专题05空间几何体的表面积和体积-学生及教师版

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专题05空间几何体的表面积和体积专题5 空间几何体的表面积和体积（2023·山东·潍坊一中模拟预测）1．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．（2023·甘肃定西·统考二模）2．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.通常有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6，腰长为5的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（    ）A． B． C． D．（2023·山东潍坊二模）3．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧面积为72，则该正四棱台的体积为（    ）A．56 B． C． D．（2023·北京·统考模拟预测）4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知鳖臑的四个顶点均在表面积为的球面上，则该鳖臑体积的最大值为（    ）．A． B． C．2 D．4（2023·济宁二模）5．已知圆锥的侧面积为，母线与底面所成角的余弦值为，则该圆锥的内切球的体积为（    ）A． B． C． D．（2023·陕西渭南·统考二模）6．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是（    ）A． B． C． D．（2023·青海·校联考模拟预测）7．已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．（2023·山东济南·二模）8．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（    ）A．2 B． C．4 D．（2023·山东青岛·统考二模）9．龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（    ）A． B． C． D．（2023·江西·校联考模拟预测）10．已知三点在球的球面上，且，若球上的动点到点所在平面的距离的最大值为，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．（多选题）（2023·河北保定·统考二模）11．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（    ）A．圆柱的体积为B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D．圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）12．攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（    ）A．底面边长为4米 B．侧棱与底面所成角的正弦值为C．侧面积为平方米 D．体积为32立方米（2023·江苏连云港·统考模拟预测）13．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（    ）A．高为 B．表面积为C．体积为 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为（2023·安徽合肥·统考二模）14．已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（    ）A．三角形面积的最大值为B．三棱锥体积的最大值C．四面体外接球表面积的最小值为11D．直线SP与平面所成角的余弦值的最小值为（2023·福建漳州·福建省漳州第一中学统考模拟预测）15．如图，在多面体中，四边形，，均是边长为1的正方形，点在棱上，则（    ）A．该几何体的体积为 B．点在平面内的射影为的垂心C．的最小值为 D．存在点，使得（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）16．已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________．（2023·辽宁辽阳·统考二模）17．将3个6cm×6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接入一个边长为的正六边形上，如图（2）所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为______.（2023·天津南开·统考二模）18．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________.（2023·河南新乡·统考二模）19．若正四面体的棱长为4，则该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为______．（2023·江西九江·统考二模）20．根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：）
参考答案：1．B【分析】求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的体积.【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，底面周长，所以，所以圆锥的体积为.故选：B2．D【分析】根据题意求出圆锥底面半径和高，根据体积公式即可求解.【详解】如图所示为该圆锥轴截面，由题知该圆锥的底面半径为3m，高为，所以该屋顶的体积约为.故选:D.3．B【分析】求出正四棱台的侧棱长和高，根据棱台的体积公式即可求解.【详解】 如图，记该正四棱台为，在等腰梯形中，过作于E，则．由该正四棱台的侧面积为72可知，，∴，则．连接AC，，则，，在等腰梯形中，过作于F，则．根据正四棱台的性质可知，平面ABCD．在中，．该正四棱台的体积，故选：B．4．B【分析】把鳖臑放到长方体中，利用长方体的性质，结合球的表面积公式、基本不等式进行求解即可.【详解】把鳖臑放到长方体中，如下图所示：设该长方体的长、宽、高分别为，显然该长方体的对角线长为，所以有，显然该鳖臑体积为，因为，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，故选：B5．C【分析】根据母线与底面所成角的余弦值为即可得出圆锥曲线的半径与母线的关系，再根据圆锥的侧面积为求出底面半径和母线长，进而利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用等面积法即可求出球的半径，进而求出球的体积.【详解】设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，内切球的半径为R，由题知，∴，∴，∴，∴，∴.在圆锥的轴截面中，易知，即，∴，∴该圆锥的内切球的体积为.故选：C.6．A【分析】求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的体积公式即可求得结果.【详解】由题意可得，球心到截面圆所在的平面的距离，设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得，所以，所以该球的体积为，故选：A7．B【分析】根据球与正三棱柱的所有面都相切，求得底面三角形内切圆的半径以及棱柱的高，继而求得外接球半径，即可求得答案.【详解】因为球的体积为，所以球的半径为1，又球与正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱底面内切圆的半径为1，棱柱高为2，设正三棱柱的外接球的球心为O，底面内切圆的圆心为,设的中点为D，则在上，且,又,则三棱柱外接球的半径为，即外接球的表面积为,故选：B8．D【分析】设圆台的母线长为，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为，因为该圆台侧面积为，则由圆台侧面积公式可得，所以，设截去的圆锥的母线长为，由三角形相似可得，则，解得，所以原圆锥的母线长，故选：.9．B【分析】根据轴截面和相似关系，以及圆台体积即可求解.【详解】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长与于点.根据题意，，，，，设，所以，解得，，所以，故选：B.10．B【分析】根据题意可得当点到平面的距离最大时，与在球的大圆截面且，根据勾股定理求出球的半径，代入表面积公式即可求解.【详解】因为，所以，则外接圆的半径为，当点到平面的距离最大时，与在球的大圆截面且，所以球的半径满足：，解得，所以球的表面积为.故选：B.11．BD【分析】依次判断每个选项：圆柱的体积为，A错误；圆锥的侧面积为，B正确；圆柱的侧面积为，C错误；计算体积之比为3：1：2，D正确，得到答案.【详解】依题意圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为，圆柱的体积为，∴A错误；圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，∴B正确；∵圆柱的侧面积为，圆锥表面积为，∴C错误；，，，∴D正确.故选：BD.12．BD【分析】根据已知条件及正四棱锥的结构特征，求底面边长、体高，再应用棱锥的体积、表面积公式求表面积和体积.【详解】如图，在正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，E为CD的中点，，设底面边长为2a，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，，，所以，即，可得．底面边长为米，A错误；侧棱与底面所成角的正弦值为，B正确；侧面积，C错误；体积，D正确．故选：BD13．BCD【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B，C；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.【详解】对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则，解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A错误；对于B，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，所以圆台的表面积为，选项B正确；对于C，圆台的体积为 ，选项C正确；对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D正确，故选：BCD．14．BD【分析】选项A，由已知计算出底面半径的长度，以及轴截面的顶角大小，利用三角形的面积公式可知，当时，三角形面积最大，可判断选项A；利用三棱锥等体积转换，可得当面时，三棱锥体积最大，可判断选项B；因为底面圆，所以四面体外接球球心在的中垂面和过外接圆圆心的底面垂线的交点处，利用勾股定理和正弦定理可计算出最小值，判断选项C；由线面角公式可得，当面时，直线SP与平面所成角的余弦值最小，判断出选项D．【详解】选项A，由母线长为，高为，可得底面半径为，设是底面圆的一条直径，则，即是钝角，又，则存在点，当时，，三角形面积的最大值为，故A错误；选项B，，当面时，，故B正确；选项C，设的外接圆半径为，底面圆，四面体外接球半径满足，若外接球表面积的最小，即外接球的半径最小，又，即在底面圆中，的外接圆半径最小，由正弦定理，无最大值，的外接圆半径无最小值，即四面体外接球表面积无最小值，故C错误；选项D，设点到平面的距离为，直线SP与平面所成角的正弦值为，则当面时，，此时直线SP与平面所成角的余弦值最小，最小值为，故D正确；故选：BD15．BD【分析】将几何体补形为正方体，根据正方体与棱锥体积差判断A，由棱锥侧棱长相等、底面为正三角形确定定点射影的位置判断B，根据展开图及余弦定理判断C，由正方形对角线垂直可判断D.【详解】由题意，可将该几何体补成正方体，如图，则该几何体的体积为正方体体积去掉一个三棱锥的体积，所以，故A错误；由题意知，为等边三角形，因为，所以点在平面内的射影为的外心，即的中心，故B正确；把所在面沿折起，当四点共面时，连接，则的最小值即为的长，由余弦定理知，，故，即的最小值为，故C错误；四边形为正方形，， ，当与重合时，，故D正确.故选：BD16．2【分析】设圆台的母线长为，根据圆台的侧面积公式和梯形面积公式分别计算侧面积和轴截面面积，由条件列方程求母线长.【详解】设圆台的母线长为，高为，则，因为圆台上、下底面的半径分别为1和2，所以圆台的侧面积，轴截面面积，由已知，化简得，所以解得．故答案为：2.17．108【分析】根据平面图形折起后得到七面体，由七面体为正方体被平面所截，由对称性可得其体积.【详解】将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积的一半，即.故答案为：18．【分析】底面正方形的对角线即球的直径，利用直三棱柱的性质及勾股定理可以求得的面积，从而求体积.【详解】如图所示，由题意知，球心在底面的中心O上，故为截面圆的直径，则，取的中点，连接易知：底面中∥，，则面，即为直角三角形，由勾股定理可得：，故所以故答案为：19．【分析】设O为正四面体的内切球球心，也是外接球球心，D为的外心，过作，垂足为G，由题意求出，，又因为，求出，再由，即可求出答案.【详解】如图，设O为正四面体的内切球球心，也是外接球球心，D为的外心，过作，垂足为G，，．因为，所以，解得．因为，所以，解得，即该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为．故答案为：.20．【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为，相应圆台的体积为，所以，解得，故答案为：