2023年山西省太原市万柏林区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山西省太原市万柏林区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年亚足联中国亚洲杯将于年月日至月日在北京、天津、上海、重庆、成都、西安、大连、青岛、厦门和苏州座城市举行，这将是中国时隔年后再次承办亚洲杯下列是四届亚洲杯会徽的部分图案，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图所示的空心圆柱的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  一个含的直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  吉瓦是功率单位，符号为，一吉瓦等于十亿瓦年月日，国家能源局发布消息：年全国风电、光伏发电新增装机再创历史新高，达到吉瓦，则数据吉瓦用科学记数法可表示为(    )

A. 瓦 B. 瓦 C. 瓦 D. 瓦

7.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：敬老院做义工；文化广场地面保洁；路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量单位：与旋钮的旋转角度单位：度近似满足函数关系如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，，是的两条弦，且，过点作的切线交的延长线于点若的半径为，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算的结果是______ ．

12.  如图，在下列网格中，小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的度数为______ ．

13.  “今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺”如果设木条长为尺，绳子长为尺，根据题意，可列方程组为______ ．

14.  如图，点、、、为上的点，若四边形是菱形，则的度数为______ ．

15.  如图，中，，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线与相交于点，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解方程：．

17.  本小题分
如图，点，分别是▱的边，的中点，连接，求证：．

18.  本小题分
正在建设中的太原地铁号线西起万柏林区西山矿务局站，终至小店区武宿机场站，整体呈西北东南走向，一期工程全长公里，共设座车站，于年月日正式开工，预计于年底通车试运营，标志色为梦想蓝甲工程队承担了一段长为米的隧道挖掘工程建设，按原计划工作天后，工程队提高了工作效率，实际工作效率比原计划提高了，继续工作天，共完成工程任务的．
求原计划每天挖掘隧道多少米？
为加快工程建设进程，乙工程队也参与这项工程建设，并要求与甲工程队合作天内完成剩余的工程，求乙工程队每天至少挖掘隧道多少米？

19.  本小题分
每年的月日是世界读书日世界读书日全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日”，最初的创意来自于国际出版商办会某校组织了以“阅读，让我们的世界更丰富”的主题活动，书香小组对本校九年级同学每周阅读课外书籍和报刊的时间进行了调查研究请将下面过程补全收集数据：通过问卷调查，兴趣小组获得了这名学生每人每周阅读课外书籍的时间，数据如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；整理数据：结果如表：

分析数据：
______ ， ______ ；
补全扇形统计图；
扇形统计图中“组”所在扇形对应的圆心角的度数为______ ；
该校九年级有名学生，请你估计九年级学生每周阅读课外书籍时长在小时及以上的学生人数；
请你结合上面的统计结果，就学生应该如何安排阅读课外书籍时间方面提出合理化建议．

20.  本小题分
阅读与思考：

任务一：填空：材料中的“依据”是指______ 乘法公式；
任务二：事实上，任意两个奇数的平方差也一定是的倍数请你给予证明提示：设：这两个奇数分别为，均为整数，且；
任务三：任意两个连续偶数的平方差也一定是的倍数吗？如果是，请你给予证明；如果不是，请写出你认为正确的结论．

21.  本小题分
太原汾河四期工程北起尖草坪区上兰村汾河漫水桥中北大学往南约米，南至柴村桥北米处太原汾河四期的建成，成为市民节假日热门打卡之地小明和小聪相约游览，他们利用无人机和所学的数学知识对某段河流的宽度进行了测量如图所示，小明站在河岸处测得无人机的仰角为，小聪站在小明对面河岸处测得无人机的仰角为，已知小明的身高，小聪的身高，无人机距地面的高度为点，，，，在同一个平面内求河流的宽度精确到参考数据：，，
 

22.  本小题分
综合与实践：问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图，已知在正方形纸片中，，分别是与的中点，连接，将正方形纸片沿折叠，点恰好落在上的点处．

问题解决：判断四边形的形状，并给予证明；
“善思”小组经过讨论，发现请你证明“善思”小组发现的结论；
拓展延伸：如图，“创新”小组在图的基础上，延长交于点，连接，若正方形纸片的边长为，请直接写出的长．

23.  本小题分
综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点点在点左侧，与轴交于点是第三象限抛物线上的一动点，连接，，，与轴相交于点．
求抛物线的函数表达式及点的坐标；
若的面积等于面积的，求点的坐标；
在的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的纵坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据绝对值的性质解答即可．
本题考查的是实数的性质，熟知负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是中心对称图，是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
此题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握相关概念是解题的关键，图形绕一点旋转后能够与原图形完全重合则此图形为中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看是一个矩形被分成三部分，分割线是虚线，
故选：．
根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，同位角相等解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：一吉瓦等于十亿瓦，
吉瓦瓦瓦．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中小明和小慧选择参加同一项目的有种结果，
所以小明和小慧选择参加同一项目的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
该函数的对称轴且，
，
故选：．
根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称的取值范围，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
阴影部分的面积


故选：．
连接，如图，先根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形面积的计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
利用同分母分式的加法法则运算即可．
本题主要考查了分式的加法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，，，
，即，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
连接，利用勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
根据题意列出方程组求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，找相等关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，，
．
故答案为：．
根据菱形的性质可得，根据圆周角定理可得，再由圆内接四边形对角互补可得，进而可得答案．
此题主要考查了圆周角定理以及菱形的性质和圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：

过作于，于，
由题可得，平分，，

，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，，，
，
设，则，，
，，
，，
∽，
，即，
解得，
，
中，．
故答案为：．
过作于，于，设，则，，依据，，可得∽，依据相似三角形对应边成比例，即可得到的长，进而得出的长．
本题考查了基本作图，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；
，
，
或，
所以，． 

【解析】先根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的除法法则和绝对值的意义计算，然后合并即可；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点，分别是▱的边，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，进一步可得，，可知四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证．
本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：设原计划每天挖隧道米，则提高了工作效率后每天挖隧道米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：原计划每天挖掘隧道米；
设乙工程队每天挖掘隧道米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
的最小值为．
答：乙工程队每天至少挖掘隧道米 

【解析】设原计划每天挖隧道米，则提高了工作效率后每天挖隧道米，利用工作总量工作效率工作时间，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设乙工程队每天挖掘隧道米，根据甲、乙工程队合作天内完成剩余的工程，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

19.【答案】     

【解析】解：由这名学生每人每周阅读课外书籍的时间数据得，．
故答案为：，；
“组”所占的百分比，
“组”所占的百分比，
补全扇形统计图如图所示：

，
故答案为：；
人，
答：估计九年级学生每周阅读课外书籍时长在小时及以上的学生人数为人；
该校九年级学生每周阅读课外书籍的时间大多数都小于小时，建议学校多开展阅读教育活动，养成阅读的好习惯．答案不唯一．
根据这名学生每人每周阅读课外书籍的时间数据即可得出答案；
根据频数分布表中的数据求出“组”、“组”所占的百分比，即可补全扇形统计图；
乘以“组”所占的百分比，即可得出答案；
用乘以九年级学生每周阅读课外书籍时长在小时及以上的学生的百分比即可；
结合上面的统计结果提出合理化建议．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】 

【解析】解：任务一：．
任务二：证明：
设：这两个奇数分别为，均为整数，且；



；
，为整数，且；
若，同为偶数，则为偶数；若，一奇一偶，则为偶数．
和中必有一个是偶数．
一定能被整除．
即，任意两个奇数的平方差一定能被整除．
任务三：不是．
正确结论是：任意两个连续偶数的平方差一定是的倍数．
任务二：按照样例分步证明即可．
任务三：设两个连续偶数分别为，，为整数，参照任务二得出正确结论答题．
对完全平方公式，平方差公式的综合考查，需要整式运算的基本功扎实．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

由题意得：，，，，，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
答：河流的宽度约为． 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，证明如下：
四边形是正方形，
，，，，
，分别是与的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
证明：由折叠的性质可知，，
，
，
由可知，四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
；
解：四边形是正方形，边长为，
，，，
，分别是与的中点，
，，
由折叠的性质可知，，，
在中，由勾股定理得：，
由可知，四边形是矩形，
，，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即的长为． 

【解析】由正方形的性质得，，，，再证四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
由折叠的性质可知，再证，然后由平行线的性质即可得出结论；
由勾股定理得，则，再求出，则，然后证，则是等腰直角三角形，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：把，分别代入中得，
，
解得，
二次函数的表达式为，
设，则，
解得舍去，，
点坐标为；
如图，过点作轴，垂足为，

设点的横坐标为，
，，
点坐标为

的面积等于面积的，
，
即，
，
解得，．
点的坐标为；
设直线的解析式为，
点的坐标为，，
，解得，
直线的解析式为，
，
抛物线与轴交于，，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，
，
，
，
当时，，
，
；
当时，，
，
；
综上，存在，点的纵坐标为或或或． 

【解析】将，代入抛物线，利用待定系数法解答即可；
过点作轴，垂足为，根据三角形的面积可得，可设点的横坐标为，得，，即可求解；
由题意可得抛物线的对称轴为直线，于是可设点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，可得，根据两点间的距离可得，，关于的代数式，再分两种情况求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特点、二次函数的性质、等腰三角形的定义以及待定系数法等知识，具有一定的综合性，正确分类、灵活应用数形结合思想是解题的关键．