一定时，体积和高
【答案】C
【完整解答】解：A：路程÷时间=速度（一定），路程和所用时间成正比例；
B：总价÷数量=单价（一定），数量和总价成正比例；
C： 长不是一定的，长方形的面积和宽不成比例；
D：圆锥的体积÷高=底面积÷3（一定），体积和高成正比例。
故答案为：C。
【思路引导】正比例的判断方法：相关联，能变化，商一定。
【变式训练4-1】弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量情况如下表。
物体的质量/kg
3
4
5
弹簧伸长的长度/cm
0.6
0.8
1
如果在弹簧伸长的长度为2.2cm，那么所挂物体的质量为（　　）kg。
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式训练4-2】填空题
（1）总钱数一定时，订《小学生数学报》的份数和单价成　 　比例。
（2）在横线上填上“每小时生产服装件数”“生产时间”或“生产服装总数”。
　 　一定，　 　和　 　成反比例。　 　一定，　 　和　 　成正比例。
（3）A× =2×B（A≠0，B≠0），则A、B成　 　比例。
考点5：成反比例的量
【典例分析09】判断下面各题中两个量是否成比例？成什么比例？
（1）平行四边形的面积一定，它的底与高。　 　
（2）圆的周长一定，圆的半径与圆周率。　 　
（3）圆锥的底面积一定，它的体积与高。　 　
【答案】（1）成反比例
（2）不成比例
（3）成正比例
【完整解答】解：（1）底×高=平行四边形的面积（一定），积一定，它的底与高成反比例；
（2）圆的周长一定，圆的半径与圆周率不成比例；
（3）圆锥的体积÷3÷高=底面积（一定），圆锥的底面积一定，它的体积与高成正比例。
故答案为：（1）成反比例；（2）不成比例；（3）成正比例。
【思路引导】（1）平行四边形的面积（一定），也就是积一定，它的底与高成反比例；
（2）圆周率是一个定值，不能随着半径的变化而变化，所以圆的周长一定，圆的半径与圆周率不成比例；
（3）圆锥的底面积一定，它的体积与高成正比例。
【典例分析10】下图表示面积一定时，长方形的长和宽的关系。

（1）长方形的长与宽成什么比例？为什么？
（2）长方形的长是120cm时，宽是　 　cm；长方形的宽是4cm时，长是　 　cm。
【答案】（1）长方形的长与宽成反比例。因为长×宽=300（一定）。
（2）2.5；75
【完整解答】解：（1）60×5=300（平方厘米）
30×10=300（平方厘米）
20×15=300（平方厘米）
15×20=300（平方厘米）
12×25=300（平方厘米）
长×宽=面积（一定），长方形的长与宽成反比例。
（2）300÷120=2.5（厘米），长方形的长是120厘米时，宽是2.5厘米；
300÷4=75（厘米），长方形的宽是4厘米时，长是75厘米。
故答案为：（1）2.5；75。
【思路引导】（1）长×宽=面积（一定），乘积一定，长方形的长与宽成反比例；
（2）长方形的宽=面积÷长；长方形的长=面积÷宽。
【变式训练5-1】同学们表演团体操，原来排成24行，每行20人。队形变化后，排成30行，每行有多少人？


【变式训练5-2】运一批货物，每车运的吨数和需要车的辆数如下表。
每车运的吨数/吨
1
3
5
10
12
需要车的辆数/辆
60
20
12
6
5
（1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小。
（3）表中相关联的两种量成反比例吗？为什么？



考点6：比例尺
【典例分析11】比例尺100：1，表示把实际距离　 　100倍后画在图上。有一个机器零件长1.5 mm，在图上表示是3 cm，那么这幅图的比例尺是　 　。
【答案】放大；20：1
【完整解答】解：比例尺100：1，表示把实际距离放大100倍后画在图上；
这幅图的比例尺是：
3厘米：1.5毫米
=30毫米：1.5毫米
=30：1.5：
=300：15
=20：1
故答案为：放大；20：1。
【思路引导】第一空：100表示图上距离，1表示实际距离，图上距离÷实际距离=图上距离是实际距离的倍数；
第二空：根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，把比化为最简单的整数比。
【典例分析12】观察下图，学校在小冬家北偏　 　（　 　）°的方向上，距离小冬家约　 　米。（比例尺1：8000）

【答案】东；45；120
【完整解答】解：1.5÷=12000（厘米）
12000厘米=120米，学校在小冬家北偏东45°的方向上，距离小冬家约120米。
故答案为：东；45；120。
【思路引导】实际距离=图上距离÷比例尺，然后单位换算；在地图上的方位是上北，下南，左西，右东；西南和东北相对，西北和东南相对。
【变式训练6-1】

（1）用数对表示上图中A点的位置　 　。
（2）将三角形ABC向右平移6格，再向下平移3格后在图中画出来。
（3）将三角形ABC绕B点逆时针旋转90°，画出这个图形。
（4）在C点的北偏东45°方向2厘米处有一点D，在图中表示出D点所在的位置。如果这幅图是用1：10000的比例尺画出来的，那么C点到D点的实际距离是（　　）米。


【变式训练6-2】一幅地图上的线段比例尺是 ，把这个线段比例尺改写为数值比例尺是（　　）。
A．1：20 B．20：1 C．1：2000000 D．2000000：1
考点7：图形的放大和缩小
【典例分析13】一个正方形边长为4cm，按3：1的比放大后，得到图形的边长是　 　cm，面积是　 　cm²（答案以单个空格隔开）
【答案】12；144
【完整解答】解：边长：4×3=12（cm），面积：12×12=144（cm2）。
故答案为：12；144。
【思路引导】按3：1放大后的正方形边长是原来正方形边长的3倍，这样先计算出放大后的正方形边长，再用边长乘边长求出面积即可。
【典例分析14】将一个边长为2cm的正方形，按4：1的比放大后，得到的正方形面积是原正方形的（　　）倍。
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【完整解答】解：2×4=8（cm）
（8×8）÷（2×2）
=64÷4
=16
故答案为：D。
【思路引导】按4：1放大的意思就是放大后的边长是原来边长的4倍，这样先求出放大后正方形的边长，然后用放大后正方形的面积除以原来正方形的面积即可。
【变式训练7-1】按2∶1画出多边形放大后的图形。

【变式训练7-2】找出规律填一填，画一画。

（1）图形A中的大正方形是把小正方形按　 　：　 　放大得到的，图形B中的大平行四边形是把小平行四边形按　 　：　 　放大得到的。
（2）找出规律，并按规律画出把图形C中的小四边形按5：1放大后的图形。



考点8：用比例解决问题
【典例分析15】甲、乙两地间的距离是490 km，一辆汽车从甲地出发去乙地，5小时行驶了350 km。照这样计算，行完全程还要几小时？（用比例解）
【答案】解：解：设行完全程还要x小时。
＝
x＝2
答：行完全程还要2小时。
【思路引导】解：设行完全程还要x小时。
＝
350x=5×（490-350）
350x=5×140
350x=700
x=700÷350
x＝2
答：行完全程还要2小时。
【思路引导】等量关系：5小时行驶的路程：5小时=x小时行驶的路程：x小时，根据等量关系列比例；
解比例时，根据比例的基本性质把比例化为方程，再根据等式性质解方程。
【典例分析16】（2021六上·定州期中）某天中午六年级同学同时测量了一棵大树和学校旗杆的影长，测量结果是：大树影长3.2米，旗杆影长6米。已知旗杆的高度为15米，这棵大树高多少米？
【答案】解：设大树的高是x米，则
3.2：x=6：15
6x=3.2×15
6x÷6=3.2×15÷6
x=8
答：这棵大树高8米。
【思路引导】设大树的高是x米，根据题意可得大树的影长：这棵大树的高度=旗杆的影长：旗杆的高度，代入数值，再根据比例的基本性质即可得出一个方程，求解方程即可得出答案。
【变式训练8-1】（2021·镇原）在一幅比例尺是1：7500000的地图上，量得甲、乙两地相距12 cm。一列火车以100 km/h的速度从甲地开往乙地，多少小时能走完全程？（用比例解）



【变式训练8-2】（2021·昌黎）芳芳平时朗读时，2分钟能读完约300字的文章。现在他拿到一篇约1800字的演讲稿，要去参加学校的“10分钟演讲比赛”，你觉得演讲稿的字数合适吗？（用比例解）




基础练
一．选择题
1．（2022春•牡丹区校级月考）利率表示单位时间内（　　）的比值。
A．利息与时间 B．本金与利息 C．利息与本金
2．（2021秋•兴文县期末）（如图）正方形A到B，图形的大小变化是（　　）

A．图形放大了 B．图形缩小了 C．大小没变
3．（2021秋•井研县期末）如果m：n＝3，那么的值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题
4．（2022春•永州期中）一个比例的两个内项互为倒数，其中一个外项是，另一个外项是 　 　。
5．（2021秋•华蓥市期末）将一个平面图形放大或缩小后，与原来相比，图形的 　 　相同，　 　不同。
6．（2021秋•迁安市期末）把如图长方形的长和宽都缩小到原来的，画到右侧方格纸上。（1格长度代表1厘米）

（1）此时，右侧示意图的比例尺是 　 　，新得到图形的周长是原图形周长的 　 　，面积是原图形面积的 　 　。
（2）在右侧长方形中画一个最大的圆，圆的周长是 　 　厘米。
7．（2021秋•兴文县期末）一幅地图用2cm表示实际距离400m，这幅地图的比例尺是 　 　。
三．判断题
8．（2021秋•邢台期末）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数。 　 　（判断对错）
9．（2021秋•威县期末）比例尺实际上就是一个比．…　 　． （判断对错）
10．（2021春•汤阴县期中）若4x＝3y（x、y均不为0），则x和y成正比例。 　 　（判断对错）
四．计算题
11．（2022春•永州期中）解方程或比例。
x：＝：4
＝
x+x＝85



12．（2022春•陕州区期中）按照下面的条件列比例并解比例。
（1）最小的质数与最小合数的比等于X与6的比。
（2）比例的两个外项分别是5和8，一个内项是2.5，另一个内项是多少？



五．应用题
13．（2021•德宏州）一方有难八方支援。瑞丽疫情期间，某市向瑞丽捐献了大量生活物资。一辆汽车每次运6.8吨，5辆汽车可以运完，如果每辆汽车每次运8.5吨，需要多少辆汽车才能运完？（用比例知识解答）



14．（2021春•罗湖区期末）甲、乙两地相距520千米。一辆汽车从甲地开往乙地，4时行驶了160千米。照这样的速度，这辆汽车从甲地到乙地需要开几小时？（用比例解）


15．（2021春•邹城市期中）育才小学为美化校园环境，购买了一些杜鹃花，要栽在一个长方形花园里。如果每行栽24棵，正好可以栽48行；如果每行多栽12棵，现在可以栽多少行？（用比例解答）


六．解答题
16．（2021春•汤阴县期中）应用比例的基本性质，判断下面哪组中的两个比可以组成比例，把组成的比例写出来。
（1）16：8和24：4
（2）3.2：0.2和6.4：0.4


（3）和8：3
（4）和



17．（2021春•沛县期中）按要求在方格纸上画图并填空。
（1）按2：1的比画出三角形放大后的图形，放大后的三角形的面积是原来三角形面积的 　 　。
（2）按1：2的比画出圆缩小后的图形，并与原来的圆组成一个圆环。

提高练
一．选择题
1．（2021秋•丰润区期末）下面各组中的两个比能组成比例的是（　　）
A．7：2和4.2：12 B．：和12：8
C．9：7.5和6：5
2．（2021•昭通）5：7的前项加上15，要使比值不变，后项应加上（　　）
A．15 B．28 C．21
3．（2021春•汤阴县期中）在4：3＝12：9中，若前项4加上8，要使比例仍然成立，则后项3应（　　）
A．加上8 B．乘2 C．乘3
二．填空题
4．（2021秋•丰润区期末）甲数的6倍正好与乙数的相等（甲乙两数均不为0），那么甲：乙＝　 　：　 　。
5．（2021春•河源期中）在一个比例式中，两个外项的积是，其中一个内项是，则另一个内项是 　 　。
6．（2021春•滨海县期中）如果4、5、8与A可以组成比例式，那么A最大是 　 　，A最小是 　 　。
7．（2021春•新沂市期中）在一幅比例尺是1：2000000的地图上量的AB两地长6厘米，AB两地的实际距离是　 　千米，把AB两地画在第二幅地图上，长12厘米，第二幅地图的比例尺是　 　，BC两地长240千米，画在第二幅地图上长　 　厘米．
三．计算题
8．（2019秋•金溪县期末）解比例和方程。
x﹣x＝24
x：＝15×
80%x﹣18×＝4



四．应用题
9．今年三毛和二毛的年龄比是7：5，五年后，三毛与二毛的年龄比是13：10，问两人今年各几岁？


10．（2020•滕州市）在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表：
每个小正方形的面积/cm2
4
9
16
所需小正方形的数量/个
216
96
54
（1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成　 　比例关系．
（2）如果采用面积是36cm2的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答）


11．（2021春•阳信县期中）科技的发展改善了我们的生活，也改变了人们的出行方式，人们可以选择的交通工具多种多样，如：地铁、汽车、高铁、火车、飞机等。据了解，从济南到郑州的公路长是440km。若一辆车2小时行了160km，照这样计算，从济南到郑州需要多少个小时？先说说路程和时间成什么比例，再用比例解。



12．（2020•临猗县）果果家在装修房屋时，买了同样大小的地砖，铺地面积与所需块数的关系如图．他家的客厅面积是48平方米，需要多少块这种地砖？



13．（2017春•裕安区期末）合肥到六安的实际距离大约是90km，在一幅地图上量得这两地间的距离是20cm．这幅地图的比例尺是多少？


五．解答题
14．（2021•江干区）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BE与EC的长度比是4：5。如果梯形面积为65cm2，那么平行四边形ABED的面积是多少？



15．（2021•唐县）同学们探究“杠杆原理”背后隐藏的数学原理，做了如下实验：左边在刻度4上放3个砝码并保持不变，右边刻度及放砝码数如图所示，此时两边保持平衡。

思考：右边分别在其余刻度上放几个砝码才能保证平衡呢？
请你把表格补充完整。
右刻度
1
2
3
4
所放砝码数

6

3
乘积




从表中你发现刻度数和所放砝码数成什么比例关系？为什么？