湖南省四大名校2022-2023学年高三数学下学期一模试题（Word版附答案）

2023年普通高校招生统一考试湖南四大名校名师团队模拟冲刺卷(一)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设是虚数单位，已知复数满足，，且复数是纯虚数，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  周髀算经中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径是一寸，筒长是八尺时注：一尺等于十寸，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔”如图所示，为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若对于满足的，，都有，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设，，，则，，的大小顺序为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知某批零件的质量指标单位：毫米服从正态分布，且，现从该批零件中随机取件，用表示这件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则(    )

A. P(25.35<<25.45)=0.8 B. E(X)=2.4

C. D(X)=0.48 D. P(X1)=0.488

10.  已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，为棱上异于，的一动点，则以下结论正确的是(    )

A. 异面直线、所成角的大小为

B. 直线与平面所成角的正弦值为

C. 周长的最小值为

D. 存在点使得平面

11.  已知正数，满足，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.

C.  D.

12.  已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线则下列正确的是(    )

A. 双曲线的方程为 B.

C.  D. 点到轴的距离为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，，则在方向上的投影向量是          ．

14.  已知甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则          ．

15.  在平面直角坐标系中，已知圆，，直线与圆相切，与圆相交于，两点，分别以点，为切点作圆的切线，设直线，的交点为，则的最大值为          ．

16.  已知数列的各项都是正数，若数列各项单调递增，则首项的取值范围是          当时，记，若，则整数          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知数列的前项和为，，当时，．

求

设，求数列的前项和为．

18.  本小题分

在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，且A.

求的值

若，求周长的取值范围．

19.  本小题分

如图所示，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点．

当时，证明：平面平面；

当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．

20.  本小题分

党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得分，对方选手得分选手抢到试题但回答错误或没有回答得分，对方选手得分道题目抢答完毕后得分多者获胜已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．

求乙同学得分的概率

记为甲同学的累计得分，求的分布列和数学期望．

21.  本小题分

已知椭圆，的上、下顶点是，，左，右顶点是，，点在椭圆内，点在椭圆上，在四边形中，若，，且四边形面积的最大值为．

求的值．

已知直线交椭圆于，两点，直线与交于点，证明：当变化时，存在不同于的定点，使得．

22.  本小题分

已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．

已知函数，，求实数取值的集合

已知函数有两个不同极值点、．

求实数的取值范围

证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合并集的运算，为基础题．

【解答】

解：因为或，，

又，所以只需解得，故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的除法运算，属于基础题．

【解答】

解：由，得

，

又因为为纯虚数，则，故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查已知切线斜率求参，属于基础题．

【解答】

解：由，得，

因为函数的图象在处的切线与直线垂直，

所以，则．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角正切公式的应用，注意读懂题意，难度一般．

【解答】

解：由题意可知：，，

所以故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查余弦函数的图象变换规律等，属于基础题．

【解答】

解：由题可得，若满足，

则和必然一个为极大值点，一个为极小值点，

又，则，即，所以，所以．

故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义与标准方程，圆的弦长问题，属于中档题．

【解答】

解：如图所示，在抛物线上，则

易知，，由，

因为被直线截得的弦长为，则，

由，于是在中，

由解得：，所以．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大．

【解答】

解：连接，，由，可知：和是等边三角形，

设三棱锥外接球的球心为，

所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，

是等边三角形，为中点，

所以，又因为侧面底面，侧面底面，

所以底面，而底面，因此，所以是矩形．

和是边长为的等边三角形，所以两个三角形的高，

在矩形中，，连接，

所以，

设过点的平面为，当时，

此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，

，

因此圆的半径为：，所以此时面积为

当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：

所以截面的面积范围为：，故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数值大小的比较，解题中注意导数知识的灵活应用，属于难题．

【解答】

解：因为，，，

构造函数，

则，，，，

在上单调递增，在上单调递减．

则有最大，即，．

因为，又，所以，所以，

故，故选A．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正态分布的概率、二项分布的均值与方差、n次独立重复试验的概率计算，属于中档题.

【解答】

解：由正态分布的性质得P(25.35<<25.45)= 1-2 P(24.45)=1-20.1=0.8,故A正确；

则1件产品的质量指标值不位于区间(25.35,25.45)的概率为P=0.2,

所以~B(3,0.2),故E(X)=30.2=0.6,故B错误；

D(X)=30.20.8=0.48,故C正确；

P(X1) = 1- P(X= 0) = 1-=0.488，故D正确.

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求解异面直线夹角，线面角，折叠问题及垂直的判定，综合考查了直线想象和数学运算，为中档难度试题．

【解答】

解：如图，取的中点，连接，，由，分别是，的中点，，且，则四边形为平行四边形，则，又正四棱锥的所有棱长均为，则，所以异面直线，所成角为故A错误

设正方形的中心为，连接，，则平面，．

设的中点为，连接，，则，且则平面，所以为直线与平面所成角，所以．

中，，，，

所以由余弦定理可得，所以，

所以故B正确．

将正和沿翻折到一个平面内，如图，当，，三点共线时，取得最小值，此时，点为的中点，，所以周长的最小值为，故C正确．

若平面，则，此时点为上靠近点的四等分点，

而此时，与显然不垂直，故D错误故选BC．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

解：因为正数，满足，

所以，构造函数，，

令，恒成立，所以在上单调递增，

由复合函数的单调性可知在上单调递增，

所以在上单调递增，由，可得，

对于，，所以，故A错误

对于，由，可得，所以，故B正确

对于，由，可得，则，故C错误

对于，由，可得，，所以，所以，故D正确．

故选BD．

【解答】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的基本性质等，属于中档题．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线定义、标准方程、焦点三角形问题，涉及解三角形与求向量模长等知识，属于较难题．

【解答】

解：到的距离为，，解得，

又渐近线方程为，则，结合可解得，，

则双曲线的方程为，故A正确

为的平分线，，故B错误

由双曲线定义可得，则可得，，

则在中，，

则，

则，即，故C正确

在中，，

设点到轴的距离为，则，

即，解得，故D正确．

13.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查投影向量的求解，为基础题．

【解答】

解：因向量，，则有，

所以在方向上的投影是，即或

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查条件概率的运用，属于基础题．

【解答】

解：因为甲罐中有个红球、个黑球，所以，

因为，所以．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系的最值问题，涉及直线与圆相切位置关系的应用，属于较难题．

【解答】

解：设点，，，，

因为分别以点，为切点作圆的切线，．

设直线，的交点为，所以，则，

即，所以，因为，

所以，即是方程的解，

所以点在直线上，

同理可得在直线上，

所以切点弦的方程为，

因为直线与圆相切，所以，

解得，得，

即的最大值为．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查数列的单调性，裂项相消法的应用，为较难题．

【解答】

解：由题意，正数数列是单调递增数列，且，

且，解得，．，

又由，

可得：．．

，

．

，且数列是递增数列，，即，

．整数．

17.【答案】解：当时，，所以，，

整理得：，即．

当时，，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，

即．

由知，，

所以，

所以，

得，，

所以，，

所以，。 

【解析】本题考查数列的递推公式，考查等差数列的判定与证明，考查等差数列的通项公式，考查错位相减法求和，属于基础题．

18.【答案】解：在中，由三角形面积公式得，

由正弦定理得：，

整理得：，由余弦定理得：，

又，故C．

因为，，由正弦定理得，

，

即的周长

，

因为，则，故，

所以，即的周长的取值范围是 

【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题．

19.【答案】解：垂直于圆锥的底面，，

当时，，，又，

平面，又平面，平面平面．

由题可知，，，

当三棱锥的体积最大时，的面积最大，此时为的中点，

如图，以点为坐标原点，过点且垂直的直线为轴，，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则，即，令，则，，

，

设平面的法向量，

则，即，令，则，，，

则，，

易知该二面角为钝角，二面角的余弦值为． 

【解析】本题考查面面垂直的判定和二面角的求解，难度中档．

20.【答案】解：由题意，乙同学得分的基本事件有乙抢到两题且一道正确一道错误、甲乙各抢到一题都回答正确、甲抢到两题且回答错误，

所以乙同学得分的概率为

．

由题意，甲同学的累计得分可能值为，

分布列如下：

所以期望． 

【解析】本题考查了相互独立事件、互斥事件的判断与概率计算，考查离散型随机变量的分布列，及其均值求解，属于中档题．

21.【答案】解：由已知，，设，，则

因为，，

所以，，

两式相减得，代回原式得，

因为，所以，又

，

因为的最大值为，所以，得或舍．

直线的方程为，

取，可得，，

可得直线的方程为，直线的方程为

联立方程组，可得交点为

若，，由对称性可知交点，

若点在同一直线上，则直线的方程为，

以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线：上．

由整理得

设，，则，．

设与交于点，由，可得

设与交于点，由，可得，

因为

，

所以，即与重合，

所以当变化时，点均在直线上，

因为，，所以要使，只需为线段的垂直平分线，

根据对称性可得点．

故存在定点满足条件． 

【解析】本题考查求椭圆的标准方程、椭圆中的定点问题，属于较难题．

22.【答案】解：由，得，

当时，因为，不合题意

当时，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

要，只需，

令，则，

当时，，单调递增当时，，单调递减，

所以，则由得，

所以，故实数取值的集合

由已知，，

因为函数有两个不同的极值点，，所以有两个不同零点，

若时，则在上单调递增，在上至多一个零点，与已知矛盾，舍去

当时，由，得，令

所以，当时，，单调递增

当时，，单调递减

所以，

因为，，所以，所以，

故实数的取值范围为

设，由则，

因为，所以，，

则，取对数得，

令，，则，即，

令，则，

因为，所以在上单调递减，在上单调递增，

令，则，在上单调递增，

又，所以当时，，即，

因为，，在上单调递增，所以，

所以，即，

所以，

故成立． 

【解析】本题考查利用导数研究恒成立问题，函数极值个数与参数范围问题，以及利用导数证明不等式，为较难题．