湖北省部分名校2022-2023学年高三数学下学期二模试题（Word版附答案）

2023年高考模拟考试（二）

数学

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设、、、…、是均含有2个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．设，则的值为（    ）

A．2 B．0 C． D．1

3．从正方体的8个顶点和中心中任选4个，则这4个点恰好构成三棱锥的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．过点可作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（    ）

图1              图2

A． B． C． D．

6．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则（    ）

A． B． C．2 D．3

7．已知抛物线和圆，直线与，依次相交于，，，四点（其中），则的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

8．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知函数，则（    ）

A．是偶函数  B．的最小值为

C．在上有4个零点 D．在区间单调递增

10．如图，在中，，，，若为外接圆的圆心，且，，则（    ）

A．  B．

C．外接圆的面积为 D．

11．下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，是唐代金银细作的典范．该杯主体部分可近似看作双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，与坐标轴交于，，则（    ）

A．双曲线的方程为

B．双曲线与双曲线共渐近线

C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线有两个交点

D．存在无数个点，使它与，两点的连线的斜率之积为3

12．已知数列满足，，前项和为，则（参考数据：，）（    ）

A．

B．

C．

D．是单调递增数列，是单调递减数列

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直角三角形中，直角边，点是边上一定点，，点是斜边上一动点，，则面积的最大值为________；线段长度的最小值为________．

14．如图，在平面直角坐标系中，已知曲线、、依次为、、的图像，其中为常数，0，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点、，过点作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值为________．

15．已知函数，对任意，都有（为常数），且当时，，则________．

16．已知不等式在上恒成立，则实数的最小值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）设的内角、、的对边分别为、、，已知．

（1）判断的形状，并说明理由；

（2）求的最小值．

18．（12分）在三棱柱中，，侧面底面，是棱的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

19．（12分）已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，．

（1）求数列、的通项公式；

（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由．

20．（12分）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：

方案甲：逐份检验，需要检验次；

方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有份，分别从份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这个人全部为阴性，因而这个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这个人的血样再逐份检验，因此这个人的总检验次数就为．假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．

（1）若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；

（2）记为用方案乙对个人的血样总共需要检验的次数．

①当，时，求；

②从统计学的角度分析，在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？

（参考数据：，，）

21．（12分）已知椭圆，过点，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数（其中，）．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；

（3）求证：对于任意大于1的正整数，都有．

2023年高考模拟考试（二）

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．A  2．C  3．D  4．D  5．D  6．B  7．A  8．C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．ABC    10．ABD    11．ABD    12．ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．      14．    15．2    16．

四、解答题：本题共6小题，共70分。

17．解：（1）解：为钝角三角形，

证明如下：

由，

则有，所以，

因为，所以，则为锐角．

所以，所以或，

则或，

由题意知，所以，

所以，所以，故为钝角三角形．

（2）解：由（1）知，，

由正弦定理，有

当且仅当时等号成立，由为锐角，

则，所以当时取最小值．

18．解：（1）解：取，的中点，，连接与交于点，连接，，．

则为的中点，

因为三棱柱，

所以，且，

所以四边形是平行四边形．

又是棱的中点，所以．

因为侧面底面，且，

所以平面

所以平面

又平面，

所以平面平面

（2）解：连接，因为，所以是等边三角形，故底面．

设，可得，

分别以，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，

，

设平面的一个法向量为

则，

所以，取，，

所以

又平面的一个法向量为

故

因为二面角为钝角，所以其余弦值为．

19．解：（1）解：因为，所以当时，，

两式相减得，即，又，则，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故．

由得，，，…，，

以上个式子相乘得，即①，当时，②，

两式相减得，即，

所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，，，因此数列的通项公式为．

（2）解：当时，无意义，

设，显然．

则，即．

显然，所以，

所以存在，使得，，

下面证明存在，否则，即，

此式右边为3的倍数，而不可能是3的倍数，故该式不成立．

综上，满足要求的为，．

20．解：（1）解：对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则

（2）解：①当，时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为，总共需要检验的次数为6次；所以的分布列为：

所以．

②当采用混合检验的方案时，

根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足，

即，化简得，

所以当满足，用混合检验的方案能减少检验次数．

21．解：（1）解：由题知，椭圆过点和，

所以，解得

所以椭圆的方程为

（2）解：假设在轴上存在定点，使得恒成立，设，，

由，得，∴，

∵，∴，∴

∴点在以为直径的圆上，即

，

∴

∴恒成立

∴，解得

∴

∴存在定点，使得恒成立．

22．（1）解：∵，∴，

∴，∵，∴在点处的切线方程为

（2）解：∵，∴，

∵在上为增函数，∴对任意恒成立．

∴对任意恒成立，

即对任意恒成立．∵时，，

∴，即所求正实数的取值范围是

（3）解：当时，，

当时，，故在上是增函数．

当时，令，则当时，，所以，所以，，，…，

所以，即

所以，即对于任意大于1则正数，都有