专题07 解直角三角形的三种实际应用-初中数学9年级下册同步压轴题（教师版含解析）

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专题07 解直角三角形的三种实际应用类型一、仰角俯角问题例1．如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌(CD)，放置在教学楼A栋的顶部(如图所示)该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求点B距水平面AE的高度BH．(2)求宣传牌CD的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414 ,≈1.732 )【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米(2)广告牌CD的高度约为2.1米【详解】(1)解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴设BH=a,则AH=3a，∵AB=2，由勾股定理得BH=2，答:点B距水平面AE的高度BH是2米；(2)解：在Rt△ABH中, BH=2，∴AH =6，在Rt△ADE中, tan∠DAE=.，即DE=tan60 ·AE=8 ，如图,过点B作BF⊥CE ,垂足为F，BF= AH + AE=6+8 =14，DF= DE- EF= DE- BH =8—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴ CF= BF= 14, ∴CD=CF- DF =14—(8—2)= 14—8+2≈2.1答:广告牌CD的高度约为2.1米．【变式训练1】如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；(2)量得测角仪的高度；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为________．【答案】【详解】解：延长交于点，则，在中，，∴，∴，∴旗杆的高度可表示为：，故答案为：．【变式训练2】风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，【答案】(1)；(2)．【解析】(1)解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，，则为坡顶B到所在直线的距离，则，，在中，，∴，∵，∴；(2)由题意得，四边形是矩形，由勾股定理得：，∵，∴，∴，在中，，，∴，答：塔架高度约为．【变式训练3】“为梦想战，决战中考”，如图①是寻乌县第三中学的中考倒计时牌，图②为它的侧面图，图③为它的侧面简意图，已知，．(1)如图③，A处离地面多高？(2)如图④，芳芳站在倒计时牌前的点H处观察倒计时牌(点D、C、H在同一水平线上)，测得芳芳的身高为，当芳芳的视线恰好落在点B处时(忽略眼睛到头顶的距离)视线俯角为，求此时的距离．(结果精确到．参考数据：，，，，)【答案】(1)(2)【解析】(1)解：连接，图，∵，，，∴，，，∴，∴在中，，即A处离地面；(2)解：过点B作于点E，过点B作于点F，图②，根据题意有：，则可得四边形是矩形，即有，，∵，，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴ ． 答：的长度约为．【变式训练4】如图，花城广场对岸有广州塔AB，小明同学站在花城广场的C处看塔顶点A的仰角为32°，向塔前进360米到达点D，在D处看塔顶A的仰角为45°．(1)求广州塔AB的高度(sin32°≈0．530，cos32°≈0．848，tan32°≈0．625)；(2)一架无人机从广州塔顶点A出发，沿水平方向AF飞行300米到处，求此时从处看点D的俯角的正切值．【答案】(1)广州塔AB的高度约为600米；(2)从处看点D的俯角的正切值为2．【解析】(1)解：设广州塔AB的高度为x米，∵∠ADB=45°，∠ABD=90°，∴∠DAB=45°，∴∠ADB=∠DAB，∴BD=AB=x，∴BC=360+x，∵∠ACB=32°，tan∠ACB=，∴，解得，x=600(米)，答：广州塔AB的高度约为600米；(2)解：过D作DH⊥AF于H，则四边形ABDH是矩形，∵∠ADB=45°，∴BD=AB，∴四边形ABDH是正方形，∴AH=HD=AB=600米，∠AHD=90°，∵=300，∴=AH-=300(米)，∴tan= =2，答：此时从处看点D的俯角的正切值为2．类型二、方位角问题例1．如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？【答案】(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析(2)没有触礁危险，证明见解析【解析】(1)过C作于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，∵在A处测得岛C在北偏东的方向，∴，又∵B处测得岛C在北偏东方向，∴，，∴，∴(海里)，∵，，∴，∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；(2)过C作交BF于D，交BO于E，，∴没有触礁危险．【变式训练1】如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2(单位：km)．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)【答案】(1)点P到海岸线l的距离为(-1)km；(2)点C与点B之间的距离为km．【解析】(1)解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，∴BD=PD=xkm．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，∴AD=PD=xkm．∵BD+AD=AB，∴x+x=2，x=-1，∴点P到海岸线l的距离为(-1)km；(2)解：如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=1km．在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=km，∴点C与点B之间的距离为km．【变式训练2】小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，(点A、B、C、D在同一平面内)(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道的长度．(结果保留根号)【答案】(1)点D与点A的距离为300米(2)隧道的长为米【解析】(1)由题意可知：，在中，∴(米)答：点D与点A的距离为300米．(2)过点D作于点E．∵是东西走向∴在中，∴在中，∴∴(米)答：隧道的长为米【变式训练3】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile(nmile是单位“海里”的符号)处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．)【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，由题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD=∠ADC=53°，在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8(海里)，∴AE=AF+EF=64(海里)，在Rt△ADE中，AD=≈=80(海里)，∴货船与A港口之间的距离约为80海里．【变式训练4】如图，m，n为河流南北两岸的平行道路，北岸道路A，B和南岸道路D点处各有一株古树．已知B，D两株古树间的距离为200米，为了测量A，B两株古树之间的距离，在南岸道路C点处测得古树A位于北偏西42°方向，在D处测得古树B位于北偏西30°方向．已知CD=280米，求A，B两株古树之间的距离．(结果保留整数)参考数据：≈1.41，≈1.73，sin42°，cos42°≈，tan42°≈．【答案】A，B两株古树之间的距离为336米【详解】解：如图，由题意可知：四边形CDFE是矩形，∴CE=DF，CD=EF，在Rt△BDF中，∠BDF=30°，BD=200米，∴BF=BD=100米，由勾股定理得：DF==100米，在Rt△ACE中，∠ACE=42°，CE=DF=100米，∴AE=tan42°×CE=×100≈155.7(米)，∴AB=AE+BE=AE+CD-BF=155.7+280-100≈336米，∴A，B两株古树之间的距离为336米．类型三、坡度比问题例1．小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端到升旗台边沿的距离为，升旗台的台阶所在的斜坡长为，坡角为，小明又测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面上的部分的长为，同一时刻，小亮测得长的标杆直立于水平地面时的影子长为请你帮小明和小亮求出旗杆的高度(结果保留整数，参考数据：)【答案】旗杆的高度约为【详解】解：延长交于，过作于，则四边形是矩形，，，，，，，，，同一时刻，物高和影长成正比，，，，，答：旗杆的高度约为．【变式训练1】如图，在建筑物DF的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡AB的坡比为 ，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角α为，然后小李沿斜坡AC走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看点E的仰角为，(点A、B、C、D、E、F在同一平面内)建筑物顶端D到E的距离DE长度为28.8米，求建筑物DF的高度．(参考数据：， ，，)【答案】40.8米【详解】解：如图于G，于H，连接、，∵的坡比，设，，∴在中，，∴，∴，在中，，设，在中，，∴，∵四边形是矩形，∴，又∵，在中，，，，∴，答：建筑物的高度为40.8米．【变式训练2】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移多少米时，才能确保山体不滑坡．(取tan50°＝1.2)【答案】10米【详解】解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，根据题意有BE⊥AD，∵AB=26，斜坡的坡比为12∶5，则设BE=12a，AE=5a，∴，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，∵∠HAF=50°，则，解得：AF=20，∴EF=AF-AE=EF=20-10=10(m)，∵，HF⊥AD，BE⊥AD，∴可得四边形BEFH是矩形，∴BH=EF=10(m)，故坡顶B沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡， 【变式训练3】在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：)【答案】该建筑物的高度约为31.9m【详解】作交于点E，作交于点F，作交于点H则，，∵∴设，则在中，∴∴∴(负值舍去)∴，∴，设，则在中，∵∴在中，∵∴即∵∴∴∴答：该建筑物的高度约为31.9m．