还剩26页未读，
继续阅读
2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷附解析
展开
这是一份2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷附解析，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）在|﹣2|，，π，这四个数中最大的数是（ ）
A．|﹣2| B． C．π D．
2．（3分）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中周长最小的是（ ）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．三种一样
3．（3分）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣8米 B．5×10﹣9米 C．5×10﹣10米 D．5×10﹣11米
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣1）0＝﹣1 B．（﹣1）﹣1＝1
C． D．
5．（3分）如果一元二次方程2mx2+6x+3＝0有实数根，那么实数m的取值范围为（ ）
A．m＞1.5 B．m＜1.5且m≠0 C．m≤1.5 D．m≤1.5且m≠0
6．（3分）如图所示的是A、B、C三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC＝66°，则∠BPC等于（ ）
A．100° B．120° C．132° D．140°
7．（3分）如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径（0，0）→（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→⋅⋅⋅每次运动一个点，则运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为（ ）
A．45 B．946 C．990 D．103
8．（3分）如图，点E是菱形ABCD边上一动点，它沿A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，下列图象中能反映y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，点B为线段AC上一点，以AB和BC为边在线段AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE与BD交于点G，连接CD与BE相交于点H、与AE相交于点P，连接BP，（1）△ABE绕点B顺时针旋转60°与△DBC重合（2）△HBC绕点B逆时针旋转60°与△GBE重合（3）∠EPC＝60°（4）PC＝PE+PB（5）PB平分∠APC．以上结论错误的个数为（ ）个．
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（每小题3分，共l5分）
11．（3分）写出一个绝对值大于2且小于3的负无理数 ．
12．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．
13．（3分）已知三个不相等的正整数的平均数，中位数都是3，则这三个数分别为 ．
14．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，，以点C为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D，交BC于点E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点M、N分别是边AB，AD上的动点，且满足BM＝2AN，BN交CM于点E，在点M、N运动的过程中，AE的最小值为 ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（8分）我们在数学学习过程中，经常遇到这样的试题：“先化简，然后从不等式组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值”
（1）请你写出平时在解答这道数学题的过程中，需要用到哪些数学知识？（写出三个）
（2）请你写出在进行运算时容易出错的地方有哪些？（写出两个）
（3）的化简结果是 ；你选取的x的值为 ，代入结果为 ．
17．（9分）十九大给中原发展提供了新动力．小刚同学就本班学生对中原经济区知识的了解程度进行了一次调查统计，如图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）该班共有多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（3）若该校共有2000名学生，则对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是多少人？
（4）从该班中任选一人，其对中原经济区知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？
18．（9分）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD＝BE．
（1）求证：PA＝PB；
（2）若∠P＝40°，当∠EDF是多少度时，BD＝AF？请说明理由．
（3）若∠APB＝α，当α＝ 时，四边形DEPF为菱形．
19．（9分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A，B，点P在以点C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，OQ长的最大值为时．
（1）试确定反比例函数y＝的表达式．
（2）⊙C与x轴在点C的左侧交于点M，请直接写出劣弧MP的长是 ．（sin31°≈0.52，sin40°≈0.64，sin53°≈0.8）
20．（9分）在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372 km，此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，，，）
21．（10分）随着科学技术的日新月异，技术更新更是首当其冲，智能手机的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某手机商行经营的A款10英寸智能手机去年销售总额为10万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款10英寸智能手机每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款10英寸智能手机和新款B款10英寸智能手机共600台，且B款10英寸智能手机的进货数量不超过A款10英寸智能手机数量的两倍，应如何进货才能使这批智能手机获利最多？
A，B两款10英寸智能手机的进货和销售价格如下表：
A款10英寸智能手机
B款10英寸智能手机
进货价格（元）
1400
1500
销售价格（元）
今年的销售价格
1800
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 ．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
23．（10分）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，分别取AC和AE的中点G、H，连接BG、MG、MH、DH，那么BD和BM的数量关系是 ；
（2）将图1中的△ABC绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）已知正方形ABCP的边长为2，正方形ADEQ的边长为10，现将正方形ABCP绕点A顺时针旋转，在整个旋转过程中，当C、P、E三点共线时，请直接写出BD的长．
2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）在|﹣2|，，π，这四个数中最大的数是（ ）
A．|﹣2| B． C．π D．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，＝3，
π＞3＞2＞，
∴在|﹣2|，，π，这四个数中最大的数是π．
故选：C．
2．（3分）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中周长最小的是（ ）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．三种一样
【解答】解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，故三种视图周长最小的是左视图．
故选：B．
3．（3分）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣8米 B．5×10﹣9米 C．5×10﹣10米 D．5×10﹣11米
【解答】解：0.5纳米＝0.5×0.000000001米＝0.0000000005米＝5×10﹣10米．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣1）0＝﹣1 B．（﹣1）﹣1＝1
C． D．
【解答】解：A、（﹣1）0＝1，
故本选项不符合题意；
B、（﹣1）﹣1＝﹣1，
故本选项不符合题意；
C、2a﹣3＝，
故本选项不符合题意；
D、（﹣a3）÷（﹣a7）＝，
故本选项符合题意，
故选：D．
5．（3分）如果一元二次方程2mx2+6x+3＝0有实数根，那么实数m的取值范围为（ ）
A．m＞1.5 B．m＜1.5且m≠0 C．m≤1.5 D．m≤1.5且m≠0
【解答】解：由题意可知：Δ＝36﹣24m≥0，
∴m≤，
∵2m≠0，
∴m≠0，
∴m≤且m≠0，
故选：D．
6．（3分）如图所示的是A、B、C三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC＝66°，则∠BPC等于（ ）
A．100° B．120° C．132° D．140°
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，GH垂直平分BC，
所以点P为△ABC的外心，
所以∠BPC＝2∠BAC＝2×66°＝132°．
故选：C．
7．（3分）如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径（0，0）→（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→⋅⋅⋅每次运动一个点，则运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为（ ）
A．45 B．946 C．990 D．103
【解答】解：设当横坐标为n时，实心点最多运动的次数为an，
观察图形，可知：a1＝4，a3＝9，a6＝16，
∵1＝1，3＝1+2，6＝1+2+3，
∴＝（n+1）2．
令（n+1）2≤2017，
解得：n≤43．
当n＝43时，＝946，a946＝1936，
当n＝44时，＝990，a990＝2025．
∵1936+990﹣946﹣1＝1979，
1979＜2017＜2025，
∴运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为990．
故选：C．
8．（3分）如图，点E是菱形ABCD边上一动点，它沿A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，下列图象中能反映y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为点E在菱形ABCD上移动，所以可知菱形各顶点向对边作的高为定值，可设高的长为k
如图一，当点E在AB上移动时，将AE作为△ADE底边，则有S△ADE＝•AE•k
随着点E移动，AE的长在增大，三角形的面积也是在增大的，y与x满足正比例函数关系；
如图二，当点E在BC上移动时，将AD作为底边，则有S△ADE＝•AD•k
点E的移动不会带来AD长度的变化，所以此时三角形面积为定值；
如图三，当点E在CD上移动时，将DE作为△ADE底边，则有S△ADE＝•DE•k
随着点E移动，DE的长在减少，三角形的面积也是在减少的，y与x满足正比例函数关系．
故选：A．
9．（3分）在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．
则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
故选：C．
10．（3分）如图，点B为线段AC上一点，以AB和BC为边在线段AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE与BD交于点G，连接CD与BE相交于点H、与AE相交于点P，连接BP，（1）△ABE绕点B顺时针旋转60°与△DBC重合（2）△HBC绕点B逆时针旋转60°与△GBE重合（3）∠EPC＝60°（4）PC＝PE+PB（5）PB平分∠APC．以上结论错误的个数为（ ）个．
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴AD＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD＝180°﹣60°＝120°，
在△ABE与△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴△ABE绕点B顺时针旋转60°与△DBC重合，故（1）不合题意；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BCD＝∠BEA，
又∵∠GBE＝∠CBH＝60°，BC＝BE，
∴△BCH≌△BEG（ASA），
∴△HBC绕点B逆时针旋转60°与△GBE重合，故（2）不合题意；
∵∠BCD＝∠BEA，
∴B、C、E、P四点共圆，
∴∠EPC＝∠EBC＝60°，∠BPC＝∠BEC＝60°，故（3）不合题意；
∴∠APB＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠BPC，
∴BP平分∠APC，故（5）不合题意；
如图，在PC上截取PF＝PE，连接EF，
∵∠CPE＝60°，PE＝PF，
∴△PEF是等边三角形，
∴EF＝PE＝PF，∠FEP＝∠EFP＝∠EPF＝60°＝∠BEC，
∴∠BEP＝∠CEF，∠BPE＝∠EFC＝120°，
又∵BE＝EC，
∴△BPE≌△CFE（AAS），
∴CF＝BP，
∴PC＝PF+CF＝PB+PE，故（4）不合题意；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共l5分）
11．（3分）写出一个绝对值大于2且小于3的负无理数 ﹣1﹣（答案不唯一） ．
【解答】解：绝对值大于2且小于3的负无理数有﹣1﹣，
故答案为：﹣1﹣（答案不唯一）．
12．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是 ①②④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．
【解答】解：*＝（）2﹣×＝2﹣，①正确；
若a+b＝0，则a＝﹣b，
∴a*b＝a2﹣ab＝b2﹣ba＝b*a，②正确；
（x+2）*（x+1）＝（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝x+2，③错误；
（x+3）*1＝（x+3）2﹣（x+3）＝x2+5x+6，
∴（x+3）*1＝1即为方程x2+5x+6＝1，化简得x2+5x+5＝0，
解得x1＝，x2＝，④正确．
故答案为：①②④
13．（3分）已知三个不相等的正整数的平均数，中位数都是3，则这三个数分别为 1，3，5或2，3，4 ．
【解答】解：因为这三个不相等的正整数的中位数是3，
设这三个正整数为a，3，b（a＜3＜b）；
其平均数是3，有（a+b+3）＝3，即a+b＝6．
且ab为正整数，故a可取1，2，分别求得b的值为5，4．
故这三个数分别为1，3，5或2，3，4．
故填1，3，5或2，3，4．
14．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，，以点C为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D，交BC于点E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接GC，GE，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，
∴AC＝BC•tan30°＝2，∠A＝60°，
∴AB＝2AC＝4，
∵CG＝CE＝EG＝CA＝2，AC＝CD＝2，
∴△ECG≌△ACD，且△ECG和△ACD都是等边三角形，
∴∠GCE＝∠ACD＝60°，
∴∠ACG＝∠GCD＝∠DCB＝30°，
∴S阴＝S扇形GCD+（S扇形CEG﹣S△CEG）+S△ABC﹣S扇形DCE﹣S△ACD
＝S扇形GCD+S扇形CEG﹣S△CEG+S△ABC﹣S扇形DCE﹣S△ACD
＝S扇形CEG﹣2S△CEG+S△ABC
＝﹣2××2×+×2×2
＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点M、N分别是边AB，AD上的动点，且满足BM＝2AN，BN交CM于点E，在点M、N运动的过程中，AE的最小值为 2﹣2 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAN＝∠MBC＝90°，
∴∠CBE+∠ABN＝∠ABN+∠ANB＝90°，
∵BC＝2AB＝4，BM＝2AN，
∴＝，
∴△ABN∽△BCM，
∴∠ABN＝∠BCM，
∵∠ABN+∠CBE＝90°，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴点E在以BC为直径的圆上运动，
设BC的中点为O，连接AO，
当A，E，O三点在一条直线上时，AE的值最小，
∵AO＝＝＝2，OE＝BC＝2，
∴AE＝AO﹣OE＝2﹣2，
故AE的最小值为 2﹣2．
故答案为：2﹣2．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（8分）我们在数学学习过程中，经常遇到这样的试题：“先化简，然后从不等式组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值”
（1）请你写出平时在解答这道数学题的过程中，需要用到哪些数学知识？（写出三个）
（2）请你写出在进行运算时容易出错的地方有哪些？（写出两个）
（3）的化简结果是 x+5 ；你选取的x的值为 1 ，代入结果为 6 ．
【解答】解：（1）在解答这道数学题的过程中，用到的数学知识有：因式分解、分式的加减运算法则、分式的约分、不等式组的解法等；
（2）进行计算时容易出错的地方为：通分时括号中第二项的变形容易出现错误；代入时把x＝5代入计算等；
（3）原式＝（+）•
＝•
＝x+5；
不等式组，
解得：﹣5≤x＜6，
当x＝1时，原式＝1+5＝6．
故答案为：x+5；1；6．
17．（9分）十九大给中原发展提供了新动力．小刚同学就本班学生对中原经济区知识的了解程度进行了一次调查统计，如图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）该班共有多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（3）若该校共有2000名学生，则对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是多少人？
（4）从该班中任选一人，其对中原经济区知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？
【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），
“一般了解”的学生有：50×30%＝15（名），
“熟悉”的学生有：50﹣5﹣15﹣20＝10（名），
故该班共有50名学生．
如图所示：
（2）．
故“了解较多”部分所对应的圆心角的度数为144°；
（3）（人）．
故对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是200人；
（4）．
故该班任选一人对中原经济区知识的了解程度为“熟悉”的概率为．
18．（9分）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD＝BE．
（1）求证：PA＝PB；
（2）若∠P＝40°，当∠EDF是多少度时，BD＝AF？请说明理由．
（3）若∠APB＝α，当α＝ 60° 时，四边形DEPF为菱形．
【解答】（1）证明：∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB；
（2）解：当∠EDF＝70°时，BD＝AF，
理由：∵PA＝PB，∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝＝70°，
∴∠PAB＝∠EDF，
∵∠BDF是△ADF的外角，
∴∠BDF＝∠PAB+∠AFD，即∠BDE+∠EDF＝∠PAB+∠AFD，
∴∠BDE＝∠AFD，
在△AFD和△BDE中，
，
∴△AFD≌△BDE（AAS），
∴BD＝AF；
（3）如图，
∵四边形DEPF是菱形，∠APB＝α，
∴DF∥BP，DE∥AP，DE＝DF，∠EDF＝∠APB＝α，
∴∠AFD＝∠APB＝α，∠BED＝∠APB＝α，
∴∠AFD＝∠BED，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
在△AFD和△BED中，
，
∴△AFD≌△BED（AAS），
∴AD＝BD，∠ADF＝∠BDE，
∵AD＝BE，
∴BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝α，
∴∠ADF＝∠BDE＝α，
∵∠ADF+∠FDE+∠BDE＝180°，
∴α+α+α＝180°，
∴α＝60°，
∴当α＝60°时，四边形DEPF为菱形，
故答案为：60°．
19．（9分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A，B，点P在以点C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，OQ长的最大值为时．
（1）试确定反比例函数y＝的表达式．
（2）⊙C与x轴在点C的左侧交于点M，请直接写出劣弧MP的长是 ．（sin31°≈0.52，sin40°≈0.64，sin53°≈0.8）
【解答】解：（1）如图，连接BP，过点B作BD⊥x轴于D，
由题意可知，点O是AB的中点，
又∵点Q是PA的中点，
∴QO是△PBA的中位线，
由题意，如图，当BP过点C时，BP的长有最大值，
即QO的长也取得最大值，
∵PB＝2QO＝3，
∴BC＝PB﹣PC＝3﹣1＝2，
已知点C （﹣2，0），可设点B （t，2t），
根据两点之间的距离公式可得：BC＝＝2，
解得：t＝﹣，
∴B （﹣，﹣），
代入y＝中，
解得k＝，
∴y＝；
（2）在Rt△BCD中，BD＝，BC＝2，
∴sin∠BCD＝＝＝0.8，
∴∠BCD≈53°，
∴劣弧MP的长度＝＝．
故答案为：．
20．（9分）在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372 km，此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，，，）
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
由题意得，∠ACB＝58°﹣28°＝30°，∠ABC＝28°+25°＝53°，BC＝372km，
设AD＝xkm，
在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝53°，
∴BD＝≈＝，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝30°，
∴CD＝＝＝，
∵BC＝BD+CD，
∴，
解得x≈150，
即AD＝150km，
∴AC＝2AD＝300km，
∵300÷30＝10（h），
∴我方军舰大约需要10h到达C岛．
21．（10分）随着科学技术的日新月异，技术更新更是首当其冲，智能手机的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某手机商行经营的A款10英寸智能手机去年销售总额为10万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款10英寸智能手机每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款10英寸智能手机和新款B款10英寸智能手机共600台，且B款10英寸智能手机的进货数量不超过A款10英寸智能手机数量的两倍，应如何进货才能使这批智能手机获利最多？
A，B两款10英寸智能手机的进货和销售价格如下表：
A款10英寸智能手机
B款10英寸智能手机
进货价格（元）
1400
1500
销售价格（元）
今年的销售价格
1800
【解答】解：（1）设今年每台手机售价x元，由题意得，
解得：x＝1600．
检验：当x＝1600时，是分式方程的解．
答：今年A款10英寸智能手机每台售价是1600元；
（2）设进A款手机a台，B款为（600﹣a）台，总获利为W元．
由题意，W＝（1600﹣1400）a+（600﹣a）（1800﹣1500），
W＝﹣100a+180000，﹣100＜0，
∴当a＝200时获利最大，此时600﹣a＝400，
∵600﹣a≤2a，a≥200，
∴A款手机进200台，B款手机进400台获利最多．
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1 ．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入①得：1＝4a+2+c，
∴a＝，
∴顶点的纵坐标，
∵c＞﹣1，
∴c+1＞0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥，
∵，
∴a+b，当a＝b时取等号，
∴＝1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1．
解法二：∵a＜0，抛物线开口向下，抛物线顶点纵坐标就是抛物线最高点，抛物线又必过（﹣2，1），
∴顶点纵坐标不可能比1小．
∴1就是顶点纵坐标最小值．
（3）方法一、由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣1﹣4a，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
Δ＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
若﹣1＜m＜2，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，且，
解得a＜0，
∴a＜0，
若2＜m＜3，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，且＜3，
解得a，
方法二、由题意可得：或，
解得：a＞或a＜0，
综上 a＜0或．
23．（10分）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，分别取AC和AE的中点G、H，连接BG、MG、MH、DH，那么BD和BM的数量关系是 BD＝BM ；
（2）将图1中的△ABC绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）已知正方形ABCP的边长为2，正方形ADEQ的边长为10，现将正方形ABCP绕点A顺时针旋转，在整个旋转过程中，当C、P、E三点共线时，请直接写出BD的长．
【解答】解：（1）结论：．
理由：∵M为CE的中点，G、H分别为AC和AE的中点，
∴MH＝AC，MG＝AE，MH∥AC，MG∥AE，
∴∠MHE＝∠CAE，∠CGM＝∠CAE，
∴∠CGM＝∠MHE，
在等腰直角△ABC与等腰直角△ADE中，G、H分别为AC和AE的中点，
∴BG＝AC，DH＝AE，BG⊥AC，DH⊥AE，
∴MH＝BG，DH＝MG，∠MHD＝∠BGM，
在△MHD和△BGM中，
，
∴△MHD≌△BGM（SAS），
∴BM＝DM，
∵∠BAD＝45°+45°+∠CAE＝90°+∠CAE，∠MHD＝∠DHE+∠MHE＝90°+∠CAE，
∴∠BAD＝∠MHD，
又∵AB：MH＝AB：AG＝：1，AD：DH＝：1，
∴AB：MH＝AD：DH，
∴△BAD∽△MHD，
∴BD：DM＝AD：DH＝：1，BD：BM＝：1，
∴BD＝BM；
故答案为：BD＝BM；
（2）依然成立．取AC和AE的中点G，H，连接BG，MG，MH，DH．
∵M是EC的中点，
∴MH∥CA，MG∥AE，，．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且AB＝BC，AD＝DE．
∴，，BG⊥AC，DH⊥AE．
∴BG＝MH，MG＝DH．
∵MG∥AE，MH∥CA，
∴四边形MHAG是平行四边形，
∴∠MHA＝MGA，
∵BG⊥AC，DH⊥AE，
∴∠BGA＝DHA＝90°．
又∵∠MGB＝∠MGA+∠BGA，∠DHM＝∠DHA+∠MHA，
∴∠MGB＝∠DHM．
∵BG＝MH，MG＝DH，
∴△BGM≌△MHD（SAS）．
∴BM＝MD，∠GMB＝∠HDM．∠BMD＝∠AHD＝90°．
∵MB＝MD，
∴；
（3）分两种情况：①如图所示：取CE的中点M，连接BM、DM，连接AE，
由（1）得：BM＝DM，，
由勾股定理得：，
∴，
∴CE＝PE+PC＝16，
∴CM＝8，
∴，
∴；
②如图所示：取CE的中点M，连接BM、DM，连接AE，
由（1）得：BM＝DM，，
同①得：PE＝14，
∴CE＝12，
∴CM＝6，
∴；
∴；
综上所述，BD的长为或．
2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）在|﹣2|，，π，这四个数中最大的数是（ ）
A．|﹣2| B． C．π D．
2．（3分）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中周长最小的是（ ）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．三种一样
3．（3分）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣8米 B．5×10﹣9米 C．5×10﹣10米 D．5×10﹣11米
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣1）0＝﹣1 B．（﹣1）﹣1＝1
C． D．
5．（3分）如果一元二次方程2mx2+6x+3＝0有实数根，那么实数m的取值范围为（ ）
A．m＞1.5 B．m＜1.5且m≠0 C．m≤1.5 D．m≤1.5且m≠0
6．（3分）如图所示的是A、B、C三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC＝66°，则∠BPC等于（ ）
A．100° B．120° C．132° D．140°
7．（3分）如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径（0，0）→（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→⋅⋅⋅每次运动一个点，则运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为（ ）
A．45 B．946 C．990 D．103
8．（3分）如图，点E是菱形ABCD边上一动点，它沿A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，下列图象中能反映y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，点B为线段AC上一点，以AB和BC为边在线段AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE与BD交于点G，连接CD与BE相交于点H、与AE相交于点P，连接BP，（1）△ABE绕点B顺时针旋转60°与△DBC重合（2）△HBC绕点B逆时针旋转60°与△GBE重合（3）∠EPC＝60°（4）PC＝PE+PB（5）PB平分∠APC．以上结论错误的个数为（ ）个．
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（每小题3分，共l5分）
11．（3分）写出一个绝对值大于2且小于3的负无理数 ．
12．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．
13．（3分）已知三个不相等的正整数的平均数，中位数都是3，则这三个数分别为 ．
14．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，，以点C为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D，交BC于点E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点M、N分别是边AB，AD上的动点，且满足BM＝2AN，BN交CM于点E，在点M、N运动的过程中，AE的最小值为 ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（8分）我们在数学学习过程中，经常遇到这样的试题：“先化简，然后从不等式组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值”
（1）请你写出平时在解答这道数学题的过程中，需要用到哪些数学知识？（写出三个）
（2）请你写出在进行运算时容易出错的地方有哪些？（写出两个）
（3）的化简结果是 ；你选取的x的值为 ，代入结果为 ．
17．（9分）十九大给中原发展提供了新动力．小刚同学就本班学生对中原经济区知识的了解程度进行了一次调查统计，如图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）该班共有多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（3）若该校共有2000名学生，则对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是多少人？
（4）从该班中任选一人，其对中原经济区知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？
18．（9分）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD＝BE．
（1）求证：PA＝PB；
（2）若∠P＝40°，当∠EDF是多少度时，BD＝AF？请说明理由．
（3）若∠APB＝α，当α＝ 时，四边形DEPF为菱形．
19．（9分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A，B，点P在以点C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，OQ长的最大值为时．
（1）试确定反比例函数y＝的表达式．
（2）⊙C与x轴在点C的左侧交于点M，请直接写出劣弧MP的长是 ．（sin31°≈0.52，sin40°≈0.64，sin53°≈0.8）
20．（9分）在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372 km，此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，，，）
21．（10分）随着科学技术的日新月异，技术更新更是首当其冲，智能手机的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某手机商行经营的A款10英寸智能手机去年销售总额为10万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款10英寸智能手机每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款10英寸智能手机和新款B款10英寸智能手机共600台，且B款10英寸智能手机的进货数量不超过A款10英寸智能手机数量的两倍，应如何进货才能使这批智能手机获利最多？
A，B两款10英寸智能手机的进货和销售价格如下表：
A款10英寸智能手机
B款10英寸智能手机
进货价格（元）
1400
1500
销售价格（元）
今年的销售价格
1800
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 ．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
23．（10分）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，分别取AC和AE的中点G、H，连接BG、MG、MH、DH，那么BD和BM的数量关系是 ；
（2）将图1中的△ABC绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）已知正方形ABCP的边长为2，正方形ADEQ的边长为10，现将正方形ABCP绕点A顺时针旋转，在整个旋转过程中，当C、P、E三点共线时，请直接写出BD的长．
2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）在|﹣2|，，π，这四个数中最大的数是（ ）
A．|﹣2| B． C．π D．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，＝3，
π＞3＞2＞，
∴在|﹣2|，，π，这四个数中最大的数是π．
故选：C．
2．（3分）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中周长最小的是（ ）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．三种一样
【解答】解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，故三种视图周长最小的是左视图．
故选：B．
3．（3分）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣8米 B．5×10﹣9米 C．5×10﹣10米 D．5×10﹣11米
【解答】解：0.5纳米＝0.5×0.000000001米＝0.0000000005米＝5×10﹣10米．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣1）0＝﹣1 B．（﹣1）﹣1＝1
C． D．
【解答】解：A、（﹣1）0＝1，
故本选项不符合题意；
B、（﹣1）﹣1＝﹣1，
故本选项不符合题意；
C、2a﹣3＝，
故本选项不符合题意；
D、（﹣a3）÷（﹣a7）＝，
故本选项符合题意，
故选：D．
5．（3分）如果一元二次方程2mx2+6x+3＝0有实数根，那么实数m的取值范围为（ ）
A．m＞1.5 B．m＜1.5且m≠0 C．m≤1.5 D．m≤1.5且m≠0
【解答】解：由题意可知：Δ＝36﹣24m≥0，
∴m≤，
∵2m≠0，
∴m≠0，
∴m≤且m≠0，
故选：D．
6．（3分）如图所示的是A、B、C三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC＝66°，则∠BPC等于（ ）
A．100° B．120° C．132° D．140°
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，GH垂直平分BC，
所以点P为△ABC的外心，
所以∠BPC＝2∠BAC＝2×66°＝132°．
故选：C．
7．（3分）如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径（0，0）→（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→⋅⋅⋅每次运动一个点，则运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为（ ）
A．45 B．946 C．990 D．103
【解答】解：设当横坐标为n时，实心点最多运动的次数为an，
观察图形，可知：a1＝4，a3＝9，a6＝16，
∵1＝1，3＝1+2，6＝1+2+3，
∴＝（n+1）2．
令（n+1）2≤2017，
解得：n≤43．
当n＝43时，＝946，a946＝1936，
当n＝44时，＝990，a990＝2025．
∵1936+990﹣946﹣1＝1979，
1979＜2017＜2025，
∴运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为990．
故选：C．
8．（3分）如图，点E是菱形ABCD边上一动点，它沿A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，下列图象中能反映y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为点E在菱形ABCD上移动，所以可知菱形各顶点向对边作的高为定值，可设高的长为k
如图一，当点E在AB上移动时，将AE作为△ADE底边，则有S△ADE＝•AE•k
随着点E移动，AE的长在增大，三角形的面积也是在增大的，y与x满足正比例函数关系；
如图二，当点E在BC上移动时，将AD作为底边，则有S△ADE＝•AD•k
点E的移动不会带来AD长度的变化，所以此时三角形面积为定值；
如图三，当点E在CD上移动时，将DE作为△ADE底边，则有S△ADE＝•DE•k
随着点E移动，DE的长在减少，三角形的面积也是在减少的，y与x满足正比例函数关系．
故选：A．
9．（3分）在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．
则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
故选：C．
10．（3分）如图，点B为线段AC上一点，以AB和BC为边在线段AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE与BD交于点G，连接CD与BE相交于点H、与AE相交于点P，连接BP，（1）△ABE绕点B顺时针旋转60°与△DBC重合（2）△HBC绕点B逆时针旋转60°与△GBE重合（3）∠EPC＝60°（4）PC＝PE+PB（5）PB平分∠APC．以上结论错误的个数为（ ）个．
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴AD＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD＝180°﹣60°＝120°，
在△ABE与△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴△ABE绕点B顺时针旋转60°与△DBC重合，故（1）不合题意；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BCD＝∠BEA，
又∵∠GBE＝∠CBH＝60°，BC＝BE，
∴△BCH≌△BEG（ASA），
∴△HBC绕点B逆时针旋转60°与△GBE重合，故（2）不合题意；
∵∠BCD＝∠BEA，
∴B、C、E、P四点共圆，
∴∠EPC＝∠EBC＝60°，∠BPC＝∠BEC＝60°，故（3）不合题意；
∴∠APB＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠BPC，
∴BP平分∠APC，故（5）不合题意；
如图，在PC上截取PF＝PE，连接EF，
∵∠CPE＝60°，PE＝PF，
∴△PEF是等边三角形，
∴EF＝PE＝PF，∠FEP＝∠EFP＝∠EPF＝60°＝∠BEC，
∴∠BEP＝∠CEF，∠BPE＝∠EFC＝120°，
又∵BE＝EC，
∴△BPE≌△CFE（AAS），
∴CF＝BP，
∴PC＝PF+CF＝PB+PE，故（4）不合题意；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共l5分）
11．（3分）写出一个绝对值大于2且小于3的负无理数 ﹣1﹣（答案不唯一） ．
【解答】解：绝对值大于2且小于3的负无理数有﹣1﹣，
故答案为：﹣1﹣（答案不唯一）．
12．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是 ①②④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．
【解答】解：*＝（）2﹣×＝2﹣，①正确；
若a+b＝0，则a＝﹣b，
∴a*b＝a2﹣ab＝b2﹣ba＝b*a，②正确；
（x+2）*（x+1）＝（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝x+2，③错误；
（x+3）*1＝（x+3）2﹣（x+3）＝x2+5x+6，
∴（x+3）*1＝1即为方程x2+5x+6＝1，化简得x2+5x+5＝0，
解得x1＝，x2＝，④正确．
故答案为：①②④
13．（3分）已知三个不相等的正整数的平均数，中位数都是3，则这三个数分别为 1，3，5或2，3，4 ．
【解答】解：因为这三个不相等的正整数的中位数是3，
设这三个正整数为a，3，b（a＜3＜b）；
其平均数是3，有（a+b+3）＝3，即a+b＝6．
且ab为正整数，故a可取1，2，分别求得b的值为5，4．
故这三个数分别为1，3，5或2，3，4．
故填1，3，5或2，3，4．
14．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，，以点C为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D，交BC于点E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接GC，GE，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，
∴AC＝BC•tan30°＝2，∠A＝60°，
∴AB＝2AC＝4，
∵CG＝CE＝EG＝CA＝2，AC＝CD＝2，
∴△ECG≌△ACD，且△ECG和△ACD都是等边三角形，
∴∠GCE＝∠ACD＝60°，
∴∠ACG＝∠GCD＝∠DCB＝30°，
∴S阴＝S扇形GCD+（S扇形CEG﹣S△CEG）+S△ABC﹣S扇形DCE﹣S△ACD
＝S扇形GCD+S扇形CEG﹣S△CEG+S△ABC﹣S扇形DCE﹣S△ACD
＝S扇形CEG﹣2S△CEG+S△ABC
＝﹣2××2×+×2×2
＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点M、N分别是边AB，AD上的动点，且满足BM＝2AN，BN交CM于点E，在点M、N运动的过程中，AE的最小值为 2﹣2 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAN＝∠MBC＝90°，
∴∠CBE+∠ABN＝∠ABN+∠ANB＝90°，
∵BC＝2AB＝4，BM＝2AN，
∴＝，
∴△ABN∽△BCM，
∴∠ABN＝∠BCM，
∵∠ABN+∠CBE＝90°，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴点E在以BC为直径的圆上运动，
设BC的中点为O，连接AO，
当A，E，O三点在一条直线上时，AE的值最小，
∵AO＝＝＝2，OE＝BC＝2，
∴AE＝AO﹣OE＝2﹣2，
故AE的最小值为 2﹣2．
故答案为：2﹣2．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（8分）我们在数学学习过程中，经常遇到这样的试题：“先化简，然后从不等式组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值”
（1）请你写出平时在解答这道数学题的过程中，需要用到哪些数学知识？（写出三个）
（2）请你写出在进行运算时容易出错的地方有哪些？（写出两个）
（3）的化简结果是 x+5 ；你选取的x的值为 1 ，代入结果为 6 ．
【解答】解：（1）在解答这道数学题的过程中，用到的数学知识有：因式分解、分式的加减运算法则、分式的约分、不等式组的解法等；
（2）进行计算时容易出错的地方为：通分时括号中第二项的变形容易出现错误；代入时把x＝5代入计算等；
（3）原式＝（+）•
＝•
＝x+5；
不等式组，
解得：﹣5≤x＜6，
当x＝1时，原式＝1+5＝6．
故答案为：x+5；1；6．
17．（9分）十九大给中原发展提供了新动力．小刚同学就本班学生对中原经济区知识的了解程度进行了一次调查统计，如图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）该班共有多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（3）若该校共有2000名学生，则对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是多少人？
（4）从该班中任选一人，其对中原经济区知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？
【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），
“一般了解”的学生有：50×30%＝15（名），
“熟悉”的学生有：50﹣5﹣15﹣20＝10（名），
故该班共有50名学生．
如图所示：
（2）．
故“了解较多”部分所对应的圆心角的度数为144°；
（3）（人）．
故对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是200人；
（4）．
故该班任选一人对中原经济区知识的了解程度为“熟悉”的概率为．
18．（9分）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD＝BE．
（1）求证：PA＝PB；
（2）若∠P＝40°，当∠EDF是多少度时，BD＝AF？请说明理由．
（3）若∠APB＝α，当α＝ 60° 时，四边形DEPF为菱形．
【解答】（1）证明：∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB；
（2）解：当∠EDF＝70°时，BD＝AF，
理由：∵PA＝PB，∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝＝70°，
∴∠PAB＝∠EDF，
∵∠BDF是△ADF的外角，
∴∠BDF＝∠PAB+∠AFD，即∠BDE+∠EDF＝∠PAB+∠AFD，
∴∠BDE＝∠AFD，
在△AFD和△BDE中，
，
∴△AFD≌△BDE（AAS），
∴BD＝AF；
（3）如图，
∵四边形DEPF是菱形，∠APB＝α，
∴DF∥BP，DE∥AP，DE＝DF，∠EDF＝∠APB＝α，
∴∠AFD＝∠APB＝α，∠BED＝∠APB＝α，
∴∠AFD＝∠BED，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
在△AFD和△BED中，
，
∴△AFD≌△BED（AAS），
∴AD＝BD，∠ADF＝∠BDE，
∵AD＝BE，
∴BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝α，
∴∠ADF＝∠BDE＝α，
∵∠ADF+∠FDE+∠BDE＝180°，
∴α+α+α＝180°，
∴α＝60°，
∴当α＝60°时，四边形DEPF为菱形，
故答案为：60°．
19．（9分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A，B，点P在以点C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，OQ长的最大值为时．
（1）试确定反比例函数y＝的表达式．
（2）⊙C与x轴在点C的左侧交于点M，请直接写出劣弧MP的长是 ．（sin31°≈0.52，sin40°≈0.64，sin53°≈0.8）
【解答】解：（1）如图，连接BP，过点B作BD⊥x轴于D，
由题意可知，点O是AB的中点，
又∵点Q是PA的中点，
∴QO是△PBA的中位线，
由题意，如图，当BP过点C时，BP的长有最大值，
即QO的长也取得最大值，
∵PB＝2QO＝3，
∴BC＝PB﹣PC＝3﹣1＝2，
已知点C （﹣2，0），可设点B （t，2t），
根据两点之间的距离公式可得：BC＝＝2，
解得：t＝﹣，
∴B （﹣，﹣），
代入y＝中，
解得k＝，
∴y＝；
（2）在Rt△BCD中，BD＝，BC＝2，
∴sin∠BCD＝＝＝0.8，
∴∠BCD≈53°，
∴劣弧MP的长度＝＝．
故答案为：．
20．（9分）在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372 km，此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：，，，）
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
由题意得，∠ACB＝58°﹣28°＝30°，∠ABC＝28°+25°＝53°，BC＝372km，
设AD＝xkm，
在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝53°，
∴BD＝≈＝，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝30°，
∴CD＝＝＝，
∵BC＝BD+CD，
∴，
解得x≈150，
即AD＝150km，
∴AC＝2AD＝300km，
∵300÷30＝10（h），
∴我方军舰大约需要10h到达C岛．
21．（10分）随着科学技术的日新月异，技术更新更是首当其冲，智能手机的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某手机商行经营的A款10英寸智能手机去年销售总额为10万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款10英寸智能手机每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款10英寸智能手机和新款B款10英寸智能手机共600台，且B款10英寸智能手机的进货数量不超过A款10英寸智能手机数量的两倍，应如何进货才能使这批智能手机获利最多？
A，B两款10英寸智能手机的进货和销售价格如下表：
A款10英寸智能手机
B款10英寸智能手机
进货价格（元）
1400
1500
销售价格（元）
今年的销售价格
1800
【解答】解：（1）设今年每台手机售价x元，由题意得，
解得：x＝1600．
检验：当x＝1600时，是分式方程的解．
答：今年A款10英寸智能手机每台售价是1600元；
（2）设进A款手机a台，B款为（600﹣a）台，总获利为W元．
由题意，W＝（1600﹣1400）a+（600﹣a）（1800﹣1500），
W＝﹣100a+180000，﹣100＜0，
∴当a＝200时获利最大，此时600﹣a＝400，
∵600﹣a≤2a，a≥200，
∴A款手机进200台，B款手机进400台获利最多．
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1 ．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入①得：1＝4a+2+c，
∴a＝，
∴顶点的纵坐标，
∵c＞﹣1，
∴c+1＞0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥，
∵，
∴a+b，当a＝b时取等号，
∴＝1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1．
解法二：∵a＜0，抛物线开口向下，抛物线顶点纵坐标就是抛物线最高点，抛物线又必过（﹣2，1），
∴顶点纵坐标不可能比1小．
∴1就是顶点纵坐标最小值．
（3）方法一、由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣1﹣4a，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
Δ＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
若﹣1＜m＜2，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，且，
解得a＜0，
∴a＜0，
若2＜m＜3，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，且＜3，
解得a，
方法二、由题意可得：或，
解得：a＞或a＜0，
综上 a＜0或．
23．（10分）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，分别取AC和AE的中点G、H，连接BG、MG、MH、DH，那么BD和BM的数量关系是 BD＝BM ；
（2）将图1中的△ABC绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）已知正方形ABCP的边长为2，正方形ADEQ的边长为10，现将正方形ABCP绕点A顺时针旋转，在整个旋转过程中，当C、P、E三点共线时，请直接写出BD的长．
【解答】解：（1）结论：．
理由：∵M为CE的中点，G、H分别为AC和AE的中点，
∴MH＝AC，MG＝AE，MH∥AC，MG∥AE，
∴∠MHE＝∠CAE，∠CGM＝∠CAE，
∴∠CGM＝∠MHE，
在等腰直角△ABC与等腰直角△ADE中，G、H分别为AC和AE的中点，
∴BG＝AC，DH＝AE，BG⊥AC，DH⊥AE，
∴MH＝BG，DH＝MG，∠MHD＝∠BGM，
在△MHD和△BGM中，
，
∴△MHD≌△BGM（SAS），
∴BM＝DM，
∵∠BAD＝45°+45°+∠CAE＝90°+∠CAE，∠MHD＝∠DHE+∠MHE＝90°+∠CAE，
∴∠BAD＝∠MHD，
又∵AB：MH＝AB：AG＝：1，AD：DH＝：1，
∴AB：MH＝AD：DH，
∴△BAD∽△MHD，
∴BD：DM＝AD：DH＝：1，BD：BM＝：1，
∴BD＝BM；
故答案为：BD＝BM；
（2）依然成立．取AC和AE的中点G，H，连接BG，MG，MH，DH．
∵M是EC的中点，
∴MH∥CA，MG∥AE，，．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且AB＝BC，AD＝DE．
∴，，BG⊥AC，DH⊥AE．
∴BG＝MH，MG＝DH．
∵MG∥AE，MH∥CA，
∴四边形MHAG是平行四边形，
∴∠MHA＝MGA，
∵BG⊥AC，DH⊥AE，
∴∠BGA＝DHA＝90°．
又∵∠MGB＝∠MGA+∠BGA，∠DHM＝∠DHA+∠MHA，
∴∠MGB＝∠DHM．
∵BG＝MH，MG＝DH，
∴△BGM≌△MHD（SAS）．
∴BM＝MD，∠GMB＝∠HDM．∠BMD＝∠AHD＝90°．
∵MB＝MD，
∴；
（3）分两种情况：①如图所示：取CE的中点M，连接BM、DM，连接AE，
由（1）得：BM＝DM，，
由勾股定理得：，
∴，
∴CE＝PE+PC＝16，
∴CM＝8，
∴，
∴；
②如图所示：取CE的中点M，连接BM、DM，连接AE，
由（1）得：BM＝DM，，
同①得：PE＝14，
∴CE＝12，
∴CM＝6，
∴；
∴；
综上所述，BD的长为或．
相关试卷
2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷附解析： 这是一份2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷附解析，共29页。
2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷附解析： 这是一份2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷附解析，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省实验中学中考数学一模试卷附解析： 这是一份2023年河南省实验中学中考数学一模试卷附解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
