2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷(含答案解析)

这是一份2023年河南省驻马店市遂平县中考数学一模试卷(含答案解析)，共23页。试卷主要包含了5×10−8米B， 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. |−2|B. 327C. πD. 2
2. 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中周长最小的是( )
A. 主视图
B. 左视图
C. 俯视图
D. 三种一样
3. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为( )
A. 0.5×10−8米B. 5×10−9米C. 5×10−10米D. 5×10−11米
4. 下列计算正确的是( )
A. (−1)0=−1B. (−1)−1=1
C. 2a−3=12a3D. (−a3)÷(−a)7=1a4
5. 如果一元二次方程2mx2+6x+3=0有实数根，那么实数m的取值范围为( )
A. m>1.5B. m<1.5且m≠0C. m≤1.5D. m≤1.5且m≠0
6. 如图所示的是A、B、C、D三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC=66∘，则∠BPC等于( )
A. 100∘B. 120∘
C. 132∘D. 140∘
7. 如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径(0,0)→(0,1)→(1,0)→(1,1)→(1,2)→⋅⋅⋅每次运动一个点，则运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为( )
A. 45B. 946C. 990D. 103
8. 如图，点E是菱形ABCD边上一动点，它沿A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，下列图象中能反映y与x函数关系的是( )
A. B.
C. D.
9. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
10. 如图，点B为线段AC上一点，以AB和BC为边在线段AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE与BD交于点G，连接CD与BE相交于点H、与AE相交于点P，连接BP，(1)△ABE绕点B顺时针旋转60∘与△DBC重合(2)△HBC绕点B逆时针旋转60∘与△GBE重合(3)∠EPC=60∘(4)PC=PE+PB(5)PB平分∠APC.以上结论错误的个数为个.( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
11. 写出一个绝对值大于2且小于3的负无理数______.
12. 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b=a2−ab.根据这个法则，下列结论中正确的是__________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)
① 2* 3=2− 6；
②若a+b=0，则a*b=b*a；
③(x+2)*(x+1)=0是一元二次方程；
④方程(x+3)*1=1的根是x1=−5+ 52，x2=−5− 52.
13. 已知三个不相等的正整数的平均数，中位数都是3，则这三个数分别为______.
14. 如图在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，BC=2 3，以点C为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D，交BC于点E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为______ .
15. 如图，矩形ABCD中，BC=2AB=4，点M、N分别是边AB，AD上的动点，且满足BM=2AN，BN交CM于点E，在点M、N运动的过程中，AE的最小值为______ .
16. 我们在数学学习过程中，经常遇到这样的试题：“先化简(xx−5−x5−x)÷2xx2−25，然后从不等式组−x−2≤32x<12的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值”
(1)请你写出平时在解答这道数学题的过程中，需要用到哪些数学知识？(写出三个)
(2)请你写出在进行运算时容易出错的地方有哪些？(写出两个)
(3)(xx−5−x5−x)÷2xx2−25的化简结果是______；你选取的x的值为______，代入结果为______.
17. 十九大给中原发展提供了新动力.小刚同学就本班学生对中原经济区知识的了解程度进行了一次调查统计，如图为其收集数据后绘制的两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答以下问题：
(1)该班共有多少名学生？并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
(3)若该校共有2000名学生，则对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是多少人？
(4)从该班中任选一人，其对中原经济区知识的了解程度应为“熟悉”的概率是多少？
18. 如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD=BE.
(1)求证：PA=PB；
(2)若∠P=40∘，当∠EDF是多少度时，BD=AF？请说明理由．
(3)若∠APB=α，当α=______时，四边形DEPF为菱形．
19. 如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于点A，B，点P在以点C(−2,0)为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，OQ长的最大值为32时．
(1)试确定反比例函数y=kx的表达式．
(2)⊙C与x轴在点C的左侧交于点M，请直接写出劣弧MP的长是______.(sin31∘≈0.52,sin40∘≈0.64,sin53∘≈0.8)
20. 在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰位于B市的南偏东25∘方向上的A处，且在C岛的北偏东58∘方向上，B市在C岛的北偏东28∘方向上，且距离C岛372 km，此时，我方军舰沿着AC方向以30km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？(参考数据： 3≈1.73，sin53∘≈45，cs53∘≈35，tan53∘≈43)
21. 随着科学技术的日新月异，技术更新更是首当其冲，智能手机的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某手机商行经营的A款10英寸智能手机去年销售总额为10万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.
(1)今年A款10英寸智能手机每台售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该电器商行计划新进一批A款10英寸智能手机和新款B款10英寸智能手机共600台，且B款10英寸智能手机的进货数量不超过A款10英寸智能手机数量的两倍，应如何进货才能使这批智能手机获利最多？
A，B两款10英寸智能手机的进货和销售价格如下表：
22. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(−2,1)，(2,−3)两点.
(1)求b的值；
(2)当c>−1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是______ .
(3)设(m,0)是该函数的图象与x轴的一个公共点.当−123. 已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM.
(1)如图1，分别取AC和AE的中点G、H，连接BG、MG、MH、DH，那么BD和BM的数量关系是______ ；
(2)将图1中的△ABC绕点A旋转到图2的位置时，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)已知正方形ABCP的边长为2，正方形ADEQ的边长为10，现将正方形ABCP绕点A顺时针旋转，在整个旋转过程中，当C、P、E三点共线时，请直接写出BD的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵|−2|=2，327=3，
π>3>2> 2，
∴在|−2|，327，π， 2这四个数中最大的数是π.
故选：C.
先化简，再根据实数的大小比较方法进行比较即可求解．
此题考查了实数的大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】B
【解析】解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，故三种视图周长最小的是左视图．
故选：B.
如图可知该几何体的正视图由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，易得解．
本题考查了几何体的三视图，正确从指定角度观察是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.5纳米=0.5×0.000000001米=0.0000000005米=5×10−10米．
故选：C.
0.5纳米=0.5×0.000000001米=0.0000000005米．小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，在本题中a为5，n为5前面0的个数．
此题考查的是科学记数法-表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．注意应先把0.5纳米转化为用米表示的数．
4.【答案】D
【解析】解：A、(−1)0=1，
故本选项不符合题意；
B、(−1)−1=−1，
故本选项不符合题意；
C、2a−3=2a3，
故本选项不符合题意；
D、(−a3)÷(−a7)=1a4，
故本选项符合题意，
故选：D.
根据零指数幂、负指数幂、同底数幂除法进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了整式的除法，掌握零指数幂、负指数幂、同底数幂除法是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可知：△=36−24m≥0，
∴m≤32，
∵2m≠0，
∴m≠0，
∴m≤32且m≠0，
故选：D.
根据判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
6.【答案】C
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，GH垂直平分BC，
所以点P为△ABC的外心，
所以∠BPC=2∠BAC=2×66∘=132∘.
故选C.
根据基本作图可判断MN垂直平分AB，GH垂直平分BC，则点P为△ABC的外心，然后根据圆周角定理可得到∠BPC=2∠BAC.
本题考查了作图-复杂作图：杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
7.【答案】C
【解析】解：设当横坐标为n时，实心点最多运动的次数为an，
观察图形，可知：a1=4，a3=9，a6=16，
∵1=1，3=1+2，6=1+2+3，
∴an(n+1)2=(n+1)2.
令(n+1)2≤2017，
解得：n≤43.
当n=43时，n(n+1)2=946，a946=1936，
当n=44时，n(n+1)2=990，a990=2025.
∵1936+990−946−1=1979，
1979<2017<2025，
∴运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为990.
故选：C.
设当横坐标为n时，实心点最多运动的次数为an，考虑多点横坐标相同的情况，观察图形可知这些点的横坐标分别为：1、1+2、1+2+3、…，数出最多运动的次数，根据数据的变化即可得出an(n+1)2=(n+1)2，解(n+1)2≤2017可得出n≤43，找出当n=43、44时，横坐标的值以及an的值，将其与2017进行比较即可得出结论．
本题考查了规律型中点的坐标，观察图形结合实心点的运动，找出“an(n+1)2=(n+1)2”是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：因为点E在菱形ABCD上移动，所以可知菱形各顶点向对边作的高为定值，可设高的长为k
如图一，当点E在AB上移动时，将AD作为△ADE底边，则有S△ADE=12⋅AD⋅k
随着点E移动，AE的长在增大，三角形的面积也是在增大的，y与x满足正比例函数关系；
如图二，当点E在BC上移动时，将AD作为底边，则有S△ADE=12⋅AD⋅k

点E的移动不会带来AD到BC距离的变化，所以此时三角形面积为定值；
如图三，当点E在BC上移动时，将AD作为△ADE底边，则有S△ADE=12⋅AD⋅k

随着点E移动，DE的长在减少，三角形的面积也是在减少的，y与x满足正比例函数关系．
所以应该选A.
考虑△ADE的面积变化就是要考虑当点E运动时，△ADE的底边及高的变化情况．因为点E是沿着菱形的四边运动，结合菱形性质可以知道△ADE的高都是不变的，只需要考虑底边的变化就可以了．点E在AB上移动时，底边是不断增大的；点E在BC上移动时，用AD做底边，则点的移动不会带来面积的变化；点E在CD上移动时，底边是在减少的，结合三角形面积计算公式可以得出变化趋势即得出解答．
此题主要考查了动点带来的面积变化问题，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是明确变化过程中△ADE的高是定值，学会在运动变化过程中找不变量是解决动点问题的一个核心思路．
9.【答案】C
【解析】解：因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．
则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
故选：C.
露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
本题考查函数值随时间的变化问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴AD=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60∘，
∴∠ABE=∠CBD=180∘−60∘=120∘，
在△ABE与△DBC中，
AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC，
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴△ABE绕点B顺时针旋转60∘与△DBC重合，故(1)不合题意；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BCD=∠BEA，
又∵∠GBE=∠CBH=60∘，BC=BE，
∴△BCH≌△BEG(ASA)，
∴△HBC绕点B逆时针旋转60∘与△GBE重合，故(2)不合题意；
∵∠BCD=∠BEA，
∴B、C、E、P四点共圆，
∴∠EPC=∠EBC=60∘，∠BPC=∠BEC=60∘，故(3)不合题意；
∴∠APB=180∘−60∘−60∘=60∘=∠BPC，
∴BP平分∠APC，故(5)不合题意；
如图，在PC上截取PF=PE，连接EF，
∵∠CPE=60∘，PE=PF，
∴△PEF是等边三角形，
∴EF=PE=PF，∠FEP=∠EFP=∠EPF=60∘=∠BEC，
∴∠BEP=∠CEF，∠BPE=∠EFC=120∘，
又∵BE=EC，
∴△BPE≌△CFE(AAS)，
∴CF=BP，
∴PC=PF+CF=PB+PE，故(4)不合题意；
故选：D.
由“SAS”可证△ABE≌△DBC，可判断(1)，由“ASA”可证△BCH≌△BEG，可判断(2)，通过证明B、C、E、P四点共圆，可得∠EPC=∠EBC=60∘，∠BPC=∠BEC=60∘=∠APB，可判断(3)(5)，由“AAS”可证△BPE≌△CFE可得CF=BP，由线段和差关系可得PC=PB+PE，可判断(4)即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的有关知识，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】−1− 2(答案不唯一)
【解析】解：绝对值大于2且小于3的负无理数有−1− 2，
故答案为：−1− 2(答案不唯一).
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要根据无理数的意义和实数的大小比较得出答案即可．
本题考查了无理数，负数和实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
12.【答案】①②④
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的应用，实数的运算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新定义解决问题，属于中考常考题型．
根据运算法则为a*b=a2−ab，一一判断即可；
【解答】
解： 2* 3=( 2)2− 2× 3=2− 6，①正确；
若a+b=0，则a=−b，
∴a*b=a2−ab=b2−ba=b*a，②正确；
(x+2)*(x+1)=(x+2)2−(x+2)(x+1)=x+2，③错误；
(x+3)*1=(x+3)2−(x+3)=x2+5x+6，
∴(x+3)*1=1即为方程x2+5x+6=1，化简得x2+5x+5=0，
解得x1=−5+ 52，x2=−5− 52，④正确．
故答案为：①②④.
13.【答案】1，3，5或2，3，4
【解析】
【分析】
本题考查平均数和中位数．
一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大(或按从大到小)的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
平均数的求法x−=x1+x2+⋯+xnn.
根据平均数和中位数的定义，结合正整数的概念求出这三个数．
【解答】
解：因为这三个不相等的正整数的中位数是3，
设这三个正整数为a，3，b(a<3其平均数是3，有13(a+b+3)=3，即a+b=6.
且a b为正整数，故a可取1，2，分别求得b的值为5，4.
故这三个数分别为1，3，5或2，3，4.
故填1，3，5或2，3，4.
14.【答案】2π3
【解析】解：如图，连接GC，GE，
在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，BC=2 3，
∴AC=BC⋅tan30∘=2，∠A=60∘，
∴AB=2AC=4，
∵CG=CE=EG=CA=2，AC=CD=2，
∴△ECG≌△ACD，且△ECG和△ACD都是等边三角形，
∴∠GCE=∠ACD=60∘，
∴∠ACG=∠GCD=∠DCB=30∘，
∴S阴=S扇形GCD+(S扇形CEG−S△CEG)+S△ABC−S扇形DCE−S△ACD
=S扇形GCD+S扇形CEG−S△CEG+S△ABC−S扇形DCE−S△ACD
=S扇形CEG−2S△CEG+S△ABC
=60π×22360−2×12×2× 3+12×2 3×2
=2π3.
故答案为：2π3.
如图，连接CG，GE，根据S阴=S扇形GCD+(S扇形CEG−S△CEG)+S△ABC−S扇形DCE−S△ACD，求解即可．
本题考查扇形的面积公式，含30度角的直角三角形，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
15.【答案】2 2−2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAN=∠MBC=90∘，
∴∠CBE+∠ABN=∠ABN+∠ANB=90∘，
∵BC=2AB=4，BM=2AN，
∴ABBC=ANBM=12，
∴△ABN∽△BCM，
∴∠ABN=∠BCM，
∵∠ABN+∠CBE=90∘，
∴∠CBE+∠BCE=90∘，
∴∠BEC=90∘，
∴点E在以BC为直径的圆上运动，
设BC的中点为O，连接AO，
当A，E，O三点在一条直线上时，AE的值最小，
∵AO= AB2+BO2= 22+22=2 2，OE=12BC=2，
∴AE=AO−OE=2 2−2，
故AE的最小值为2 2−2.
故答案为：2 2−2.
根据矩形的性质得到∠BAN=∠MBC=90∘，根据相似三角形的性质得到∠ABN=∠BCM，求得∠BEC=90∘，推出点E在以BC为直径的圆上运动，设BC的中点为O，连接AO，当A，E，O三点在一条直线上时，AE的值最小，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质定理是解题的关键．
16.【答案】x+516
【解析】解：(1)在解答这道数学题的过程中，用到的数学知识有：因式分解、分式的加减运算法则、分式的约分、不等式组的解法等；
(2)进行计算时容易出错的地方为：通分时括号中第二项的变形容易出现错误；代入时把x=5代入计算等；
(3)原式=(xx−5+xx−5)⋅(x+5)(x−5)2x
=2xx−5⋅(x+5)(x−5)2x
=x+5；
当x=1时，原式=1+5=6.
故答案为：x+5；1；6.
(1)分析解答这道数学题时用到的数学知识即可；
(2)通分时变形容易出错；代值时计算容易出错；
(3)原式括号中第二项变形后，利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)5÷10%=50(人)，
“一般了解”的学生有：50×30%=15(名)，
“熟悉”的学生有：50−5−15−20=10(名)，
故该班共有50名学生．
如图所示：
(2)360∘×2050=144∘.
故“了解较多”部分所对应的圆心角的度数为144∘；
(3)2000×550=200(人).
故对中原经济区知识的了解程度应为“不了解”的同学大约是200人；
(4)P(熟悉)=50−5−15−2050=15.
故该班任选一人对中原经济区知识的了解程度为“熟悉”的概率为15.
【解析】(1)用A的频数除以其所占的百分数即可得到总人数，进一步得到“一般了解”的学生人数，“熟悉”的学生人数，再补全条形统计图；
(2)先求出“了解较多”部分所占的分率，再结合圆周角解决问题；
(3)根据用样本估计总体列出算式计算即可求解；
(4)用熟悉的人数除以总人数即可得到熟悉的概率．
本题考查了条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体及概率的知识，解决本题的关键是从两种统计图中整理出解题的有关信息．
18.【答案】60∘
【解析】(1)证明：∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB；
(2)解：当∠EDF=70∘时，BD=AF，
理由：∵PA=PB，∠P=40∘，
∴∠PAB=∠PBA=180∘−∠P2=70∘，
∴∠PAB=∠EDF，
∵∠BDF是△ADF的外角，
∴∠BDF=∠PAB+∠AFD，即∠BDE+∠EDF=∠PAB+∠AFD，
∴∠BDE=∠AFD，
在△AFD和△BDE中，
∠AFD=∠BDE∠PAB=∠PBAAD=BE，
∴△AFD≌△BDE(AAS)，
∴BD=AF；
(3)如图，
∵四边形DEPF是菱形，∠APB=α，
∴DF//BP，DE//AP，DE=DF，∠EDF=∠APB=α，
∴∠AFD=∠APB=α，∠BED=∠APB=α，
∴∠AFD=∠BED，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
在△AFD和△BED中，
∠PAB=∠PBA∠AFD=∠BEDDF=DE，
∴△AFD≌△BED(AAS)，
∴AD=BD，∠ADF=∠BDE，
∵AD=BE，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=α，
∴∠ADF=∠BDE=α，
∵∠ADF+∠FDE+∠BDE=180∘，
∴α+α+α=180∘，
∴α=60∘，
∴当α=60∘时，四边形DEPF为菱形，
故答案为：60∘.
(1)利用圆的切线长定理即可证明；
(2)当∠EDF=70∘时，由等腰三角形的性质得出∠PAB=∠PBA=180∘−∠P2=70∘，进而得出∠PAB=∠EDF，由“一线三等角”证明△AFD≌△BDE，即可证明BD=AF；
(3)由菱形的性质得出DF//BP，DE//AP，DE=DF，∠EDF=∠APB=α，进而得出∠AFD=∠APB=α，∠BED=∠APB=α，得出∠AFD=∠BED，证明△AFD≌△BED，得出AD=BD，∠ADF=∠BDE，由AD=BE，得出BD=BE，进而得出∠ADF=∠BDE=α，由平角的定义得出α+α+α=180∘，解方程求出α的值即可．
本题考查了圆的综合应用，掌握切线长定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质等知识是解决问题的关键．
19.【答案】53π180
【解析】解：(1)如图，连接BP，过点B作BD⊥x轴于D，
由题意可知，点0是AB的中点，
又∵点Q是PA的中点，
∴QO是△PBA的中位线，
由题意，如图，当BP过点C时，BP的长有最大值，
即QO的长也取得最大值，
∵PB=2QO=3，
∴BC=PB−PC=3−1=2，
已知点C(−2,0)，可设点B(t,2t)，
根据两点之间的距离公式可得：BC= (−2−t)2+(0−2t)2=2，
解得：t=−45，
∴B(−45,−85)，
代入y=kx中，
解得k=3225，
∴y=3225x；
(2)在Rt△BCD中，BD=85，BC=2，
∴sin∠BCD=BDBC=852=0.8，
∴∠BCD≈53∘，
∴劣弧MP的长度=53∘×π×1180∘=53π180.
故答案为：53π180.
(1)连接BP，过点B作BD⊥x轴于D，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=12BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知，当BP过圆心C时，BP最长，因为点B在y=2x直线上，所以可以设点B(t,2t)，再根据两点之间的距离公式可求出点B的坐标，利用待定系数法即可确定反比例函数的表达式；
(2)要确定劣弧MP的长度，可以使用要确定劣弧MP所对的圆心角的度数，因为∠MCP和∠BCD对顶角相等，所以可以通过在Rt△BCD中算出∠BCD的度数，再利用弧长公式进行计算．
本题考查了反比例函数综合题，掌握当BP过点C时，BP的长有最大值，即QO的长也取得最大值是解题的关键．
20.【答案】解：过点A作AD⊥BC于D，
由题意得，∠ACB=58∘−28∘=30∘，∠ABC=28∘+25∘=53∘，BC=372km，
设AD=xkm，
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=53∘，
∴BD=ADtan53∘≈x43=34xkm，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30∘，
∴CD=ADtan30∘=x 33= 3xkm，
∵BC=BD+CD，
∴34x+ 3x=372，
解得x≈150，
即AD=150km，
∴AC=2AD=300km，
∵300÷30=10(h)，
∴我方军舰大约需要10h到达C岛．
【解析】过点A作AD⊥BC于D，设AD=xkm，在Rt△ABD中，可得BD=ADtan53∘≈34xkm，在Rt△ACD中，可得CD=ADtan30∘= 3xkm，即可列方程34x+ 3x=372，求出x的值，即可求得AC的值，再根据时间=路程÷速度即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)设今年每台手机售价x元，由题意得100000x+400=100000(1−20%)x，
解得：x=1600.
检验：当x=1600时，是分式方程的解．
答：今年A款10英寸智能手机每台售价是1600元；
(2)设进A款手机a台，B款为(600−a)台，总获利为W元．
由题意，W=(1600−1400)a+(600−a)(1800−1500)，
W=−100a+180000，−100<0，
∴当a=200时获利最大，此时600−a=400，
∵600−a≤2a，a≥200，
∴A款手机进200台，B款手机进400台获利最多．
【解析】(1)设今年A款40英寸智能电视每台售价x元，则去年售价每台为(x+400)元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
(2)设今年新进A款40英寸智能电视a台，则B款40英寸智能电视(60−a)台，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
22.【答案】解：(1)把(−2,1)，(2,−3)代入y=ax2+bx+c中，
得：{1=4a−2b+c①−3=4a+2b+c②，
两式相减得−4=4b，
∴b=−1；
(2)把b=−1代入①得：1=4a+2+c，
∴a=−1−c4，
∴顶点的纵坐标4ac−b24a=c+1c+1=c+1+1c+1−1，
∵c>−1，
∴c+1>0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥2 ab，
∵( a− b)2=a+b−2 ab≥0，
∴a+b≥2 ab，当a=b时取等号，
∴c+1+1c+1−1≥2 (c+1)⋅1c+1−1=1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1.
(3)a<0或a>45.
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案
(3)由题意得：am2−m+c=0，
且c=−1−4a，
∴am2−m−1−4a=0，
Δ=1−4a(−1−4a)=1+4a+16a2，
当a>0时，
若−1则当x=−1时，y=a+1−1−4a>0，解得a<0，不符合题意;
若2≤m<3时，
则当x=3时，y=9a−3−1−4a=5a−4>0，解得a>45.
当a<0时，
若−1则当x=−1时，y=a+1−1−4a<0，解得a>0，不符合题意;
若2≤m<3时，
则当x=3时，y=9a−3−1−4a=5a−4<0，解得a<45.
则a<0.
综上：a<0或a>45.
(1)把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；
(2)把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值；
(3)根据题意m是ax2+bx+c的一个根，将m用a表示出来，根据m的取值即可求出a的取值．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在于理解二次项系数a对函数图象的影响，包括开口方向和开口大小，都要熟记于心，不然第三问很难做出来．
23.【答案】BD= 2BM
【解析】解：(1)结论：BD= 2BM.
理由：∵M为CE的中点，G、H分别为AC和AE的中点，
∴MH=12AC，MG=12AE，MH//AC，MG//AE，
∴∠MHE=∠CAE，∠CGM=∠CAE，
∴∠CGM=∠MHE，
在等腰直角△ABC与等腰直角△ADE中，G、H分别为AC和AE的中点，
∴BG=12AC，DH=12AE，BG⊥AC，DH⊥AE，
∴MH=BG，DH=MG，∠MHD=∠BGM，
在△MHD和△BGM中，
MH=BG∠MHD=∠BGMDH=MG，
∴△MHD≌△BGM(SAS)，
∴BM=DM，
∵∠BAD=45∘+45∘+∠CAE=90∘+∠CAE，∠MHD=∠DHE+∠MHE=90∘+∠CAE，
∴∠BAD=∠MHD，
又∵AB：MH=AB：AG= 2：1，AD：DH= 2：1，
∴AB：MH=AD：DH，
∴△BAD∽△MHD，
∴BD：DM=AD：DH= 2：1，BD：BM= 2：1，
∴BD= 2BM；
故答案为：BD= 2BM；
(2)依然成立．取AC和AE的中点G，H，连接BG，MG，MH，DH.
∵M是EC的中点，
∴MH//CA，MG//AE，MH=12AC，MG=12AE.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且AB=BC，AD=DE.
∴BG=12AC，DH=12AE，BG⊥AC，DH⊥AE.
∴BG=MH，MG=DH.
∵MG//AE，MH//CA，
∴四边形MHAG是平行四边形，
∴∠MHA=MGA，
∵BG⊥AC，DH⊥AE，
∴∠BGA=DHA=90∘.
又∵∠MGB=∠MGA+∠BGA，∠DHM=∠DHA+∠MHA，
∴∠MGB=∠DHM.
∵BG=MH，MG=DH，
∴△BGM≌△MHD(SAS).
∴BM=MD，∠GMB=∠HDM.∠BMD=∠AHD=90∘.
∵MB=MD，
∴BD= 2BM；
(3)分两种情况：①如图所示：取CE的中点M，连接BM、DM，连接AE，
由(1)得：BM=DM，BD= 2BM，
由勾股定理得：AE= 2AD=10 2，
∴PE= AE2−AP2=14，
∴CE=PE+PC=16，
∴CM=8，
∴BM=4 17，
∴BD= 2BM=4 34；
②如图所示：取CE的中点M，连接BM、DM，连接AE，
由(1)得：BM=DM，BD= 2BM，
同①得：PE=14，
∴CE=12，
∴CM=6，
∴BM=2 10；
∴BD= 2BM=4 5；
综上所述，BD的长为2 34或4 5.
(1)由三角形中位线定理得出MH=12AC，MG=12AE，MH//AC，MG//AE，得出∠MHE=∠CAE，∠CGM=∠CAE，证明△MHD≌△BGM，得出BM=DM，证明△BAD∽△MHD，得出BD：DM=AD：DH= 2：1，即可得出结论；
(2)证出BM=DM，∠MBE=∠MEB，∠MCD=∠MDC，再证明DM⊥BM，即可得出结论；
(3)分两种情况：①取CE的中点M，连接BM、DM，连接AE，由(1)得：BM=DM，BD= 2BM，由勾股定理得：AE= 2AD=10 2，PE=14，得出CE=PE+PC=16，CM=8，由勾股定理求出BM=2 17，求出BD= 2BM=2 34；
②取CE的中点M，连接BM、DM，连接AE，由(1)得：BM=DM，BD= 2BM，同①得：PE=14，CE=12，得出CM=6，由勾股定理求出BM的长，即可得出结果．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，作出图形是解题关键．
A款10英寸智能手机
B款10英寸智能手机
进货价格(元)
1400
1500
销售价格(元)
今年的销售价格
1800