九年级下学期第一次月考数学试卷

这是一份九年级下学期第一次月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级下学期第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．在算式（﹣1）□（﹣）的□内填上运算符号，使计算结果最大，这个符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．下列关于m2的表述中，正确的是（　　）
A．m2＝2•m B．m2＝2+m C．m2＝m+m D．m2＝m•m
3．中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（　　）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
4．小林准备选择一个品牌开运动鞋网店．为此他到多个运动场地随机收集了500个人所穿运动鞋的品牌，对于这组数据他最想知道的是（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
5．如图所示立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，大长方形被分割成4个标号分别为（1）（2）（3）（4）的小正方形和5个小长方形，其中标号为（5）的小长方形的周长为a，则大长方形的周长为（　　）

A．3a B．4a C．5a D．6a
7．观察表1和表2，下列判断正确的是（　　）
表1：
x
﹣2
1
y1
1
2
3
4
表2：
x
﹣2
2
﹣1
1
y2
4
1
A．y1是x的函数，y2不是x的函数
B．y1和y2都是x的函数
C．y1不是x的函数，y2是x的函数
D．y1和y2都不是x的函数
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　）

A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
9．小明和小红进行50米跑步比赛，当小明到达终点时，小红还在距终点5米处．两人决定再比一次，方案1：小红站在起点前5米；方案2：小明比起点退后5米．如果两人速度与之前一样，下列判断中，正确的是（　　）
A．方案1，小红赢 B．方案1，小明赢
C．方案2，小红赢 D．方案2，小明赢
10．已知抛物线y＝x2+2mx+m﹣7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，则关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有实数根 D．无实数根
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．2﹣1﹣sin60°＝　 　．
12．已知正n边形的一个内角为135°，则n的值是　 　．
13．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个黄球和5个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为　 　．
14．已知三条直线的解析式分别：y＝﹣3x，y＝x+8，y＝kx﹣5（k≠0），当k＝　 　时，三条直线经过同一个点．
15．如图，已知⊙O的直径AB＝6，AC是⊙O的弦，连接BC，若∠ABC＝25°，点Q在劣弧BC上一个动点，当△BAQ≌△ABC时，则弧CQ的长度是　 　．

16．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝（m＞0）相交于A（2，3）、B两点，P是第一象限内的双曲线上任意一点，直线PA交x轴于点M，连接PB交x轴于点N．若∠MPN＝90°，则PM的长是　 　．

三、解答题：本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤。
17．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝+2．
19．（8分）如图，已知△ADE是等边三角形，点B是边AD上一点，连接EB，将△DEB绕点E顺时针旋转60°，点D与点A重合，得到△AEC，求证：△CBE是等边三角形．

20．（8分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
（以上材料来源：《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程，求证：S矩形NFGD＝S矩形EBMF．

21．（8分）如图，已知平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上．
（1）在边AC上求作点G，使得OG平分∠AOB．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求点G的坐标．

22．（10分）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

23．（10分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2013～2020年的相关数据如下表所示：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年生产台数x（万台）
2
3
4
5
6
7
10
11
该产品的年利润y1（百万元）
2.1
2.75
3.5
3.25
3
4.9
6
6.5
年返修台数（台）
21
23
28
65
80
65
84
88
参考数据：x1+x2+…+x8＝48，y1+y2+…+y8＝32，x12+x22+…+x82＝360，y12+y22…+y82＝146.045．
注：年返修率＝．
（1）该公司的生产部门在2013～2020这八年中总共获得　 　次考核优秀；
（2）从表中数据可以发现2017年的数据偏差较大，如果去掉2017年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）的平均数．
24．（12分）已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，D是弧BC的中点，射线BD与射线AC交于点P．
（1）如图1，①判断△PAB的形状，井说明理由；
②若AC＝3，BC＝4，求AD的长；
（2）如图2，若点Q在弦AD上，QE⊥AB于E，EF⊥AC于F，交AD于点G，连接PQ、CG．求证：PQ∥CG．

25．（14分）已知抛物线yn＝anx2﹣（2n﹣1）（n为正整数）与抛物线vn＝bn（x﹣）2+2n（n为正整数）的交点为（﹣n，0），点An和点Bn分别为其对应抛物线的顶点．
（1）分别求出抛物线y1，v1的解析式；
（2）求△AnAn+1Bn的面积；
（3）直线x＝m（﹣1≤m≤1）分别交抛物线y2，y1和v1于点P，Q，R，线段PQ，QR和RP中是否存在长度为的情况？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
九年级下学期第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．在算式（﹣1）□（﹣）的□内填上运算符号，使计算结果最大，这个符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】把运算符号放入题中计算，比较即可．
【解答】解：根据题意得：（﹣1）+（﹣）＝﹣，（﹣1）﹣（﹣）＝﹣1+＝﹣，（﹣1）×（﹣）＝，（﹣1）÷（﹣）＝2．
则这个符号是÷．
故选：D．
2．下列关于m2的表述中，正确的是（　　）
A．m2＝2•m B．m2＝2+m C．m2＝m+m D．m2＝m•m
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：m2＝m•m，故选项A，B，C错误，则选项D正确．
故选：D．
3．中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（　　）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：370000＝3.7×105，
故选：D．
4．小林准备选择一个品牌开运动鞋网店．为此他到多个运动场地随机收集了500个人所穿运动鞋的品牌，对于这组数据他最想知道的是（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【分析】根据众数的定义进行解答即可．
【解答】解：这组数据他最想知道的是众数．
故选：A．
5．如图所示立体图形的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，
故选：B．
6．如图，大长方形被分割成4个标号分别为（1）（2）（3）（4）的小正方形和5个小长方形，其中标号为（5）的小长方形的周长为a，则大长方形的周长为（　　）

A．3a B．4a C．5a D．6a
【分析】设标号为（5）的小长方形长为y，宽为x，然后可得小正方形（1）（2）（3）（4）的边长，进而可得大长方形的边长，然后求周长即可．
【解答】解：设标号为（5）的小长方形长为y，宽为x，
∵（1）（2）（3）（4）的小正方形，
∴（1）（2）的边长均为x，（3）（4）的边长均为y，
∴大长方形的边长可表示为2x+y，2y+x，
∴周长为2（2x+y+2y+x）＝6（x+y），
∵（5）的小长方形的周长为a，
∴2（x+y）＝a，
∴6（x+y）＝3a，
故选：A．

7．观察表1和表2，下列判断正确的是（　　）
表1：
x
﹣2
1
y1
1
2
3
4
表2：
x
﹣2
2
﹣1
1
y2
4
1
A．y1是x的函数，y2不是x的函数
B．y1和y2都是x的函数
C．y1不是x的函数，y2是x的函数
D．y1和y2都不是x的函数
【分析】一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．
【解答】解：表1中，给定一个x的值，会有2个y1的值与x对应，不是唯一一个y，所以y1不是x的函数；
表2中，给定任意一个x的值，y都有唯一的值与它对应，所以y2是x的函数．
故选：C．
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　）

A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A+∠ACE、∠BCE＝∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
9．小明和小红进行50米跑步比赛，当小明到达终点时，小红还在距终点5米处．两人决定再比一次，方案1：小红站在起点前5米；方案2：小明比起点退后5米．如果两人速度与之前一样，下列判断中，正确的是（　　）
A．方案1，小红赢 B．方案1，小明赢
C．方案2，小红赢 D．方案2，小明赢
【分析】设小明的速度为v米/秒，则小红的速度为v米/秒，利用时间＝路程÷速度，分别求出两种方案中小红和小明到达终点所需时间，比较后即可得出结论．
【解答】解：设小明的速度为v米/秒，则小红的速度为＝v米/秒．
方案1小明到达终点所需时间为秒，小红到达终点所需时间为＝秒，
∵＝，
∴方案1小明和小红同时到达终点；
方案2小明到达终点所需时间为＝秒，小红到达终点所需时间为＝秒，
∵﹣＝＞0，
∴＜，
∴方案2小明先到达终点，即小明赢．
故选：D．
10．已知抛物线y＝x2+2mx+m﹣7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，则关于x的方程x2+（m+1）x+m2+5＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有实数根 D．无实数根
【分析】根据抛物线y＝x2+2mx+m﹣7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，可知当x＝1时，y＜0，从而可以求得m的取值范围，即可判断方程x2+（m+1）x+m2+5＝0中△的正负情况，从而可以判断根的情况，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2mx+m﹣7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，
∴当x＝1时，y＝1+2m+m﹣7＜0，得m＜2，
∵方程x2+（m+1）x+m2+5＝0，
∴△＝（m+1）2﹣4××（m2+5）＝2m﹣4＜0，
即方程x2+（m+1）x+m2+5＝0无实数根，
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．2﹣1﹣sin60°＝　﹣1　．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣×
＝﹣
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．已知正n边形的一个内角为135°，则n的值是　8　．
【分析】根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解．
【解答】解：∵正n边形的一个内角为135°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣135°＝45°，
∴n＝360°÷45°＝8．
故答案为：8．
13．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个黄球和5个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为　　．
【分析】根据题目中总的球数和白球的个数，可以得到从袋中任意摸出一个球，是白球的概率．
【解答】解：由题意可得，
从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为：＝，
故答案为：．
14．已知三条直线的解析式分别：y＝﹣3x，y＝x+8，y＝kx﹣5（k≠0），当k＝　﹣5.5　时，三条直线经过同一个点．
【分析】先求得直线y＝﹣3x与y＝x+8的交点，然后代入y＝kx﹣5即可求得k的值，
【解答】解：若三条直线经过同一个点，即第三条直线必经过两条直线的交点，
解得，
∴直线y＝﹣3x与y＝x+8的交点为（﹣2，6），
把（﹣2，6）代入y＝kx﹣5得，6＝﹣2k﹣5，
解得k＝﹣5.5，
故答案为﹣5.5．
15．如图，已知⊙O的直径AB＝6，AC是⊙O的弦，连接BC，若∠ABC＝25°，点Q在劣弧BC上一个动点，当△BAQ≌△ABC时，则弧CQ的长度是　π　．

【分析】根据全等三角形的性质和弧长的计算公式，可以计算出弧CQ的长度．
【解答】解：∵△BAQ≌△ABC，点Q在劣弧BC上一个动点，
∴∠ABC＝∠BAQ，
∵∠ABC＝25°，
∴∠ABC＝∠BAQ＝25°，
∴∠AOC＝∠BOQ＝50°，
∴∠COQ＝80°，
∵⊙O的直径AB＝6，
∴OC＝OQ＝3，
∴弧CQ的长度是＝π，
故答案为：π．

16．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝（m＞0）相交于A（2，3）、B两点，P是第一象限内的双曲线上任意一点，直线PA交x轴于点M，连接PB交x轴于点N．若∠MPN＝90°，则PM的长是　2　．

【分析】先求出两个函数解析式，求出点B坐标，然后构造一线三直角模型，通过相似求出点P坐标，再求AP所在直线解析式，进而求解．
【解答】解：将A（2，3）代入y＝kx与双曲线y＝得：
k＝，m＝6，
∴y＝x，y＝．
由反比例函数与正比例函数图象的对称性可得点B坐标为（﹣2，﹣3），
设点P坐标为（a，），过点P作直线CD，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，
则AC＝a﹣2，PC＝3﹣，BD＝a+2，PD＝+3．

∵∠BPA＝90°，
∴∠BPD+∠APC＝90°，
又∵∠PAC+∠APC＝90°，
∴∠BPD＝∠PAC，
∴△ACP∽△PDB，
∴＝，
即＝，
解得a＝2（舍）或a＝3，
∴点P坐标为（3，2），
设直线AP解析式为y＝nx+b，
将A（2，3），P（3，2）代入解析式得：
，
解得，
∴y＝﹣x+5，
∴点M坐标为（5，0），
∴PM＝＝2，
故答案为：2．
三、解答题：本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤。
17．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x＜1，
解②得x≥﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
在数轴上表示：
．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝+2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝+2时，原式＝．
19．（8分）如图，已知△ADE是等边三角形，点B是边AD上一点，连接EB，将△DEB绕点E顺时针旋转60°，点D与点A重合，得到△AEC，求证：△CBE是等边三角形．

【分析】由旋转的性质可得∠BEC＝60°，BE＝CE，可得结论．
【解答】证明：∵将△DEB绕点E顺时针旋转60°，
∴△DEB≌△AEC，∠BEC＝60°，
∴BE＝CE，
∴△CBE是等边三角形．
20．（8分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
（以上材料来源：《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程，求证：S矩形NFGD＝S矩形EBMF．

【分析】根据矩形的性质一条对角线分成的两个三角形面积相等，在根据EG∥AB∥BC，△AEF面积＝△ANF面积，△FMC面积＝△FGC面积即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，AC为对角线，EG∥AB∥BC，
∴S△ABC＝S△ADC，S△AEF＝S△ANF，S△FMC＝S△FGC，
即S△ABC﹣S△AEF﹣S△FMC＝S△ADC﹣S△ANF﹣S△FGC，
∴S矩形NFGD＝S矩形EBMF．
21．（8分）如图，已知平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上．
（1）在边AC上求作点G，使得OG平分∠AOB．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求点G的坐标．

【分析】（1）在AC上截取AG＝AO，则∠AOG＝∠AGO，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠AGO＝∠BOG，所以∠AOG＝∠BOG，则OG满足条件；
（2）先利用勾股定理得到OA的长，然后把A点向右平移AO个单位长度得到G点坐标．
【解答】解：（1）如图，OG为所作；

（2）∵A（﹣1，2），
∴OA＝＝，
由作图得AG＝AO＝，
而AC∥OB，
∴G点坐标为（﹣1，2）．
22．（10分）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，结合捐款后每天剩余利润不低于3600元，即可得出关于x的一元二次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，300），（35，150）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700．
（2）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+700）﹣150≥3600，
整理得：x2﹣100x+2475≤0，
解得：45≤x≤55．
答：该漆器笔筒销售单价的范围为45≤x≤55．
23．（10分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2013～2020年的相关数据如下表所示：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年生产台数x（万台）
2
3
4
5
6
7
10
11
该产品的年利润y1（百万元）
2.1
2.75
3.5
3.25
3
4.9
6
6.5
年返修台数（台）
21
23
28
65
80
65
84
88
参考数据：x1+x2+…+x8＝48，y1+y2+…+y8＝32，x12+x22+…+x82＝360，y12+y22…+y82＝146.045．
注：年返修率＝．
（1）该公司的生产部门在2013～2020这八年中总共获得　5　次考核优秀；
（2）从表中数据可以发现2017年的数据偏差较大，如果去掉2017年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）的平均数．
【分析】（1）根据题意，可以计算出2013～2020这八年的返修率，从而可以解答本题；
（2）根据题意，可以计算出相应的平均数．
【解答】解：（1）由题意可得，
2013年的返修率为：＝0.00105＞0.001，
2014年的返修率为：≈0.00077＜0.001，
2015年的返修率为：＝0.0007＜0.001，
2016年的返修率为：＝0.0013＞0.001，
2017年的返修率为：≈0.0013＞0.001，
2018年的返修率为：≈0.000929＜0.001，
2019年的返修率为：＝0.00084＜0.001，
2020年的返修率为：＝0.0008＜0.001，
由上可得，该公司的生产部门在2013～2020这八年中总共获得5次考核优秀，
故答案为：5；
（2）由表格中的数据可知，y1+y2+…+y8＝32，
∴去掉2017年的数据，剩下的数据的年利润y（百万元）的平均数是：＝（百万），
即去掉2017年的数据，剩下的数据的年利润y（百万元）的平均数是百万．
24．（12分）已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，D是弧BC的中点，射线BD与射线AC交于点P．
（1）如图1，①判断△PAB的形状，井说明理由；
②若AC＝3，BC＝4，求AD的长；
（2）如图2，若点Q在弦AD上，QE⊥AB于E，EF⊥AC于F，交AD于点G，连接PQ、CG．求证：PQ∥CG．

【分析】（1）①证明△ADB≌△ADP（AAS），则AP＝AB，即可求解；
②在Rt△ABD中，AD＝ABcos∠DBA＝5×cosα＝2；
（2）证明△AFG∽△AEQ，则，由EF∥BC，得到，即，最后证明△AGC∽△AQP，即可求解．
【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则AB＝5，
∵AB是直径，故∠ACB＝90°，即AD⊥PB，
∵D是弧BC的中点，故∠CAD＝∠DBA＝∠CBP，设∠CAD＝∠DBA＝∠CBP＝α，
∵∠CAD＝∠DBA，AD＝AD，∠ADB＝∠ADP＝90°，
∴△ADB≌△ADP（AAS），
∴AP＝AB，
即△PAB为等腰三角形；
②∵CP＝AP﹣AC＝5﹣3＝2，
在Rt△PBD中，tan∠PBC＝＝＝＝tanα，则cosα＝，
在Rt△ABD中，AD＝ABcos∠DBA＝5×cosα＝2；

（2）∵EF⊥AC，GE⊥AB，∴∠AFE＝∠AEG，
∠BAD＝∠PAD，
∴△AFG∽△AEQ，
∴，
∵EF⊥AC，BC⊥AC，
∴EF∥BC，
∴，
∵AB＝AP，
∴，
∴，
∵∠CAG＝∠PAQ，
∴△AGC∽△AQP，
∴∠ACG＝∠APQ，
∴PQ∥CG．
25．（14分）已知抛物线yn＝anx2﹣（2n﹣1）（n为正整数）与抛物线vn＝bn（x﹣）2+2n（n为正整数）的交点为（﹣n，0），点An和点Bn分别为其对应抛物线的顶点．
（1）分别求出抛物线y1，v1的解析式；
（2）求△AnAn+1Bn的面积；
（3）直线x＝m（﹣1≤m≤1）分别交抛物线y2，y1和v1于点P，Q，R，线段PQ，QR和RP中是否存在长度为的情况？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点（﹣1，0）的坐标代入y1＝a1x2﹣1得：0＝a1﹣1，解得a1＝1；同理可得v1＝﹣（x﹣）2+2；
（2）由△AnAn+1Bn的面积＝AnAn+1B×（），即可求解；
（3）设PQ、QR、PR三条线段分别等于三种情况，分别求解即可．
【解答】解：由题意得，点An、Bn的坐标分别为（0，1﹣2n）、（，2n），
（1）当n＝1时，抛物线y1＝a1x2﹣1与抛物线v1＝b1（x﹣）2+2的交点为（﹣1，0），
将点（﹣1，0）的坐标代入y1＝a1x2﹣1得：0＝a1﹣1，解得a1＝1；
同理可得，b1＝﹣，
故抛物线y1，v1的解析式分别为y1＝x2﹣1，v1＝﹣（x﹣）2+2；

（2）点An、Bn的坐标分别为（0，1﹣2n）、（，2n），
同理可得，点An+1的坐标为（0，﹣2n﹣1），
则△AnAn+1Bn的面积＝AnAn+1B×（）＝×（﹣2n+1+2n+1）×＝；

（3）存在，理由：
由（1）同理可得，y2＝x2﹣3，
故点A1、B1、A2的坐标分别为（0，﹣1）、（，2）、（0，﹣3），
当x＝m时，yP＝＝m2﹣3，故点P的坐标为（m，m2﹣3），
同理可得，点Q、R的坐标分别为（m，m2﹣1）、（m，﹣（m﹣）2+2），
当PQ＝（m2﹣1）﹣（m2﹣3）＝时，解得m＝（此时，PQ、QR、PR共线，故舍去）；
当QR＝（m2﹣1）﹣[﹣（m﹣）2+2]＝，解得m＝（均不在﹣1≤m≤1范围内，故舍去）；
当PQ＝﹣（m﹣）2+2﹣（m2﹣3）＝，解得m＝0或，
故m的值为0或．