2023年广西梧州市中考数学一模试卷（含解析）

2023年广西梧州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由几个棱长为的正方体组成的一个几何体，其主视图的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  在平面直角坐标系中，已知点，将点向右平移个单位长度得到点，的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一个不透明的口袋里有个除颜色外完全相同的球，其中个红球、个白球，下列说法错误的是(    )

A. 摸出个球是红球的概率是 B. 一次摸出个球都是白球的概率是
C. 一次摸出个球至少有个是红球 D. 一次摸出个球都是红球的概率是

8.  在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，作的位似图形，与相似比为：，若点的坐标为，则点的坐标为(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

9.  用半径为、圆心角为的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，注：画弧时，半径保持不变；作直线交于点，连接如果，，那么的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，圆周角与相交于点，，已知，弦，的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，直线分别与轴、轴交于，两点，与反比例函数的一个分支相交，其中有一交点为，过点作矩形，点，分别在，轴上若与的面积和为，则为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  生物的遗传信息大多储存在分子上，一个分子直径为，用科学记数法可表示为______ ．

14.  因式分解：______．

15.  甲乙两名工人生产同一种零件，甲每天比乙多生产个，甲生产个零件与乙生产个零件所用天数相同设乙每小时生产个零件，可列出方程为______ ．

16.  如图，直线与抛物线交于，两点，则关于的不等式的解集是______ ．

17.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点是对角线上的一个动点，已知，则的最小值是______ ．

18.  如图，在正方形内部作等边，交于点，过作，分别交、于点，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简后求值：，其中．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长，与的延长线交于点．
求证：；
连接，与交于点，若，，，求的长．

22.  本小题分
某校在七、八年级进行了“学党史”知识竞赛百分制，并从七、八年级中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩，整理如下：
七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，；
八年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，．

根据以上信息，解答下列问题：
表格中 ______ ， ______ ， ______ ；
这次比赛中______ 年级的成绩更稳定；
我校七年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛成绩优秀的七年级学生有多少人？

23.  本小题分
如图，某校数学兴趣小组需测量一古塔的高度该古塔旁有一个小山坡，在山脚处观测塔的顶端的仰角为，已知米，点，，在同一直线上．
求古塔的高度；结果保留根号
小明站在古塔的顶端处观测山坡的顶端的俯角为，该山坡的坡度：，求山坡的高度结果保留根号

24.  本小题分
党的二十大报告指出，“在全社会弘扬劳动精神、奋斗精神、奉献精神、创造精神、勤俭节约精神，培育时代新风新貌”我市某校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动，以培养学生养护学校盆栽的劳动技能，已知学校购买三角梅盆和绣球花盆，需要元；购买三角梅盆和绣球花盆，需要元．
求学校购买三角梅、绣球花每盆各需多少钱？
考虑到绿化效果和资金周转，学校计划购买两种盆栽共盆，且购买三角梅的盆数不少于绣球花的盆数的倍设购买三角梅盆，所需资金元，请求与的函数关系式；怎样购买所需资金最少？

25.  本小题分
如图，四边形内接于，是的直径，若平分，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线；
若的半径是，，求的长．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，点为线段上的一动点点与点，不重合，过点作交于点，将沿翻折，点的对应点为点，连接，，，设点的坐标为．

当点恰好落在上时，求点的坐标；
若与重叠部分面积与点横坐标之间的函数解析式为，其图象如图所示，求、的值；
是否存在点，使得为直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图为：

共含个边长为的小正方形，因此主视图的面积是，
故选：．
画出主视图，根据主视图中小正方形的个数即可得出面积．
本题考查简单组合体的三视图，主视图是从物体的前面向后面所看到的视图，准确识图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点向右平移个单位长度得到点，
的坐标为，
故选：．
向右平移个长度单位，即点的横坐标加，纵坐标不变，得到点的坐标即可．
本题主要考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，点的平移变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
由得，
由得，
不等式组的解集为．
故选：．
先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，，
．
故选：．
根据算术平方根和绝对值的非负性即可求出和的值，再代入中求解即可．
本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故选项A计算错误，不符合题意；
B.，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，此选项计算正确，符合题意；
D.，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘除法、合并同类项和积的乘方与幂的乘方运算法则计算各选项后再进行判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项和积的乘方与幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：摸出个球是红球的概率是，此选项正确，不符合题意；
B.列表如下：

共有种等可能的结果，摸出个球都是白球的有种结果，
摸出个球都是白球的概率为，
故B正确，不符合题意；
C.一次摸出个球至少有个是红球，正确，不符合题意；
D.因为摸出个球都是红球的有种结果，
摸出个球都是红球的概率为，D错误，符合题意；
故选：．
首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果与摸到两个白球和红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：在同一象限内，与是以原点为位似中心的位似图形，其中相似比是：，坐标为，
则点的坐标为：；
不在同一象限内，与是以原点为位似中心的位似图形，其中相似比是：，坐标为，
则点的坐标为：，
故选：．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，即可求得答案．
此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

9.【答案】 

【解析】解：设此圆锥的底面半径为，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得
，
．
故选：．
根据弧长公式计算．
圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作图可知，垂直平分，
，
．
，
，
．
，
故选：．
首先根据题目中的作图方法确定是线段的垂直平分线，得到，即；接下来根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得以及的度数，然后根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角性质和三角形内角和定理．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，作直径，连接，则，

，
，
，
．
故选：．
作直径，连接，利用圆周角定理求得，再根据正弦函数的定义求解即可．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，当时，，当时，，
，，
，
，
与的面积和为，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故选：．
先求出、的坐标，进而求出的面积，从而求出矩形的面积，再根据反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案．
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求出矩形的面积是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．在本题中应为，的指数为．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，解题的关键是确定和的值．
 

14.【答案】 

【解析】首先提公因式，再利用平方差进行二次分解．
解：原式．
故答案为：．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

15.【答案】 

【解析】解：设乙每时生产个零件，则甲每时生产个零件，
根据题意得：，
故答案是：．
设乙每时生产个零件，则甲每时生产个零件，根据“甲生产个零件与乙生产个零件所用的时间相同”可得出相等关系，从而只需表示出他们各自的时间就可以列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线与抛物线交于，两点，
当时，，
即关于的不等式的解集是．
故答案为：．
观察函数图象，抛物线在直线上方所对应的自变量的范围为，从而得到不等式的解集．
本题考查了二次函数与不等式组：把求不等式的解集问题转化为利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

四边形是菱形，
垂直平分，
点的对称点是点，
连接交于点，连接，
，
即为的最小值，
点的坐标为，点，
，
故答案为：．
点的对称点是点，连接，交于点，再得出即为最小值，解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作于点，则，

，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
∽，
，
四边形为正方形、为等边三角形，
、，
，
故答案为．
过点作于点，则，先证明∽，再证明出，即可求解．
本题考查了三角形相似的判定及性质、四边形内角和、等边三角形及正方形的性质、三角函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．
本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先根据完全平方公式和平方差公式运算法则，直接化简后合并同类项，然后代入求值即可．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
的延长线为，
，
、，
≌，
；
解：，
，
四边形为平行四边形，
、，
，
∽，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据题意可证≌即可得到；
根据题意证明出∽，即可得到，即可求得的长
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
 

22.【答案】      八 

【解析】解：，
将七年级抽样成绩重新排列为：，，，，，，，，，，
中位为分，
七年级的成绩出现次数最多是分，共出现次，
众数分，
故答案为：，，；

七年级的方差是，八年级的方差是，
八年级的成绩更稳定．
故答案为：八．

由题意得：人，
答：估计参加此次竞赛成绩优秀的七年级学生有人．
根据平均数、众数和中位数的定义进行求解即可；
根据方差的意义即可得出答案；
用总人数乘以竞赛成绩优秀的七年级学生所占的百分比即可．
此题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意．
 

23.【答案】解：由题意知，，
在中，，
即古塔的高度为；
解如图，作交的延长线于点，
小明站在古塔的顶端处观测山坡的顶端的俯角为，
，
由题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
即山坡的高度为． 

【解析】利用三角函数解直角即可；
作交的延长线于点，根据特殊角三角函数值可得，，再通过等量代换列出关于的一元一次方程，求出，进而可得山坡的高度．
本题主要考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
 

24.【答案】解：设学校购买三角梅、绣球花每盆各需元，元，
由题意得，，
解得，
学校购买三角梅、绣球花每盆各需元，元，
答：学校购买三角梅、绣球花每盆各需元，元；
由题意得；
购买三角梅的盆数不少于绣球花的盆数的倍，
，
，
，，
随增大而增大，
又为正整数，
当时，最小，
，
购买三角梅盆，购买绣球花盆所需资金最少． 

【解析】设学校购买三角梅、绣球花每盆各需元，元，然后根据购买三角梅盆和绣球花盆，需要元；购买三角梅盆和绣球花盆，需要元，列出方程求解即可；
根据所需资金三角梅单价三角梅数量绣球花单价绣球花数量进行求解即可；先求出，再根据一次函数的性质求解即可．
本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组和函数关系式是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，作于点，

平分，，，
，
在和中，
，
≌，
．
四边形内接于，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
的半径是，
．
设，
则，
解得，
．
是的直径，
，
，
，
∽，
，
即，
． 

【解析】通过证明，结合平分可得，再根据可得，即可证明是的切线；
作于点，根据角平分线的性质定理可得，进而证明≌，推出再根据圆内接四边形的性质推出，通过证明≌推出，最后证明，根据相似三角形对应边成比例可得的长．
本题考查切线的判定，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，综合运用上述知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：，，，
，
．
，
．
由折叠的性质可得，，
．
，，
直线的解析式为，
，
．
点恰好落在上，
，
，
，
解得：，
点的坐标为；
解，
可设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
，，
直线的解析式为：．
联立，
解得：，
．
当时，点在内部，此时重叠部分面积为的面积，
由折叠可知，
；
当时，点在外部，
由图象可得当时，，
，
解得：；
如图，过点和点分别作的垂线，交于点和延长线于点，

为直角，

，
，
，即．
，，，，，
，，，，
，
解得：，舍．
存在，点的坐标为． 

【解析】由题意可得，结合平行线的性质可得由折叠的性质可得，，即可求出又易求出直线的解析式为，由点恰好落在上，可得出，进而可求出，，由此可列出关于的等式，解出的值即得出点的坐标；
由题意易求出直线的解析式为，直线的解析式为：联立两个解析式，即可求出分类讨论：当时，点在内部，此时重叠部分面积为的面积，根据折叠的性质可知，即得出；当时，点在外部，由图象可得当时，，代入中，解出的值即可；
过点和点分别作的垂线，交于点和延长线于点，易求出，即得出，即根据各点坐标可求出，，，，从而可列出关于的等式，解出的值即得出答案．
本题考查坐标与图形，折叠的性质，平行线的性质，一次函数的综合，二次函数的综合，解直角三角形等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．