高考 第二章 直线和圆的方程（公式、定理、结论图表）（新教材）

第二章 直线和圆的方程（公式、定理、结论图表）

一．直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

二．直线的斜率

1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即.

2.斜率的计算公式：

 【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于时，直线的斜率不存在.

3.倾斜角与斜率的关系

三．直线的平行于垂直

四．直线的方程

五．特殊的直线方程

  已知点，则

六．方向向量与直线的参数方程

除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.

如图1，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使，即，所以.

在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.

七．直线的平行与垂直

八．利用平行与垂直解决问题

九．两条直线的交点

  对于直线，，求交点即解方程组，该方程组的解与两直线的位置关系如下：

十．三个距离公式

十一．对称

十二．两点关于一直线特殊的对称

十三．到角公式

设的斜率分别是，到的角为，则.

十四．圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

十五．圆的标准方程

十六．圆的一般方程

十七．二元二次方程与圆的方程

1.二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程，对比圆的一般方程，

，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.

2.二元二次方程表示圆的条件：

二元二次方程表示圆的条件是.

十八．点与圆的位置关系

圆的标准方程为一般方程为.平

面内一点到圆心的距离为.

十九．与圆有关的最值问题

1.与圆的几何性质有关的最值问题

2.与圆的代数结构有关的最值问题

二十．直线与圆的位置关系

二十一．相切→求切线方程

  过定点作圆的切线，则切线方程为：

二十二．相交→求弦长

弦长公式：直线与圆相交于两点，则（为圆心到直线的距离）.

二十三．圆与圆的位置关系

  两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系及其判断方法为：

二十四．两圆的公共弦

  1.公共弦方程：将两圆的方程作差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程.

2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出.

二十五、直线与圆的综合应用的一般步骤：

<解题方法与技巧>

一.具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程体现出来，它们的变化存在于参数之中，常见的直线系有：

(1)过已知点P(x0，y0)的直线系y－y0＝k(x－x0)(k为参数)．

(2)斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b(b为参数)．

(3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，λ≠C)．

(4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．

(5)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：l1：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)．

典例1：已知正方形中心为点M(－1,0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．

[思路点拨]　已知正方形的中心坐标和一条边所在直线的方程，由正方形的性质——中心到各边的距离相等，用待定系数法列方程求解．

[解析]　正方形中心到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝

设与直线x＋3y－5＝0平行的直线方程为x＋3y＋C1＝0.

由正方形的性质，得＝，

解得C1＝－5(舍去)或C1＝7.

所以与直线x＋3y－5＝0相对的边所在的直线方程为x＋3y＋7＝0.

设与直线x＋3y－5＝0垂直的边所在的直线方程为3x－y＋C2＝0.由题意，得

＝，

解得C2＝9或C2＝－3.

所以另两边所在直线的方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.

二.利用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：

第一步：选择圆的方程的某一形式；

第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；

第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；

第四步：代入圆的方程．

注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等．

典例2：已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．

[思路点拨]　利用待定系数法设出圆的标准方程，根据条件列式求解．

[解析]　法一：设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.

因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a.①

由方程组

得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，

所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝.

由弦长公式得·＝4，

化简得(a－b)2＝4.②

解①②组成的方程组，

得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.

故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.

法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，

则圆心为(a，b)，半径r＝，

圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝.

由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得

d2＋2＝r2，即＋8＝10，

所以(a－b)2＝4.

又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.

故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.

三、直线与圆、圆与圆的位置关系

1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．

2．求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．

典例3：已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．

[思路点拨]　(1)分斜率存在与不存在两种情况讨论．

(2)构造直角三角形求解．

[解析]　(1)圆心C(1,2)，半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.

由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．

当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.

由题意知＝2，解得k＝.

∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.

故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.

(2)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，

∴2＋2＝4，

解得a＝－.

四、最值与范围

“数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们一种普遍思维习惯在数学上的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．形如u＝的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；形如t＝ax＋by的最值问题，可借助图形分析转化为动直线截距的最值问题；形如z＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可借助于图形分析转化为动点到定点距离平方的最值问题．

典例4：已知实数x，y满足y＝，则代数式的取值范围为________．

解析：　(1)如图所示y＝化为x2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形为半圆弧，的几何意义为定点A(－3，－1)与半圆弧上任意一点M(x，y)的连线的斜率．

利用数形结合法可知kAB≤≤kAC.

又B(，0)，kAB＝＝，设直线AC的方程为y＋1＝k(x＋3)，

即kx－y＋3k－1＝0.

∵直线AC与半圆相切，

∴＝，即3k2－3k－1＝0，解得k＝或(舍去)．

∴kAC＝.∴≤≤.

答案：