襄阳五中2023届高三适应性考试（一）数学试卷及参考答案
展开襄阳五中2023届高三适应性考试（一）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.希尔伯特在1990年提出了孪生素数猜想,其内容是：在自然数集中,孪生素数对有无穷多个.其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若 和 均是素数,素数对 称为孪生素数.从16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，若点P是满足 的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线 上的动点，Q在直线 上的射影为R，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.图1中，正方体 的每条棱与正八面体 （八个面均为正三角形）的一条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若 ，则点M到直线 的距离等于（ ）
A. B. C. D.
7.在中，已知 ， ， ，当 取得最小值时，的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 （e是自然对数的底数），若存在 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.以下说法正确的是（ ）
A. 89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95
B. 具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点
C. 相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
D. 已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥
10 .已知 ，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11 .如图1，在中， ， ， ，DE是的中位线，沿DE将 进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥 （如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（ ）
- 当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为
- 四棱锥的体积的最大值为
- 若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为
- 若异面直线AC与BD所成角的余弦值为，则A、C两点间的距离为
12 .已知椭圆： 的左、右焦点分别为 ，右顶点为A，点M为椭圆 上一点，点I是 的内心，延长MI交线段 于N，抛物线 （其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆 交于B，C两点，若四边形 是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 椭圆的离心率是
C.的最小值为 D.的值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.国家发展改革委为贯彻落实《长三角一体化发展规划“十四五”实施方案》有关部署，制定沪苏浙城市结对合作一对一帮扶皖北城市工作计划，帮扶城市（区）包括上海市个区，江苏省个市、浙江省个市，受帮扶城市包括安徽省淮北市、亳州市、宿州市、蚌埠市、阜阳市、淮南市、滁州市、六安市共 个市，则帮扶方案中上海市 个区没有被安排帮扶蚌埠市、阜阳市、滁州市的方法种数为______.（用数字作答）
14.已知向量 满足 ，则
15.已知，若对任意的，不等式恒成立，则m的最小值为____.
16.已知数列 的各项都是正数， 若数列各项单调递增，则首项的取值范围是 当时，记 ，若 ，则整数 ．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.记锐角 的内角为 ，已知 .
(1)求角 的最大值；
(2)在锐角 中，当角 为角A的最大值时，求 的取值范围.
18 .函数 的图象为自原点出发的一条折线，当 时，该函数图象是斜率为 的一条线段.已知数列 由 定义.
(1)用 表示 ；
(2)若 ，记 ，求证： .
19.如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面 与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且 ．
(1)求证：BG//平面 ；
(2)若PA⊥平面ABCD，且 ，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
20.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为 ， .
(1)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（若 ，则认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；
(2)用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望.
21 .已知离心率为 的椭圆 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 、 ，上顶点为 ，且 的外接圆半径大小为 ．
(1)求椭圆 方程；
(2)设斜率存在的直线 交椭圆 于 两点（ 位于 轴的两侧），记直线 、 、 、 的斜率分别为 、 、 、 ，若 ，求 面积的取值范围．
22 .如果曲线 存在相互垂直的两条切线，称函数 是“正交函数”．已知 ，设曲线 在点 处的切线为 ．
(1)当 时，求实数 的值；
(2)当，时，是否存在直线满足 ，且与曲线 相切？请说明理由；
(3)当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数 的集合；若对任意 ，曲线 都不存在与 垂直的切线，求的取值范围．
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