2023届湖南省长沙市雅礼中学高三一模数学试题含答案

  雅礼中学2023届模拟试卷（一）

数学

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C. 且 D.

2. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则与的方向相同或者相反

B. 若，为非零向量，且，则与共线

C. 若，则存在唯一的实数使得

D. 若，是两个单位向量，且．则

3. 函数的最小正周期为（    ）

A.  B.  C.  D. 不能确定

4. 给定一组数据：1，3，2，1，5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是（    ）

A. 5，2 B. ，2 C. ，1.5 D. 5，1.5

5. 已知，则（    ）

A. 1024 B. 1023 C. 1025 D. 512

6. 已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

7. 若，则当，1，2，…，100时（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知复数z共轭复数为，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 一定是实数

C. 若复数，满足．则

D. 若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数

10. 已知不恒为0的函数，满足，都有．则（    ）

A.  B.

C. 为奇函数 D. 为偶函数

11. 如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（    ）

A.

B.

C. 过的双曲线的弦的长度的最小值为8

D. 点B到两条渐近线的距离的积为

12. 如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（    ）

A. 若∥平面，则点M的轨迹长度为

B. 平面与平面ABCD的夹角的正切值为

C. 平面截正方体所得的截面多边形的周长为

D. 不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 计算：________．

14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法．

15. 函数的最小值为________．

16. 如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分別交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知正数数列，，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列前项和．

18. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，求BC边上的高AD的最大值．

19. 斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．

（1）在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD长；若不存在，请说明理由；

（2）求点到平面距离．

20. 2023年中非经贸合作座谈会议在长沙举行，拟在某单位招募5名志愿者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等．

（1）求甲部门志愿者入选人数为1人的概率；

（2）求所招募5名志愿者来自三个部门的概率；

（3）求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望．

21. 已知函数．

（1）当时，求的最大值；

（2）当时，求证：（记）．

22. 已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点．

（1）点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；

（2）若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．

雅礼中学2023届模拟试卷（一）

数学

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C. 且 D.

【答案】C

2. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则与的方向相同或者相反

B. 若，为非零向量，且，则与共线

C. 若，则存在唯一的实数使得

D. 若，是两个单位向量，且．则

【答案】B

3. 函数的最小正周期为（    ）

A.  B.  C.  D. 不能确定

【答案】A

4. 给定一组数据：1，3，2，1，5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是（    ）

A. 5，2 B. ，2 C. ，1.5 D. 5，1.5

【答案】C

5. 已知，则（    ）

A. 1024 B. 1023 C. 1025 D. 512

【答案】B

6. 已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

【答案】A

7. 若，则当，1，2，…，100时（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 一定是实数

C. 若复数，满足．则

D. 若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数

【答案】BD

10. 已知不恒为0的函数，满足，都有．则（    ）

A.  B.

C. 为奇函数 D. 为偶函数

【答案】BD

11. 如图，已知双曲线：左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（    ）

A.

B.

C. 过的双曲线的弦的长度的最小值为8

D. 点B到两条渐近线的距离的积为

【答案】AD

12. 如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（    ）

A. 若∥平面，则点M的轨迹长度为

B. 平面与平面ABCD的夹角的正切值为

C. 平面截正方体所得的截面多边形的周长为

D. 不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等

【答案】ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 计算：________．

【答案】

14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法．

【答案】90

15. 函数的最小值为________．

【答案】

16. 如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分別交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________．

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知正数数列，，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）因式分解，从而可推导得，再利用累乘法计算数列的通项公式；（2）根据裂项相消法计算数列的前项和.

【小问1详解】

∵，

∴，

又，∴，即．

又，

且，∴

【小问2详解】

，∴，，

又，

∴.

18. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，求BC边上的高AD的最大值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解；

（2）利用余弦定理和基本不等式求出，再求出，即得解.

【小问1详解】

根据正弦定理可得，

又，∴．

∵,∴．

【小问2详解】

，∴，

当且仅当时取等号.

∵，∴，

∴，

∴，∴AD的最大值为.

19. 斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．

（1）在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；

（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）存在，   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接，以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，设，根据，求出即可；

（2）利用向量法求解即可.

【小问1详解】

连接，因为，为的中点，所以，

由题意知平面ABC，

又，，所以，

以O点原点，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，

由得，同理得，

设，得，

又，，

由，得，

得，又，∴，

∴存点D且满足条件；

【小问2详解】

设平面的法向量为，，，

则有，可取，

又，

∴点到平面的距离为，

∴所求距离为.

20. 2023年中非经贸合作座谈会议在长沙举行，拟在某单位招募5名志愿者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等．

（1）求甲部门志愿者入选人数为1人的概率；

（2）求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率；

（3）求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）分布列见解析，.

【解析】

【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；

（2）利用对立事件的概率公式求解；

（3）先写出X的取值，再求出概率，写出分布列，求出期望.

【小问1详解】

由题得．

所以甲部门志愿者入选人数为1人的概率为.

【小问2详解】

由题得．

所以所招募的5名志愿者来自三个部门的概率为.

【小问3详解】

由题意可知X取值为0，1，2，

，

，

，

所以X的分布列为：

所以．

21. 已知函数．

（1）当时，求的最大值；

（2）当时，求证：（记）．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，进而求得最大值；

（2）构造函数，求导得，由于当时，，所以，结合可得在区间上恒成立，进而得到在区间上为增函数，进而求解即可得证.

【小问1详解】

由，，

所以，

令，得，即；

令，得，即，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

又，，．

所以．

【小问2详解】

设，

所以，

当时，，所以，

又，

所以恒成立．

所以在区间上恒成立．

所以在区间上为增函数，

所以，

所以当时，.

【点睛】关键点睛：本题第（2）问关键在于构造函数求导后，利用时，，放缩成，进而得到在区间上恒成立，从而得到在区间上为增函数，即可求解.

22. 已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点．

（1）点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；

（2）若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．

【答案】（1）直线l过定点；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用点在椭圆上和直线斜率公式即可证得直线l过定点；

（2）利用三角函数设出A，B两点坐标，再利用题给即可求得，进而得到点Q的轨迹方程．

【小问1详解】

直线过定点，下面证明：

设，，，

又，，∴， 

∴直线过原点满足．

又当PA两点固定时为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为，

则直线重合，则重合，

∴直线l过定点．

【小问2详解】

设，，，不妨设，

∴，，又点A，B在椭圆上，

∴，，

∴，，两式相加得，

由，

得，

∴点Q的轨迹是以点O为圆心以为半径的圆，

∴点Q的轨迹方程为．