2022襄阳五中高三适应性考试（一）数学试卷（含答案）

这是一份2022襄阳五中高三适应性考试（一）数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

襄阳五中2022届高三年级适应性考试（一）
数 学 试 题
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题
1．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（            ）

A． B． C． D．
2．已知复数，则（       ）
A．2 B．3 C． D．
3．已知函数，且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（       ）
A． B． C． D．
5．高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（       ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
7．已知、为双曲线的左、右焦点，P为双曲线的渐近线上一点，满足，(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率是(       )
A． B． C． D．
8．已知函数，若不相等的实数，，成等比数列，，，，则、、的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．下列命题中，真命题的是（       ）
A．若回归方程，则变量与正相关
B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8
D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”
10．是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（       ）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（       ）
A．的周长为6 B．的面积为
C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为
12．如图，在棱长为1的正方体ABCD—中，E为侧面的中心，F是棱的中点，若点P为线段上的动点，N为ABCD所在平面内的动点，则下列说法正确的是（       ）
A．·的最小值为
B．若，则平面PAC截正方体所得截面的面积为
C．若与AB所成的角为，则N点的轨迹为双曲线
D．若正方体绕旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是
三、 填空题
13．曲线在点，处的切线方程为　 　．
14．在的展开式中，项的系数为　　．
15．已知函数若且，则的最小值是________．
16．已知向量，，，则___________，___________.
四、解答题
17．已知数列的前n项和为Sn，Sn＋1＝4an，n∈N*，且
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)在①bn＝an＋1－an；②bn＝log2；③，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列{bn}满足_________，求{ bn }的前n项和



18．已知数的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.




19如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，E为PD的中点．
(1)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；
(2)设F是BE的中点，判断点F是否在平面PAC内，并请证明你的结论．



【考点】
【解析】









20．为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为.
(1)求；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列的前项和，并说明的实际意义.


21．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P、T的横坐标分别为x1，x2，证明：x1x2＝1；
(3)设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且，求的取值范围．






22．已知函数在处的切线经过点.
(1)若函数至多有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且，求证：.（）


参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
求出集合，分析可知阴影部分所表示的集合为，利用交集的定义可求得结果.
【详解】
因为或，则，
由题意可知，阴影部分所表示的集合为.
故选：B.
2．D
【解析】
【分析】
先求，结合复数的模求解公式即可求解．
【详解】
因为，所以，则，所以．
故选：D．
3．D
【解析】
【分析】
结合诱导公式求得正确答案.
【详解】
，
所以.
.
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，底面外接圆的半径、球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，可得答案．
【详解】
由题意知底面外接圆的圆心为点，设外接圆的半径为，
三棱柱的外接球的半径为，
，，由余弦定理得，
由正弦定理得，
所以，过做垂直于底面的直线交中截面与点，则为外接球的球心，
由题意得：，所以外接球的表面积，
故选：C．

5．A
【解析】
【分析】
设，根据求出m；在中，根据余弦定理即可求出离心率.
【详解】
由题可知，，，
根据对称性，设P为渐近线y＝上一点，且坐标为，m＞0，
，
故，
在中，根据余弦定理得，
，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
∴.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
求出当直线与曲线相切于原点、直线与曲线相切于原点时对应的的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
对函数求导得，对函数求导得，
作出函数的图象如下图所示：

当直线与曲线相切于原点时，，
当直线与曲线相切于原点时，.
结合图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，
故选：A.
7．B
【解析】
【分析】
利用分类分步计数，结合捆绑法、排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再由全排列求六位同学任意安排的方法数，应用古典概率的求法求概率即可.
【详解】
1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有种；
2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的4个空中，分两种情况：
当插入前2个空有种，再把甲插入五名同学所成排的5个空中后3个空有种；
当插入后2个空有种，再把甲插入有种；
所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有种，
而六位同学任意安排的方法数为种，
所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为.
故选：B
8．D
【解析】
【分析】
本题利用函数的奇偶性及单调性求得函数的值域，然后利用均值不等式判断与的大小关系从而进行判断．
【详解】
，均为偶函数，
故函数为偶函数，
，令
，
，，
，故单调递增，即单调递增，
又，∴在恒成立，
故在函数递增，且，
故函数在递减，在递增，
且函数恒成立，
，，成等比数列，
当，均为正数时，
由均值不等式有：，①，
当，均为负数时，
由均值不等式有：，②，
由①②有：，
又，，互不相等，故，
故，
，
故选：D．
9．CD
【解析】
【分析】
A选项直接判断；B选项值越大，模型的拟合效果越好；C选项按照公式直接计算；
D选项根据对立事件的概念进行判断.
【详解】
对于A：，变量与负相关，A错误；对于B：值越大，模型的拟合效果越好，B错误；
对于C：数据，，…，的方差为，C正确；对于D：事件“至少击中两次”
的对立事件是“至多击中一次”，D正确.
故选：CD.
10．AD
【解析】
【分析】
根据线面、面面垂直与平行的判定定理及性质定理判定即可；
【详解】
解：对于A：由、，可得，又，所以，故A正确；
对于B：由、，可得，又，则或，故B错误；
对于C：由，则或，又，则或或与相交（不垂直）或，故C错误；
对于D：由、，可得，又，所以，故D正确；
故选：AD
11．ABC
【解析】
【分析】
求得，进而求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
椭圆的左、右焦点分别是，，
为椭圆上一点，，
所以.
所以的周长为，A正确.
的面积为，B正确.
设的内切圆的半径为，则，C选项正确.
为锐角，
，
所以的外接圆的直径为，D选项错误.
故选：ABC
12．BCD
【解析】
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，设，，得，然后用空间向量法求得，求得数量积计算最小值判断A；由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断B；根据与AB所成的角为，运用夹角公式计算并化简，判断C；结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D．
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，

则，，，，,
对于A，，设，，所以，，，
，
所以时，，A不正确；
对于B，，则是上靠近的三等分点，，
取上靠近的三等分点，则，
，显然与平面的法向量垂直，因此平面，
所以截面与平面的交线与平行，作交于点，
设，则，由得，解得，
则与重合，因此取中点，易得，截面为，它是等腰梯形，
，，，梯形的高为，
截面面积为，B正确；
对于C，，若与AB所成的角为，则有，两边平方化简整理有，C正确；
对于D，，，，，，
，，同理，
所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转．D正确．
故选：BCD．
13解：的导数为，
可得曲线在点，处的切线的斜率为，
则切线的方程为，
即为．
14解：在的表示12个因式的乘积，
故有2个因式取，其余的10个因式都取1，可得展开式中，含项，
故含项的系数为，

15．##
【解析】
【分析】
作出函数图象，设，由图象可得的范围，并用表示出，从而可表示为的函数，再利用导数求得最小值．
【详解】
函数的图象如图所示．

令，则，所以．令，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
故答案为：．
16．         
【解析】
【分析】
求出后可猜想，由裂项相消法求和
【详解】
由题数据可得，，归纳法可得
，，，…，，
所以，
故
.
故答案为：，
【解析】
(1)当n≥2时，因为Sn＋1＝4an，所以Sn＋1＝4an－1，两式相减得，
所以 ……2分
当n＝1时，因为Sn＋1＝4an，所以S2＝4a1，又a1＝4，故a2＝12，于是a2－2a1＝4，
所以是以4为首项2为公比的等比数列． ……3分
所以两边除以得， ……4分
又＝2，所以是以2为首项1为公差的等差数列．
所以 ……6分
(2)若选①：bn＝an＋1－an，即bn＝(n＋2)×－(n＋1)×2n＝(n＋3)×2n， ……8分
因为Tn＝4×21＋5×22＋6×23＋…＋(n＋3)×2n，
所以2Tn＝4×22＋5×23＋6×24＋…＋(n＋3)×，
两式相减得，－Tn＝4×21＋(22＋23＋24＋…＋2n)－(n＋3)×， ……10分
＝8＋－(n＋3)×，所以Tn＝(n＋2)×－4.……12分
若选②：bn＝log2，即bn＝log2＋log22n＝log2＋n， ……8分
所以Tn＝(log2＋log2＋…＋log2)＋(1＋2＋…＋n)，
＝log2(××…×)＋＝log2(n＋1)＋， ……12分
若选③：，即bn＝＝4(－)， ……8分
所以Tn＝4(－)＋(－)＋…＋4(－)＝4(－)， ……10分
＝4[－]＝1－. ……12分
18．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；
（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；
（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.
(1)
由题意，函数

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.
故
(2)
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.
再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图象.
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
(3)
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，结合正弦函数的图象，

可得方程在区间有5个解，即，   
其中，
即
解得
所以.
综上，
【点睛】
（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法；
19(1)由题意可取AD的中点为O，连接PO，CO，
则PO⊥AD，又因为AD＝2，所以PO＝OA＝OD＝1，PA＝PD＝，
因为，且AO∥BC，
所以四边形OABC为正方形，所以OC⊥AD，
又因为PO＝OC＝1，PC＝，所以PO2+OC2＝PC2，所以PO⊥OC；
又AD∩PO＝O，所以PO⊥平面ABCD，
则以O为坐标原点，以OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
所以A(0，－1，0)，P(0，0，1)，C(1，0，0)，B(1，－1，0)，
所以＝(1，－1，－1)，1
设平面的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
取y＝－1，x＝1，z＝1，则n＝(1，－1，1)，
设直线PB与平面PAC所成角为，
则，
所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为
(2)点F在平面PAC中，证明如下：
因为E为PD的中点，所以E(0，，)，
因为F为BE的中点，所以B(1，－1，0)，则F(，，)，
所以＝(－1，0，1)，＝(－1，－1，0)，＝(，，)，
假设存在x，y∈R，＝x＋y，
即得到，解得x＝y＝，
所以＝＋，则与，共面，
所以点F在平面PAC中．

20．(1)
(2)证明见解析
(3)，表示前次航班一共被熔断的次数
【解析】
【分析】
（1）分第1次航班被熔断和不被熔断计算即可；
（2）先列出递推关系式，再构造等比数列证明；
（3）按照分组求和等比数列求和计算即可.
(1)
；
(2)
由题得，
∴，
又，∴数列是以为首项、为公比的等比数列；
(3)
由（2）知，故，
从而，
由于可以理解为第次航班平均被熔断的次数，
∴表示前次航班一共被熔断的次数.
21．(1)
(2)证明见解析
(3)(0，1]
【解析】
【分析】
（1）设椭圆的方程为，依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），推出b＝1，又椭圆的离心率为，解得a2，即可得出答案．
（2）设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y＝k(x+1)，联立椭圆的方程，解得x2，同理可得，进而可得x1⋅x2＝1．
（3）由（2）得，由，得，再计算S1，S2，结合基本不等式得S12﹣S22的取值范围．
(1)
设椭圆的方程为，
依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），所以b＝1，
因为椭圆的离心率为，
所以，即a2＝4，
所以椭圆方程为．
(2)
证明：设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），
则直线AP的方程为y＝k(x+1)，
联立方程组，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或，
所以，
同理联立直线AP和双曲线可得，，
所以x1⋅x2＝1．
(3)
由（2），
因为，
所以，
即，
因为点P在双曲线上，则，
所以，即，
因为点P是双曲线在第一象限内的一点，
所以，
因为，
所以．
由（2）知，x1⋅x2＝1，即，
设，则1＜t≤3，则．
设f（t）＝5﹣t5﹣（t）≤5﹣4＝1，
当且仅当，即t＝2时取等号，
结合对勾函数单调性知函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减．
因为，
所以f(1)＜f(3)，
所以的取值范围为（0，1]．
22．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据切线过点可得，参变分离后研究的单调性，得到极值，数形结合得到答案；（2）在第一问基础上，得到，对不等式变形，结合放缩，转化为只需证，二次求导后得到证明.
(1)
，∴，∴处的切线方程为，
切线过点，所以，∴.
∵的零点不为1，
∴在上至多一个解.设，
则在上至多一个解.
，令得：，令得：或，
∴在和上单调递减， 上单调递增，当时，恒成立，当时，在处取得极小值，且，
画出函数图象如图所示：

所以时，至多有一个零点，∴
(2)
由（1）知，要想有两个不同零点，则且，即，
故要证，只需证，
由（1）知，故只需证，
∵.只需证：，即，令，
，∴在上递增，
∴，∴在上递增，
∴，∴，∴