1.4分式知识点演练（讲练）-2023届中考数学一轮大单元复习（原卷版）

专题1.4分式及其运算知识点演练

考点1：分式的定义和性质

例1．（1）（2022·安徽合肥·七年级期末）已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ）

A． B． C． D．的值不存在

（2）（2022·上海·测试·编辑教研五七年级期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：

（1）分式的值不可能为零；

（2）分式有意义时，a的取值范围是；

（3）当时，分式的值为．

你所写的分式为___________

（3）（2022·新疆·乌市一中八年级期中）下列结论：①不论为何值都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且．其中正确的是（    ）

A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①④

例2．（2022·全国·八年级课时练习）已知，x取哪些值时：

(1)y的值是正数；

(2)y的值是负数；

(3)y的值是零；

(4)分式无意义．

知识点训练

1．（2022·山东烟台·八年级期中）代数式中，属于分式的有（   ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）在式子，，5，，，中，分式的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3．（2022·福建·龙岩市第一中学锦山学校八年级期中）在中分式的个数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．（2021·宁夏·中宁县第三中学八年级期末）在代数式，，，，，中，分式有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5．（2021·河北石家庄·八年级期末）如果分式的值为0，那么x的值为（　　）

A．0 B．6 C．-6 D．

6．（2022·河北唐山·八年级期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ）

A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1

7．（2022·辽宁·盘山县教师进修学校八年级期末）若分式的值为正，则x的取值范围为（  ）．

A．x≥－ B．x≤－

C．x＞－且x≠0 D．x＜－

8．（2022·河北·辛集市辛集镇育红中学八年级期末）分式中，把x和y都扩大到原来的10倍，分式的值（    ）

A．不变 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．不能确定

9．（2022·上海·测试·编辑教研五七年级期中）下列哪个分式和值相等（    ）

A． B． C． D．

10．（2022·上海金山·七年级期末）如果将分式中的和都扩大到原来的4倍，那么分式的值（　　）

A．不变 B．扩大到原来的4倍

C．扩大到原来的8倍 D．扩大到原来的16倍

11．（2022·山东·烟台市芝罘区教育科学研究中心八年级期中）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（    ）

A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大6倍

12．（2022·广西贵港·八年级期中）下列各式从左边到右边的变形正确的是（     ）

A． B． C． D．

13．（2022·山东济宁·八年级期中）下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

14．（2022·山东泰安·八年级期中）下列各等式中成立的有（    ）个．

①；            ②；

③；                ④．

A．1 B．2 C．3 D．4

15．（2022·河北唐山·八年级期中）不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（　　）

A． B．

C． D．

16．（2022·安徽省宣城市奋飞学校七年级期中）下列判断错误的是（  ）

A．代数式​是分式 B．当​时，分式​的值为​

C．当​时，分式​有意义 D．​

17．（2022·河北唐山·八年级期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

18．（2022·北京市顺义区第五中学八年级期中）请从，，中任选两个构造成一个分式，并化简该分式．你构造的分式是______，该分式化简的结果是______．

19．（2022·上海市培佳双语学校八年级期中）如果二次根式有意义，那么应该满足的条件是__________．

20．（2022·四川达州·八年级期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．

21．（2022·河南南阳·模拟预测）若分式有意义，则 ___________．

22．（2022·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校模拟预测）当满足______ 时，式子有意义．

23．（2022·广西·贵港市教育局八年级期中）分式没有意义，则的值为_____________．

24．（2022·湖南·桂阳县第二中学八年级期中）当________时，分式的值不存在；当_______时，分式有意义．

25．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．

26．（2022·新疆·克拉玛依市白碱滩区教育局八年级期末）分式的值为负数，则实数的取值范围是______

27．（2022·广东·八年级单元测试）已知：代数式．

(1)当为何值时，该式无意义？

(2)当为何整数时，该式的值为正整数？

28．（2022·福建福州·八年级期末）已知，．

(1)当时，求x的取值范围；

(2)设．

①当时，求x的值；

②若x为整数时，求y的正整数值．

29．（2022·河北邢台·八年级期中）小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．

(1)小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______；

(2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明．

考点2：分式的运算

例3.（2022·上海金山·七年级期末）计算：

例4.（2022·山东烟台·八年级期中）计算：

(1)

(2)

例5.（2022·山东泰安·八年级期中）

(1)化简；

(2)先化简：，再从的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值．

知识点训练

1．（2022·湖南株洲·八年级期末）下列各式中计算正确的是（     ）

A． B．

C． D．

2．（2022·河北·辛集市辛集镇育红中学八年级期末）化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）若​，则分式​与下面选项相等的是​　　​

A．​ B．​ C．​ D．​

4．（2022·山东济南·模拟预测）若，则等于(        )

A．  B． C． D．

5．（2022·浙江·宁波市鄞州实验中学模拟预测）已知，则的值为_____．

6．（2022·湖南省汉寿县教育研究室八年级期中）计算：__________．

7．（2022·上海·测试·编辑教研五七年级期中）计算，

8．（2022·北京·东直门中学八年级期中）计算：

9．（2022·上海金山·七年级期末）计算：

10．（2022·山东淄博·八年级期中）计算∶

(1)；

(2)．

(3)先化简，再求值：，在四个数中选一个合适的代入求值．

11．（2022·山东菏泽·八年级期中）计算：

(1)

(2)

12．（2022·山东烟台·八年级期中）（1）先化简，再求值：的值，其中．

（2）先化简，再求值：，从中选出合适的最小整数值代入求值．

13．（2022·上海·测试·编辑教研五七年级期中）若为最简分式，且对任意x的值，有，且，求B的值．

14．（2022·福建省福州第十九中学八年级期中）先化简，再求值，其中．

15．（2022·湖南邵阳·八年级期中）某同学在学习的过程中，遇到这样的问题：求的整数部分．她百思而不得其解，于是向老师求助．数学老师进行了深入浅出的讲解：观察算式可知，每个分母中的减数都是1，且被减数按照一定的规律在递增；

先看一般情形：；

再看特殊情形：当时，；

当时，；

老师讲解到这里时，该同学说：“老师我知道怎么做了．”

(1)请你通过化简，说明一般情形的正确性；

(2)请你完成该同学的解答．

16．（2021·广东江门·八年级期末）请你说明，在代数式有意义的情况下，无论x取何值，代数式的值都不变．

17．（2022·北京·北师大实验中学八年级期末）（1）计算：；

（2）化简求值：，其中，．

18．（2022·山东菏泽·八年级期中）计算：

(1)；

(2)；

(3)．

考点3：分式的应用

例6.（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．

(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是                （填序号）；

①　　　　②　　　　③　　　　　④

(2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；

(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

例7.（2022·北京朝阳·八年级期末）阅读材料：

对于两个实数a，b大小的比较，有如下规律：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b. 反过来也成立．

解决问题：

(1)已知实数x,则     （填“＜”，“=”或“＞”）；

(2)甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲用一半时间以每小时xkm的速度行走，另一半时间以每小时y km的速度行走；乙以每小时x km的速度行走一半路程，另一半路程以每小时y km的速度行走. 若x≠y，判断谁先到达B地，并说明理由．

下面是小明参考上面的规律解决问题的过程，请补充完整：

（1）     （填“＜”，“=”或“＞”）；

（2）先到达B地的是      ．

说明：设甲从A地到B地用2th，则A，B两地的路程为（x+y）t km，乙从A地到B地用h．

知识点训练

1．（2022·山东淄博·九年级期中）甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（        ）

A．甲合算 B．乙合算 C．甲、乙一样 D．无法确定

2．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）已知，，则当时，与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．无法确定

3．（2022·北京昌平·八年级期中）如图，大正方形的边长均为，图（1）中白色小正方形的边长为，图（2）中白色长方形的宽为，设，则m的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

4．（2022·上海田家炳中学七年级期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：

(1)将假分式 为一个整数与一个真分式的和

(2)利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值

5．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）最近一段期间新冠肺炎肆虐，此情形下，很多单位都争着购买消毒液．某商贩先购进消毒液箱，价格为每箱50元，后又购进消毒液箱，价格为每箱60元，然后以每箱55元的价格全部售给某单位，请用、的式子表示每箱的平均进价．当时，该平均进价相对55元的售价是更高还是更低了？请说明理由．

6．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）阅读下列材料，解决问题：

在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．

将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解： ．

这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．

(1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______．

(2)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．

7．（2022·全国·八年级单元测试）小郝同学在当建造师的爸爸的一份资料上看到一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”

小郝思考：如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会不会更好？为了验证这猜想，小郝做了如下数学实验：

第一步：假设某住宅窗户面积为17平方米，地板面积为80平方米，则．如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则，此时：

∵，

∴，

所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．

第二步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则．

请帮小郝完成猜想证明过程．

第三步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则．如果窗户面积和地板面积同时增加m平方米，则．

请帮小郝完成猜想证明过程，井对问题下结论．

8．（2022·全国·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：

(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）；

(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小；

(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．

9．（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为．

(1)        ；        ．（用含a的式子表示）

(2)求证：．

(3)求的值．

(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

10．（2022·福建厦门·八年级期末）为促进学生健康成长，某校分批购进若干体育用品．第一批购买的单价不低于18元，第二批购买的单价比第一批的单价少5元．

(1)若第一批和第二批购买的费用分别为400元和450元，且第二批所购体育用品数是第一批所购体育用品数的1.5倍．求第一批体育用品每件的单价是多少元？

(2)由于该体育用品深受学生喜欢，学校继续筹划费用购买第三批体育用品．如果第二批和第三批购买费用分别为m元和n元，．第三批所购买的单价比第一批购买单价的2倍少30元．第二批和第三批哪次购买的数量多，请说明理由．

11．（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校八年级期末）为了安全与方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额只加200元”与“每次定量只加40升”．现有甲、乙两车连续两次同时进入自助加油站加油，甲车选择每次只加40升，乙车选择每次只加200元为比较谁的加油方式更合算，不妨设第一次加油时油价为元/升，第二次加油时油价为元/升，且．请回答下列问题：

（1）①甲车两次加油的平均油价为：           元/升；

②乙车两次加油的平均油价为：           元/升．

（2）请比较两车的平均油价，并用数学语言说明哪种加油方式更合算．

12．（2022·河北石家庄·八年级期中）已知：．

(1)求，并将之化简；

(2)当时，记的值为．如，当时，的值为；当时，的值为；…．请直接写出关于的不等式的解集及其最小整数解．

13．（2022·安徽·阜阳实验中学七年级期中）根据你发现的规律解答下列问题．

，，，……

(1)计算：             ；

(2)探究：             （用含有的式子表示）；

(3)求的值（用含有的式子表示）．