湖南省长沙市雅礼中学2023届高三一模数学试题 Word版含解析
展开雅礼中学2023届模拟试卷(一)
数学
命题人:张龚 审题人:黄启光
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B.
C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的性质及对数函数的性质分别求出集合,,再根据交集的定义求解即可.
【详解】解:由题意可得,,
∴且.
故选:C.
2. 下列说法正确的是( )
A. 若,则与的方向相同或者相反
B. 若,为非零向量,且,则与共线
C. 若,则存在唯一的实数使得
D. 若,是两个单位向量,且.则
【答案】B
【解析】
【分析】对于A,当时,该选项错误;对于B, 表示与方向相同的单位向量,表示与方向相同的单位相同,所以与共线,所以该选项正确;对于C,当,为非零向量时,不存在,所以该选项错误;对于D,计算得,所以该选项错误.
【详解】对于A,当时,与的方向可以既不相同也不相反,所以该选项错误;
对于B,,为非零向量,表示与方向相同的单位向量,表示与方向相同的单位相同,由于,所以与共线,所以该选项正确;
对于C,当,为非零向量时,不存在,所以该选项错误;
对于D,由得,所以,所以该选项错误.
故选:B.
3. 函数的最小正周期为( )
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】作出函数的图象得到函数的最小正周期,再证明即得解.
【详解】作出函数的图象如图所示,得到函数的最小正周期为.
证明:
所以函数的最小正周期为.
故选:A
4. 给定一组数据:1,3,2,1,5,则这组数据的方差及第40百分位数分别是( )
A. 5,2 B. ,2 C. ,1.5 D. 5,1.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据数据的方差与百分位数的概念计算即可.
【详解】数据:1,3,2,1,5的平均数为,
所以方差为;
这组数从小到大排列为1,1,2,3,5,共5个数,
所以,则这组数据的第40百分位数为.
故选:C.
5. 已知,则( )
A. 1024 B. 1023 C. 1025 D. 512
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法得到,,结合二项式展开式的系数正负得到的值,进而求出答案.
【详解】中,令得,
的通项公式,故,
中,
令,得,
所以,
又,所以.
故选:B.
6. 已知数列满足,,若表示不超过的最大整数,则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推公式一一计算可得.
【详解】因为,,
所以,,,,
,,,,
,
∴.
故选:A.
7. 若,则当,1,2,…,100时( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用比大小的方法,即可求出k的值.
【详解】解:由题意得:
即,
化简得:,
又k为整数,可得,所以,
故选:C.
8. 已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】转化为比较比较的大小,构造函数,先证明,,中最大,设,先证明,再证明,即得解.
【详解】要比较,,等价于比较的大小,
等价于比较,
即比较,
构造函数,,
令得,令得,
所以在单调递增, 单调递减.
所以,
因为,
所以最大,即,,中最大,
设,
结合的单调性得,,
先证明,其中,
即证,
令,,其中,
则,
所以,函数在上为增函数,当时,,
所以,当时,,
则有,
由可知,
所以,
因,所以即,
因为,在单调递增,
所以,即,
因为 所以所以,
即,
因为,在单调递减.
所以,
即,即,
综上,.
故选:D
【点睛】关键点睛:应用对数平均不等式(需证明)证明极值点偏移:①由题中等式中产生对数;②将所得含对数的等式进行变形得到;③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 已知复数z的共轭复数为,则下列说法正确的是( )
A.
B. 一定是实数
C. 若复数,满足.则
D. 若复数z的平方是纯虚数,则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数与共轭复数的概念、复数的运算逐项判断即可.
【详解】当复数时,,,故A错;
设(a,),则,所以,故B对;
设(,),(,),
由可得,
所以,
而,不一定为0,故C错;
设(a,),则为纯虚数.
所以,则,故D对.
故选:BD.
10. 已知不恒为0的函数,满足,都有.则( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 为偶函数
【答案】BD
【解析】
【分析】令和,即可判断选项AB;令,即可判断选项CD.
【详解】令,则,∴或1.
令,则,若,则,与不恒为0矛盾,∴,∴选项B正确选项A错误;
令,则,∴,∴为偶函数,∴选项D正确选项C错误.
故选:BD.
11. 如图,已知双曲线:左右焦点分别为,,以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B,连接,,与双曲线左支交于点P,与渐近线分别交于点M,N,则( )
A.
B.
C. 过的双曲线的弦的长度的最小值为8
D. 点B到两条渐近线的距离的积为
【答案】AD
【解析】
【分析】由,若结合已知可得,设且,应用点在双曲线上、两点距离公式求坐标,写出直线求出坐标,进而判断各项的正误即可.
【详解】由题设,若,则,
,即,可得,
若且,则,可得,故,
所以,直线为,即,而渐近线为,
所以,,则,
又,可得(舍)或,故,
所以,即,A正确;而,B错误;
令,则,可得,故过垂直于x轴所得弦长为8,
而过和两顶点的直线,所得弦长为2,所以过的双曲线的最短弦为2,C错误;
由到的距离为,到的距离为,
所以B到两条渐近线的距离的积为,D正确.
故选:AD
12. 如图,正方体的棱长为3,E为AB的中点,,动点M在侧面内运动(含边界),则( )
A. 若∥平面,则点M的轨迹长度为
B. 平面与平面ABCD的夹角的正切值为
C. 平面截正方体所得的截面多边形的周长为
D. 不存在一条直线l,使得l与正方体的所有棱所成的角都相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A、C项,先作出平面截正方体所得的截面,通过构造面面平行得出M轨迹及截面多边形周长;
对于B项,作出二面角计算即可;对于D项,可知所有与体对角线平行的线与正方体各棱夹角都相等.
【详解】如图所示,
分别延长DC、D1F交于点N,连接NE并延长交DA的延长线于G点,交CB于O点,连接D1G交A1A于H点,则五边形D1FOEH为平面截正方体所得的截面,在侧面中作PQ∥D1H,可得M轨迹为线段PQ,
由已知及平行线分线段成比例可得:,
,所以,即,A正确;
,
故五边形D1FOEH周长为,C正确;
连接BD,交EO于点I,由上计算可得I为GN中点,且D1G=G1N,故DI⊥EO,D1I垂直EO,即为平面与平面ABCD的夹角,
易得,B正确;
对于D存在直线l,如直线与正方体三条棱夹角相等.
故选:ABC.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 计算:________.
【答案】
【解析】
【分析】把转化为,利用差角的正弦公式化简即得解.
【详解】原式
故答案为:
14. 六个身高不同的人排成二排三列,每一列后面的那个人比他(她)前面的那个人高,则共有________种排法.
【答案】90
【解析】
【分析】根据有限制的排列问题求解即可.
【详解】由于六个身高不同的人排成二排三列,每一列后面的那个人比他(她)前面的那个人高,则排法有种.
故答案为:.
15. 函数的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】化简,设,求出函数的单调性即得解.
【详解】∵,
设,∴,
∴在区间上单调递減,在区间上单调递增,
∴,
∵是增函数,
∴由复合函数的性质得.
故答案为:
16. 如图,已知抛物线C:,圆E:,直线OA,OB分別交抛物线于A,B两点,且直线OA与直线OB的斜率之积等于,则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程,得出直线AB过定点,再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可.
【详解】设,,设:,又,∴,
∴,∴.
∴,∴,
∴直线AB恒过点,
由图结合圆的弦长公式可知,当圆心E到动直线AB的距离最大时,即
当直线时,弦长最短,此时弦最小为.
故答案为:
四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知正数数列,,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)因式分解,从而可推导得,再利用累乘法计算数列的通项公式;(2)根据裂项相消法计算数列的前项和.
【小问1详解】
∵,
∴,
又,∴,即.
又,
且,∴
【小问2详解】
,∴,,
又,
∴.
18. 在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求A;
(2)若,求BC边上的高AD的最大值.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解;
(2)利用余弦定理和基本不等式求出,再求出,即得解.
【小问1详解】
根据正弦定理可得,
又,∴.
∵,∴.
【小问2详解】
,∴,
当且仅当时取等号.
∵,∴,
∴,
∴,∴AD的最大值为.
19. 斜三棱柱的各棱长都为2,,点在下底面ABC的投影为AB的中点O.
(1)在棱(含端点)上是否存在一点D使?若存在,求出BD的长;若不存在,请说明理由;
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)存在,
(2)
【解析】
【分析】(1)连接,以O点为原点,如图建立空间直角坐标系,设,根据,求出即可;
(2)利用向量法求解即可.
【小问1详解】
连接,因为,为的中点,所以,
由题意知平面ABC,
又,,所以,
以O点原点,如图建立空间直角坐标系,
则,,,,
由得,同理得,
设,得,
又,,
由,得,
得,又,∴,
∴存点D且满足条件;
【小问2详解】
设平面的法向量为,,,
则有,可取,
又,
∴点到平面的距离为,
∴所求距离为.
20. 2023年中非经贸合作座谈会议在长沙举行,拟在某单位招募5名志愿者,该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔,每个部门有3个小组,每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔,假设每名志愿者入选的机会相等.
(1)求甲部门志愿者入选人数为1人的概率;
(2)求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率;
(3)求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望.
【答案】(1);
(2);
(3)分布列见解析,.
【解析】
【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解;
(2)利用对立事件的概率公式求解;
(3)先写出X的取值,再求出概率,写出分布列,求出期望.
【小问1详解】
由题得.
所以甲部门志愿者入选人数为1人的概率为.
【小问2详解】
由题得.
所以所招募的5名志愿者来自三个部门的概率为.
【小问3详解】
由题意可知X取值为0,1,2,
,
,
,
所以X的分布列为:
X | 0 | 1 | 2 |
P |
所以.
21. 已知函数.
(1)当时,求的最大值;
(2)当时,求证:(记).
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用导数分析函数在上的单调性,进而求得最大值;
(2)构造函数,求导得,由于当时,,所以,结合可得在区间上恒成立,进而得到在区间上为增函数,进而求解即可得证.
【小问1详解】
由,,
所以,
令,得,即;
令,得,即,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
又,,.
所以.
【小问2详解】
设,
所以,
当时,,所以,
又,
所以恒成立.
所以在区间上恒成立.
所以在区间上为增函数,
所以,
所以当时,.
【点睛】关键点睛:本题第(2)问关键在于构造函数求导后,利用时,,放缩成,进而得到在区间上恒成立,从而得到在区间上为增函数,即可求解.
22. 已知椭圆C:,直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)点为椭圆C上的动点(与点A,B不重合),若直线PA,直线PB的斜率存在且斜率之积为,试探究直线l是否过定点,并说明理由;
(2)若.过点O作,垂足为点Q,求点Q的轨迹方程.
【答案】(1)直线l过定点;
(2)
【解析】
【分析】(1)利用点在椭圆上和直线斜率公式即可证得直线l过定点;
(2)利用三角函数设出A,B两点坐标,再利用题给即可求得,进而得到点Q的轨迹方程.
【小问1详解】
直线过定点,下面证明:
设,,,
又,,∴,
∴直线过原点满足.
又当PA两点固定时为定值,有且仅有一个斜率值与之相乘之积为,
则直线重合,则重合,
∴直线l过定点.
【小问2详解】
设,,,不妨设,
∴,,又点A,B在椭圆上,
∴,,
∴,,两式相加得,
由,
得,
∴点Q的轨迹是以点O为圆心以为半径的圆,
∴点Q的轨迹方程为.
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三数学二模试题(Word版附解析): 这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023届高三数学二模试题(Word版附解析),共25页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容,欢迎下载使用。
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三二模数学试题(含解析): 这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023届高三二模数学试题(含解析),共23页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三一模数学试题 Word版无答案: 这是一份湖南省长沙市雅礼中学2023届高三一模数学试题 Word版无答案,共6页。