2023年河南省驻马店四中教育集团中考数学二模试卷附解析

这是一份2023年河南省驻马店四中教育集团中考数学二模试卷附解析，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省驻马店四中教育集团中考数学二模试卷附解析
一、选择题（每题10分，共30分）
1．（3分）﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．﹣2023
2．（3分）如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）如图：将一张长方形纸条折叠．如果∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．100° B．130° C．150° D．80°
4．（3分）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为200cm2，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　）
A．6×107cm2 B．0.6×106cm2 C．6×106cm2 D．60×106cm2
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2÷x﹣3＝x5 B．（a+2b）2＝a2+2ab+4b2
C．+＝ D．（x2y3）2＝x4y9
6．（3分）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝﹣的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
7．（3分）甲、乙两人一起玩如图的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（　　）

A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．公平性不可预测
8．（3分）分式方程的解为（　　）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝15 D．x＝﹣15
9．（3分）如图，▱ABCD的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为（﹣1，2）．将▱ABCD沿x轴向右平移得到▱A'B'C'D'，使点A′落在函数y＝的图象上，若线段BC扫过的面积为9，则点B′的坐标为（　　）

A．（2，3） B．（3，3） C．（2，2） D．（3，2）
10．（3分）如图，等腰直角三角形△ABC的直角边与正方形MNPQ的边长都为4cm，且在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到点C与点N重合．设阴影部分面积为y（cm2），MA的长为x（cm），则y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若一次函数y＝x+b的图象过点A（1，﹣1），则b＝　 　．
12．（3分）不等式组的解集是 　 　．
13．（3分）如图，由小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，点D不在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则∠BDC的正切值是 　 　．

14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，O为AB的中点，以O为圆心，AO为半径作半圆与边CD相交于点E、F，连接OF，以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为 　 　．

15．（3分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合，连接DE，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为 　 　．

三、解答题（共8小题，75分）
16．（9分）（1）化简：；
（2）计算：．








17．（9分）为进一步提高学生的上机操作能力，某校在微机室内开展了计算机打字比赛．现从七、八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩用x（x为每分钟打字个数）表示，共分五个等级．A（x＜60），B（60≤x＜70），C（70≤x＜80），D（80≤x＜90），E（90≤x≤100）．
七年级抽取的20名学生的成绩分别是：79，87，71，84，75，79，88，71，76，91，76，79，83，71，75，79，87，63，84，80
八年级抽取的学生在D等级的成绩分别是：89，82，82，84，80，84，81，82，82，83，81
抽取的七、八年级学生打字成绩统计表

平均数
中位数
众数
七年级
78.9
79
b
八年级
79
a
82
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出a，b的值；
（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）已知该校七、八年级各有600名学生参与了计算机打字比赛，请估计两个年级打字成绩优秀的学生共有多少人（成绩≥80的为优秀）？












18．（9分）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）A，连接OA．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求作OA的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）；
（3）若OA的垂直平分线交x轴于点M，交OA于点N，当直线MN向上平移几个单位时能与第一象限内双曲线有唯一交点．





19．（9分）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为58.0°，探测最小角（∠OAC）为26.6°．
（1）若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度AB．
（2）该校要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.01米，参考数据：sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）




20．（9分）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各20个，共花费720元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
（1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
（2）这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？







21．（9分）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上，AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米．连接AC，AB．请解答下列问题．
（1）求证：∠PAC＝∠PBA．
（2）请求出水槽AP的长度．



22．（9分）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从D点起跳后到着陆坡AC着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线OC为x轴，铅垂线OB为y轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．在着陆坡AC上设置点K（32，4）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离x与铅垂高度y的几组数据如下：
水平距离x（m）
0
2
6
10
14
18
铅垂高度y（m）
20.00
21.80
24.20
25.00
24.20
21.80
根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
（2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？
（3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度h（m）与时间t（s）均满足h＝gt2（其中g为常数，表示重力加速度，取10m/s2），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？





23．（12分）课本再现：
（1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：

如图1，连接PO，利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的，可求出PE+PF的值，请你写出求解过程．
知识应用：
（2）如图，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．

①如图2，P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEGF，若DM＝13，CN＝5，求平行四边形PEGF的周长．
②如图3，当点P在线段MN的延长线上运动时，若DM＝m，CN＝n．请用含m，n的式子直接写出GF与GE之间的数量关系．

2023年河南省驻马店四中教育集团中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题10分，共30分）
1．（3分）﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．﹣2023
【分析】利用相反数的定义判断．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023．
故选：A．
2．（3分）如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，得到的主视图为，
故选：C．
3．（3分）如图：将一张长方形纸条折叠．如果∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．100° B．130° C．150° D．80°
【分析】由折叠得∠1＝∠4＝50°，根据平行线的性质即可求得∠2．
【解答】解：如图，由折叠得∠1＝∠4＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠1+∠4＝100°，
故选：A．

4．（3分）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为200cm2，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　）
A．6×107cm2 B．0.6×106cm2 C．6×106cm2 D．60×106cm2
【分析】先用乘法求出造成污染的最大面积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：200cm2×30万＝2×102×3×105cm2＝6×107cm2．
故选：A．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2÷x﹣3＝x5 B．（a+2b）2＝a2+2ab+4b2
C．+＝ D．（x2y3）2＝x4y9
【分析】根据整式与二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（B）原式＝a2+4ab+4b2，故B错误；
（C）由于与不是同类项二次根式，故C错误；
（D）原式＝x4y6，故D错误；
故选：A．
6．（3分）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝﹣的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据题意所给的运算得出一元二次方程，然后根据根的判别式进行解答即可．
【解答】解：根据题2☆x＝﹣的即2x2﹣2x＝﹣，
整理得4x2﹣4x+1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，
故选：C．
7．（3分）甲、乙两人一起玩如图的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（　　）

A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．公平性不可预测
【分析】画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲胜的结果有4种，乙胜的结果有4种，再由概率公式求出甲胜的概率＝乙胜的概率，即可得出结论．
【解答】解：画树状图如下：

共有8种等可能的结果，其中甲胜的结果有4种，乙胜的结果有4种，
∴甲胜的概率＝＝，乙胜的概率＝＝，
∴甲胜的概率＝乙胜的概率，
∴这个游戏公平，
故选：A．
8．（3分）分式方程的解为（　　）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝15 D．x＝﹣15
【分析】先去分母，化为一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤求解，最后检验．
【解答】解：去分母，得2x＝3（x﹣5），
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的根，
故选：C．
9．（3分）如图，▱ABCD的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为（﹣1，2）．将▱ABCD沿x轴向右平移得到▱A'B'C'D'，使点A′落在函数y＝的图象上，若线段BC扫过的面积为9，则点B′的坐标为（　　）

A．（2，3） B．（3，3） C．（2，2） D．（3，2）
【分析】根据平移的性质可求出点A′的坐标进而求出平移的距离，由线段BC所扫过的面积为9，可求出OB，得出点B坐标，进而求出点B′的坐标即可．
【解答】解：由平移的性质可知，点A与点A′的纵坐标相同，
当y＝2时，即2＝，
解得x＝2，
∴点A′的坐标为（2，），
∴矩形平移的距离AA′＝2+1＝3＝BB′，
又∵线段BC扫过的面积为9，
∴OB＝9÷3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∴点B′的坐标为（3，3），
故选：B．
10．（3分）如图，等腰直角三角形△ABC的直角边与正方形MNPQ的边长都为4cm，且在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到点C与点N重合．设阴影部分面积为y（cm2），MA的长为x（cm），则y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】首先确定每段与x的函数关系类型，根据函数的性质确定选项．
【解答】解：当x≤4cm时，重合部分是边长是x的等腰直角三角形，面积y＝x2，是一个开口向上的二次函数；
当x＞4时，重合部分是直角梯形，面积y＝8﹣（x﹣4）2，即y＝﹣x2+4x，是一个开口向下的二次函数．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若一次函数y＝x+b的图象过点A（1，﹣1），则b＝　﹣2　．
【分析】把点A（1，﹣1）代入一次函数y＝x+b，求出b的值即可．
【解答】解：把点A（1，﹣1）代入一次函数y＝x+b
得：1+b＝﹣1，
解得b＝﹣2．
故填﹣2．
12．（3分）不等式组的解集是 　1＜x≤　．
【分析】先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x，
解不等式②，得x＞1，
所以不等式组的解集是1＜x≤．
故答案为：1＜x≤．
13．（3分）如图，由小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，点D不在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则∠BDC的正切值是 　　．

【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠CAB的值，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC＝∠BAC，即可解答．
【解答】解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝2，AC＝3，
∴tan∠CAB＝＝，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴tan∠BDC＝tan∠CAB＝＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，O为AB的中点，以O为圆心，AO为半径作半圆与边CD相交于点E、F，连接OF，以B为圆心，BE为半径作弧刚好经过点O，则图中阴影部分的面积为 　　．

【分析】证明△OBE≌△OAF（SSS），△OBE与△OAF都为等边三角形，可得△OEF为等边三角形，阴影部分的面积等于△OEF的面积即可求出答案．
【解答】解：如图，连接AF，OE，BE，

∵OA＝OB＝OE＝BE＝OF＝AF＝1，
∴△OBE≌△OAF（SSS），△OBE与△OAF都为等边三角形，
∴△OEF为等边三角形，
∴阴影部分的面积等于△OEF的面积，
∴阴影部分的面积为×1×＝．
故答案为：．
15．（3分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合，连接DE，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为 　　．

【分析】在OM下方作∠OMF＝30°，过点P作PH⊥MF于点H，过点G作GN⊥MF于点N，可得GN＝MG，PG+MG＝PG+GN，当P、G、N 三点共线时，PG+MG＝PG+GN有最小值，且最小值即为PH的长，利用勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，依次求得OP、PM、HM、PH，得出的最小值．
【解答】解：如图，在OM下方作∠OMF＝30°，过点P作PH⊥MF于点H，过点G作GN⊥MF于点N，

则∠PHM＝∠GNM＝90°，
∴GN＝MG，
∴PG+MG＝PG+GN，
结合图形可知，当P、G、N 三点共线时，PG+MG＝PG+GN有最小值，且最小值即为PH的长，
∵∠OPM＝90°，∠OMP＝30°，OM＝2，
∴OP＝OM＝1，
∴PM＝＝，
∵∠PMH＝∠OMP+∠OMF＝60°，
∴HPM＝90°﹣∠PMH＝30°，
∴HM＝PM＝，
∴PH＝＝，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，75分）
16．（9分）（1）化简：；
（2）计算：．
【分析】（1）利用分式的混合运算法则和因式分解化简运算即可；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
17．（9分）为进一步提高学生的上机操作能力，某校在微机室内开展了计算机打字比赛．现从七、八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩用x（x为每分钟打字个数）表示，共分五个等级．A（x＜60），B（60≤x＜70），C（70≤x＜80），D（80≤x＜90），E（90≤x≤100）．
七年级抽取的20名学生的成绩分别是：79，87，71，84，75，79，88，71，76，91，76，79，83，71，75，79，87，63，84，80
八年级抽取的学生在D等级的成绩分别是：89，82，82，84，80，84，81，82，82，83，81
抽取的七、八年级学生打字成绩统计表

平均数
中位数
众数
七年级
78.9
79
b
八年级
79
a
82
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出a，b的值；
（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）已知该校七、八年级各有600名学生参与了计算机打字比赛，请估计两个年级打字成绩优秀的学生共有多少人（成绩≥80的为优秀）？

【分析】（1）根据总人数是20人，可得C等级的人数为：20﹣1﹣0﹣11﹣2＝6（人），从而补全条形统计图，然后根据中位数和众数的定义求出a、b的值；
（2）根据表格中的数据，可以得到哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由；
（3）用样本估计总体可得结果．
【解答】解：（1）八年级C等级人数为：20﹣1﹣0﹣11﹣2＝6（人）
补全条形统计图如图：

七年级20名学生的成绩7（9分）人数由4人，人数最多，
∴七年级学生打字成绩众数b＝79，
因为八年级抽取的20名学生的打字成绩从小到大排在中间的两个数分别是81，82，
∴八年级学生打字成绩中位数；
（2）八年级的学生上机操作能力更好，理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，众数也大于七年级，故八年级的学生上机操作能力更好；
（3）（人），
答：两个年级打字成绩优秀的学生共有630人．
18．（9分）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）A，连接OA．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求作OA的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）；
（3）若OA的垂直平分线交x轴于点M，交OA于点N，当直线MN向上平移几个单位时能与第一象限内双曲线有唯一交点．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）利用尺规作图作出图形即可；
（3）利用待定系数法求出直线MN的解析式，设出平移后直线解析式，与反比例函数解析式联立，根据一元二次方程根的判别式为0求出答案即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过格点（网格线的交点）A（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为；

（2）如图所示；

（3）直线MN的解析式为y＝ax+b，
由（2）可知M（5，0），N（1，2），代入y＝ax+b得：
，
解得：，
∴直线MN的解析式为：．
设直线MN向上平移m个单位时能与第一象限内双曲线有唯一交点，则平移后直线为，
联立得，，
则x2﹣（5+2m）x+16＝0，
由Δ＝（5+2m）2﹣4×1×16＝4m2+20m﹣39＝0，
解得（不合题意，舍去），
∴，
即当直线向上平移个单位时与唯一交点．
故答案为：．

19．（9分）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为58.0°，探测最小角（∠OAC）为26.6°．
（1）若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度AB．
（2）该校要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.01米，参考数据：sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

【分析】（1）根据题意可得OC⊥AC，∠OBC＝58.0°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6米，利用锐角三角函数列式计算即可；
（2）根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可知：
OC⊥AC，∠OBC＝58.0°，∠OAC＝26.6°，OC＝1.6米，
在Rt△OBC中，BC＝＝≈＝1.00（米），
在Rt△OAC中，AC＝＝≈＝3.20（米），
∴AB＝AC﹣BC＝3.2﹣1＝2.20（米）．
答：测温区域的宽度AB为2.2米；
（2）根据题意可知：
AC＝AB+BC＝2.53+BC，
在Rt△OBC中，BC＝≈，
∴OC＝1.60BC，
在Rt△OAC中，OC＝AC•tan∠OAC≈（2.53+BC）×0.50，
∴1.60BC＝（2.53+BC）×0.50，
解得BC＝1.15米，
∴OC＝1.60BC＝1.84（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.84米．
20．（9分）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各20个，共花费720元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
（1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
（2）这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，找出等量关系，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为（100﹣m）件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元，根据题意即可得到w与x之间的函数关系式；再根据m的取值与一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，
由题意得，
解得．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．

（2）设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为（100﹣m）件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元，
由题意可得：，
解得m≥25，
∴25≤m≤100，w＝（24﹣16）m+（30﹣20）（100﹣m）＝﹣2m+1000，
∵﹣2＜0，
∴w随m的增大而减小，且25≤m≤100，
∴当m＝25时，w有最大值，此时100﹣m＝75．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
21．（9分）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上，AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米．连接AC，AB．请解答下列问题．
（1）求证：∠PAC＝∠PBA．
（2）请求出水槽AP的长度．

【分析】（1）连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接CD，则∠ACD＝90°，由切线的性质及圆周角定理可得出结论；
（2）由勾股定理求出CE＝4米，证明△CAP∽△ABP，得出，可求出答案．
【解答】（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接CD，则∠ACD＝90°，

∴∠CAD+∠CDA＝90°，
∵AP与⊙O相切，
∴∠PAC+∠CAD＝∠PAD＝90°，
∴∠PAC＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠CBA，
∴∠PAC＝∠PBA；
（2）解：如图，OF⊥BP于点E，且EF＝2米，

∵OF＝5米，
∴OE＝OF﹣EF＝5﹣2＝3（米），
连接OC，
∴EC＝＝＝4（米），
∴BC＝2OC＝8米，
∵PC＝32米，
∴PB＝CP+CB＝32+8＝40（米），
∵∠PAC＝∠PBA，∠CPA＝∠APB，
∴△CAP∽△ABP，
∴，
∴AP2＝PB•CP＝40×32＝1280，
∴AP＝16（米）．
22．（9分）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从D点起跳后到着陆坡AC着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线OC为x轴，铅垂线OB为y轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．在着陆坡AC上设置点K（32，4）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离x与铅垂高度y的几组数据如下：
水平距离x（m）
0
2
6
10
14
18
铅垂高度y（m）
20.00
21.80
24.20
25.00
24.20
21.80
根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
（2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？
（3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度h（m）与时间t（s）均满足h＝gt2（其中g为常数，表示重力加速度，取10m/s2），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？

【分析】（ 1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为（10，25.00），从而得到抛物线的解析式为y＝a（x﹣10）2+25，再把点（0，20）代入，即可求解；
（2）把x＝32代入（1）中解析式，即可求解；
（3）分别把h＝20和h＝0.8代入h＝gt2，求出t的值，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得，抛物线的顶点坐标为（10，25.00），
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣10）2+25，
即h＝10，k＝25，
即该运动员铅垂高度的最大值为25m；
把点（0.20）代入y＝a（x﹣10）2+25得：20＝a（0﹣10）2+25，
解得：a＝﹣，
∴满足的函数关系式为y＝﹣（x﹣10）2+25；
（2）当x＝32时，y＝﹣（32﹣10）2+25＝0.8＜4，
∴该运动员的成绩不达标；
（3）当h＝20时，20＝×10t2，
解得：t＝2或t＝﹣2，
当h＝0.8时，0.8＝×10t2，
解得：t＝0.4或t＝﹣0.4，
∴该运动员从起跳到落地所用时间为2+04＝2.4，
∵运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，
∴该运动员从起跳到落地不能完成动作．
23．（12分）课本再现：
（1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：

如图1，连接PO，利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的，可求出PE+PF的值，请你写出求解过程．
知识应用：
（2）如图，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．

①如图2，P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEGF，若DM＝13，CN＝5，求平行四边形PEGF的周长．
②如图3，当点P在线段MN的延长线上运动时，若DM＝m，CN＝n．请用含m，n的式子直接写出GF与GE之间的数量关系．
【分析】（1）连接OP，如图1所示，根据矩形的性质得到∠BAD＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，OA＝OC＝OB＝OD，AC＝BD，根据勾股定理得到AC＝＝5，求得OA＝OD＝AC＝2.5，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图，连接BP，作MH⊥BC于H，根据矩形的性质得到MH＝AB，根据勾股定理得到AB＝＝12，根据三角形的面积公式得到PE+PF＝MH＝12．于是得到结论；
（3）如图，连接BP，作MH⊥BC于H．根据勾股定理得到MH＝AB＝，根据三角形的面积公式得到PE﹣PF＝MH＝，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OP，如图1所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，OA＝OC＝OB＝OD，AC＝BD，
∴AC＝＝5，
∴OA＝OD＝AC＝2.5，
∵△AOD的面积＝△OAP的面积+△ODP的面积＝OA×PE+OD×PF＝（PE+PF）×OA＝矩形ABCD的面积＝×4×3＝6，
∴PE+PF＝；
（2）解：如图，连接BP，作MH⊥BC于H，则四边形ABHM是矩形，MH＝AB，

∵DM＝MB＝BN＝13，CN＝5，
∴AD＝BC＝18，AM＝5，
在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BM＝13，AM＝5，
∴AB＝＝12，
∵S△BMN＝S△PBM+S△PBN，
∴•BN•MH＝•BM•PE+•BN•PF，
∵BM＝BN，
∴PE+PF＝MH＝12．
∵四边形PEGF是平行四边形，
∴四边形PEGF的周长＝2（PE+PF）＝12；
（3）解：如图，连接BP，作MH⊥BC于H．

∵MD＝MB＝BN＝m，CN＝n，
∴AD＝BC＝m+n，
∴AM＝AD﹣DM＝n，
∴MH＝AB＝，
∵S△MBP﹣S△BNP＝S△MBN，
∴BM•PE﹣•BN•PF＝•BN•MH，
∵BM＝BN，
∴PE﹣PF＝MH＝，
∵四边形PEGF是平行四边形，
∴GF﹣GE＝PE﹣PF＝．