【期末复习】第三单元《长方体和正方体》——小学数学人教版五年级下册单元知识梳理+练习（原卷版+解析版）

人教版五年级下册同步重难点讲义精讲精练

第三单元 长方体和正方体

知识点一：长方体和正方体的认识

1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。

3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。

4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。

知识点二：长方体和正方体的表面积

1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。

2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4       底面积（占地面积）＝长×宽

　　　     侧面积（左面、右面）＝宽×高　　前（后）面积＝长×高

　　　     表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2

　　　     没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2

3、正方体公式：棱长和＝棱长×12       棱长＝棱长和÷12

　　　     表面积＝棱长×棱长×6　（任意一个面积×6）

　　　     没盖的表面积＝棱长×棱长×5

知识点三：长方体和正方体的体积

1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。

10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高

字母公式：v=abh             v=sh

3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长

4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。

5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。

6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。

7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。

8、、体积和容积单位之间的进率：　

1立方米＝1000立方分米　　1立方分米＝1000立方厘米

1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米

1立方分米＝1升      1立方厘米＝1毫升       1升＝1000毫升

字母表示：1 =1000  1 =1000   1L=1000ml   1L=1   1ml=1

9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。

考点1：长方体的特征

【典例分析01】（2022春•兴仁市校级月考）一个长方体长13厘米，宽8厘米，高6厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（　　）

A．13厘米 B．8厘米 C．7厘米 D．6厘米

【思路引导】比较长方体的长、宽、高的大小，切成的正方体棱长最长不能超过它们中最小的数据，据此解答。

【完整解答】解：13＞8＞6，所以正方体的棱长最大是6厘米。

故选：D。

【考察注意点】主要考查把一个长方体切成一个最大的正方体，根据长方体的长、宽、高来确定正方体的最大棱长。

【典例分析02】小青过生日了。小亚给小青准备的生日礼物（如图），你知道小亚包扎礼物盒用的丝带有多长吗？

【思路引导】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于2条长，2条宽，4条高，再加打结处用的20厘米；由此列式解答。

【完整解答】解：8×2+6×2+5×4+20

＝16+12+20+20

＝68（cm）

答：小亚包扎礼物盒用的丝带有68厘米长。

【考察注意点】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和。

【变式训练1-1】（2021秋•武山县期末）中秋节，好利来蛋糕房用一根70米长的红丝带包装月饼盒．每个月饼盒要用1.6米长的丝带．这根红丝带最多可以包装多少盒月饼？

【变式训练1-2】（2021秋•莱芜区期末）李叔叔用一根52厘米长的铁丝做一个高5厘米的长方体模型，能做成多少种不同的长方体？（长、宽均为整厘米数）请你用合适的方式把所有不同的长方体都列举出来吧!

考点2：正方体的特征

【典例分析03】（2022春•播州区月考）用一根36cm长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是_______cm。（　　）

A．3 B．4 C．6 D．12

【思路引导】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，用棱长总和除以12即可。

【完整解答】解：36÷12＝3（厘米）

答：这个正方体的棱长是3厘米。

故选：A。

【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及棱长总和公式的灵活运用。

【典例分析04】（2021春•德惠市期中）用一根长120厘米的铁丝围成一个正方体框架，棱长最长为（　　）厘米。

A．15 B．20 C．12 D．10

【思路引导】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，用棱长总和除以12即可。

【完整解答】解：120÷12＝10（厘米）

答：棱长最长为10厘米。

故选：D。

【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及棱长总和公式的灵活运用。

【变式训练2-1】（2021秋•福绵区 期末）一个正方体木箱的棱长是米，将木箱的每条棱钉上木条，一共用 　 　米木条。

【变式训练2-2】（2022春•播州区月考）蛋糕店用彩带包装一个生日蛋糕盒（如图），包装好后还预留60cm彩带打蝴蝶结，这根彩带一共长多少厘米？

考点3：表面积的认识

【典例分析05】用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（　　）平方厘米．

A．44 B．40 C．32 D．38

【思路引导】要使拼组后的表面积最小，则可以把这两个长方体的最大面（3×2的面）相粘合，这样表面积就比原来的表面积减少了2个最大面的面积，由此利用长方体的表面积公式先求出这两个长方体的表面积之和，再减去两个3×2面的面积即可解答．

【完整解答】解：（3×2+3×1+1×2）×2×2﹣3×2×2

＝11×4﹣12

＝44﹣12

＝32（平方厘米），

答：表面积最小是32平方厘米．

故选：C．

【考察注意点】两个相同的长方体拼组大长方体，要使拼组后的表面积最小，则把最大面相粘合．

【典例分析06】（2019春•章丘区期末）一个长方体的底是面积为4平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（　　）平方分米．

A．18 B．48 C．64

【思路引导】根据正方形的面积公式：S＝a2，已知长方体的底面是正方形，面积是4平方分米，由此可以求出底面边长，再根据正方形的周长公式：C＝4a，求出底面周长，它的侧面展开图正好是一个正方形，说明这个长方体的底面周长和高相等，把数据代入公式解答即可．

【完整解答】解；因为2的平方是4，所以底面边长是2分米，

2×4＝8（分米）

8×8＝64（平方分米）

答：这个长方体的侧面积是64平方分米．

故选：C．

【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及正方形的面积公式、周长公式的灵活运用．

【变式训练3-1】（2021春•阳信县期末）体积相等的长方体，表面积一定相等． 　 　．（判断对错）

【变式训练3-2】（2020春•汤阴县期中）一种长方体铁皮通风管长3m，管口是边长为2dm的正方形．做20根这样的通风管至少需要多少平方米的铁皮？（接口忽略不计）

考点4：体积、容积进率及单位换算

【典例分析07】（2021秋•钦北区期末）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。

【思路引导】3升＝3000毫升，3000毫升＞2500毫升；

999升＝999000毫升，1001毫升＜999000毫升；

360÷6÷3＝360÷（6×3）＝360÷18，360÷9÷2＝360÷（9×2）＝360÷18，360÷6÷3＝360÷9÷2。

【完整解答】解：

故答案为：＞，＜，＝。

【考察注意点】不同单位的名数的大小比较通常是先化成相同的单位名数，再根据数值的大小进行比较。算式的大小比较通常是口算或估算出结果再根据结果进行比较，或先找规律或性质，然后再根据规律或性质进行比较。

【典例分析08】立方米和立方分米单位间的进率是 　            　，立方分米和立方厘米单位间的进率是 　     。

【思路引导】根据对常用体积（容积）单位的认识，立方米和立方分米单位间的进率是1000，立方分米和立方厘米单位间的进率是1000。

【完整解答】解：立方米和立方分米单位间的进率是1000，立方分米和立方厘米单位间的进率是1000。

故答案为：1000，1000。

【考察注意点】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻单位之间的进率是1000。

【变式训练4-1】（2021秋•钟楼区校级期末）把一瓶净含量是2升的果汁倒进容量是250毫升的杯子，倒满2杯后，瓶中还剩 　    　毫升，剩下的果汁还能再倒满 　 　杯。

【变式训练4-2】（2021秋•侯马市期末）15升＝　     　毫升；5升﹣200毫升＝　     毫升。

考点5：长方体和正方体的表面积

【典例分析09】（2022春•兴仁市校级月考）商场有一个长方体的柜台，长10米，宽0.6米，高0.9米。这个柜台的占地面积是（　　）平方米。

A．5.4 B．6 C．9 D．0.54

【思路引导】根据题意可知，这个柜台的占地面积指的是这个长方体的底面积，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式解答。

【完整解答】解：10×0.6＝6（平方米）

答：这个柜台的占地面积是6平方米。

故选：B。

【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

【典例分析10】（2022春•播州区月考）一个装钙奶饼干的长方体盒子高20厘米，底面是100cm2的正方形，一张商标纸正好贴满盒子四周，这张商标纸至少有_______cm2。（　　）

A．200 B．400 C．800 D．2000

【思路引导】根据长方体的侧面积＝底面周长×高，已知长方体盒子的底面是正方形，底面积是100平方厘米，根据正方形的面积公式：S＝a2，据此可以求出底面边长，进而求出这张商标纸的面积。

【完整解答】解：因为10的平方是100，所以长方体的底面边长是10厘米，

10×4×20

＝40×20

＝800（平方厘米）

答：这张商标纸的至少800平方厘米。

故选：C。

【考察注意点】此题主要考查正方形的面积公式、长方体的侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出长方体的底面边长。

【变式训练5-1】（2022春•兴仁市校级月考）一个长方体，如果高减少2cm就变成了一个正方体，表面积比原来减少72cm2。原来长方体的表面积是多少平方厘米？

【变式训练5-2】（2022春•兴仁市校级月考）下面是两个无盖的纸盒，分别求出它们的棱长总和和表面积。（单位：cm）

考点6：长方体和正方体的体积

【典例分析11】（2022春•浠水县校级月考）由一个正方体木块加工成最大的圆柱，它的底面直径是10厘米，这个正方体的体积是（　　）立方厘米。

A．8000 B．4000 C．1000 D．314

【思路引导】根据题意可知，把一个正方体加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。

【完整解答】解；10×10×10＝1000（立方厘米）

答：这个正方体的体积是1000立方厘米。

故选：C。

【考察注意点】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键 是熟记公式。

【典例分析12】学校运来8.4m3的沙子，铺在一个长6m、宽28dm的沙坑里，可以铺 　0.5　m厚。

【思路引导】先把28dm化成2.8m，由长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据解答即可。

【完整解答】解：28dm＝2.8m

8.4÷（6×2.8）

＝8.4÷16.8

＝0.5（m）

答：可以铺0.5m厚。

故答案为：0.5。

【考察注意点】熟练掌握长方体的体积的计算方法是解题的关键，解决此题要注意先统一单位。

【变式训练6-1】（2021秋•泗洪县期末）一根长方体木料，长5米，横截面是一个边长为0.4米的正方形。这根木料横截面的面积是 　    　平方米，体积是 　      立方米。

【考察注意点】此题主要考查正方形和长方体的体积的计算方法的实际应用。

【变式训练6-2】为了迎接建校95周年，幸福小学五年级学生用棱长4cm的正方体木块拼插积木，在宣传栏旁边搭起一面长8m、宽12cm、高2m的宣传墙，这面墙一共用了多少块积木？

考点7：长方体、正方体表面积与体积计算的应用

【典例分析13】四张长方形纸的长、宽分别如下，把这四张纸分别以长边为底面周长，短边为高卷成圆柱，体积最大的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【思路引导】圆柱的体积＝底面积×高，分别求出体积进行比较即可。

【完整解答】解：A.π×（24÷π÷2）²×1

＝π××1

＝（cm³）

B.π×（6÷π÷2）²×4

＝π××4

＝（cm³）

C.π×（12÷π÷2）²×2

＝π××2

＝（cm³）

D.π×（8÷π÷2）²×3

＝π××3

＝（cm³）

＞＞＞

故选：A。

【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，圆柱体积的计算方法及应用。

【典例分析14】（2021秋•伊川县期末）做一个长方体纸盒，需要用多少平方厘米的硬纸板，是求长方体纸盒的（　　）

A．体积 B．容积 C．表面积

【思路引导】根据长方体的表面积的意义，长方体的6个面的总面积叫做长方体的表面积。据此解答即可。

【完整解答】解：做一个长方体纸盒，需要用多少平方厘米的硬纸板，是求长方体纸盒的表面积。

故选：C。

【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。

【变式训练7-1】（2021秋•鹿邑县期末）有一个长方体游泳池，从里面量长50米，宽25米，池深2米。

（1）这个游泳池最多能蓄水 　    　立方米。

（2）在游泳池的底面和四壁贴瓷砖，瓷砖是边长0.5米的正方形，一共需要 　     　块这样的瓷砖。

【变式训练7-2】（2022春•岷县月考）火柴盒大家一定很熟悉吧，丽丽测得如图这个火柴盒外壳的长是5cm，宽是4cm，高是1.6cm。

（1）火柴盒外壳的上、下两个面都贴有商标纸，这两个面的面积和是多少？

（2）外壳的前、后两个面上贴的是擦火柴的专用纸，该专用纸的面积共是多少？

（3）外壳用硬纸板做成，做这个外壳共需多少硬纸板？

（4）外壳的里面是内盒，忽略纸板厚度，做这个内盒要用多少硬纸板？

基础练

一．选择题

1．（2022春•成武县校级月考）这个长方体上有（　　）种不同的长方形。

A．2 B．3 C．6

2．（2022春•兴化市月考）把一个半径和高都是1分米的圆柱沿底面半径平均分成若干等份，切开拼成一个近似的长方体，表面积增加（　　）平方分米。

A．2 B．3.14 C．4 D．4.14

3．（2021秋•合山市期末）下面说法正确的是（　　）

A．1000毫升水比10升水多 

B．1430毫升油比1升油少 

C．毫升是比升小的容量单位

二．填空题

4．（2022春•成武县校级月考）一个长方体长10cm，宽3cm，高7cm，这个长方体右面的面积是 　   　平方厘米，前面的面积是 　   　平方厘米，下面的面积是 　   　平方厘米，表面积是 　   　平方厘米。

5．（2022春•兴化市月考）0.05立方分米＝　   　立方厘米

1.6升＝　   　升 　   　毫升

6．（2021秋•陵水县期末）一个长方体正好平均分成两个正方体，正方体的棱长是4厘米，则这个长方体的体积是 　   　立方厘米。

7．（2021秋•徐州期末）如图是一个长方体礼品盒，把长方体礼品盒沿虚线捆扎，至少需要 　   　厘米长的彩带。

三．判断题

8．（2021秋•赫章县期末）长方体（除正方体外）最多有4条棱相等。 　   　（判断对错）

9．（2021秋•南充期末）有一个面是正方形的立体图形一定是正方体．　   　（判断对错）

10．（2021秋•鲁山县期末）一个长方体和一个正方体的体积相等，那么它们的表面积也相等　   　（判断对错）

四．计算题

11．（2021秋•鹿邑县月考）下面是由一个长方体和一个正方体组合成的零件，求这个零件的体积。

五．应用题

12．（2022春•成武县校级月考）李师傅要做一个棱长是4dm的正方体通风管，至少需要多少平方分米的铁皮？

13．（2021秋•宿城区期末）某小学修建一座长50米，宽15米，深1.4米的游泳池。

（1）这个游泳池的占地面积多少平方米？

（2）如果在游泳池的四周和底面贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？

（3）如果将900立方米的水注入游泳池，水面距离池口多少米？

14．（2021春•兰山区期末）一个长方体的茶叶盒，长6cm，宽5cm，高10cm，如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？

15．（2021春•青羊区期末）下面是一个长方体的展开图，请同学们看图列式计算它的体积和表面积。（单位：厘米）

16．（2021春•肥乡区期中）一个无盖的长方体食品盒，长15厘米，宽15厘米，高20厘米，如果在它的外面全部贴上商标纸，至少需要准备多少平方厘米的商标纸？

提高练

一．选择题

1．（2021秋•杏花岭区期末）在一个长方体木块上挖掉一个小正方体（如图），则剩下部分的表面积（　　）

A．比原来大 B．比原来小 

C．和原来一样大 D．无法比较

2．（2021秋•左云县期末）东东将一块棱长6厘米的正方体橡皮泥捏成一个长9厘米，宽4厘米的长方体，那这个长方体的高是（　　）厘米。

A．6 B．5 C．12

3．（2021秋•秦淮区期末）下面是一个长方体的四个面，另两个面的面积和是（　　）

A．70平方厘米 B．20平方厘米 C．35平方厘米 D．40平方厘米

二．填空题

4．（2022春•兴仁市校级月考）把三个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，表面积会减少 　   　cm2，这个长方体的棱长总和是 　   　cm。

5．（2021秋•鹿邑县期末）用一根48厘米长的铁丝正好做成一个正方体框架，如果在这个框架的表面糊上一层纸，至少需要 　   　平方厘米的纸，这个正方体的体积是 　   　立方厘米。

6．（2021秋•沭阳县期末）一个长方体水池，长是6米，宽是4米，深是2米。在这个水池里放入54立方米水，水深 　   　米。

7．（2021秋•尧都区期末）如图，将一个正方体沿虚线切三刀表面积增加了150平方厘米，这个正方体原来的表面积是 　   　平方厘米，体积是 　   　立方厘米。

三．判断题

8．（2021秋•东台市期末）一盒果汁的包装盒上标注“净含量600ML”，从外面量，长方体包装盒的长是10厘米，宽4厘米，高15厘米，这个标注是真实的。 　   　（判断对错）

9．（2021秋•涿鹿县校级期末）一个棱长是6分米的铁皮箱，它的体积和表面积相等。 　   　（判断对错）

10．（2021秋•侯马市期末）棱长之和相等的两个长方体，它们的体积也一定相等．　   　（判断对错）

四．计算题

11．（2021春•登封市期中）计算下面图形的表面积。（单位：厘米）

五．应用题

12．（2021秋•鹿邑县期末）一盒酸奶，厂家在盒子上标注“净含量：250毫升”。从外面量盒子的长是6厘米，宽是4厘米，高是10厘米。你认为厂家的标注存在欺诈吗？请解释你的结论。

13．（2021秋•侯马市期末）把一根长1.4米的长方体钢材（横截面是正方形）全部锯成长0.35米的小段，表面积比原来增加了6平方分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，原来这根钢材重多少千克？

14．（2022春•兴仁市校级月考）5个棱长都是10cm的正方体纸箱堆放在墙角处（如下图）。露在外面的面积是多少平方厘米？

15．（2021秋•莱芜区期末）李叔叔用一根52厘米长的铁丝做一个高5厘米的长方体模型，能做成多少种不同的长方体？（长、宽均为整厘米数）请你用合适的方式把所有不同的长方体都列举出来吧!