2023年浙江省绍兴市柯桥区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省绍兴市柯桥区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上，用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  由个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生中随机选取一人，则选中女生的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列式子中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  关于二次函数的图象，下列说法错误的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 与轴没有交点 D. 当时，随的增大而减小

8.  如图，在中，，以点为圆心、长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点若，，连接，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知点，，都在抛物线上，下列选项正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则

10.  如图，点是矩形内一点，连接、、、，已知，，设、、、的面积分别为、、、，下列判断，其中不正确的是(    )

A. 的最小值为
B. 若≌，则≌
C. 若∽，则
D. 若，则

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  关于的不等式的解集是          ．

13.  甲、乙两个足球队连续进打对抗赛，规定胜一场得分，平一场得分，负一场得分，共赛场，甲队保持不败，得分，甲队胜______场．

14.  已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线，上存在“平衡点”若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则 ______ ．

15.  如图，点为函数图象上一点，连结，交函数的图象于点，点是轴上一点，且，则的面积为______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，且满足∽，当是等腰三角形时，点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程组：．

18.  本小题分
开展线上网课以后，学校为了鼓励在家的孩子适当锻炼，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，了解八年级学生每日在家锻炼运动时长单位：分钟的情况，以便制订合理的锻炼计划现将所收集的数据分组整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．
八年级学生每日在家锻炼运动时长情况的统计表

本次被调查的学生有多少人；
求统计表中，的值；
已知该校八年级学生有人，试估计该校八年级学生中每日在家锻炼运动时长满足的共有多少人．

19.  本小题分
分别在图、图中按要求作图保留作图痕迹，不写作法．
如图，在的方格纸中，点，，都在格点上，在图中找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
如图，已知四边形是平行四边形，为对角线，点为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点，使．

20.  本小题分
如图，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家如图中反映了小明离家的距离与他所用时间之间的函数关系．

小明家与图书馆的距离为        ，小明骑自行车速度为        ；
求小明从图书馆返回家的过程中，与的函数解析式；
当小明离家的距离为时，求的值．

21.  本小题分
如图，图分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆．

若时，，相距，试判定与的位置关系，并说明理由；
当，时，求的长．

22.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，作的平分线交于点过点作的切线，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
求该抛物线的对称轴用含的式子表示；
若点，在抛物线上，试比较，的大小；
，是抛物线上的任意两点，若对于且，都有，求的取值范围；
，是抛物线上的两点，且均满足，求的最大值．

24.  本小题分

在矩形中，点为射线上一动点，连接．

当点在边上时，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．

如图，若，求的度数；

如图，当，且时，求的长．

在所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取一人，
选中女生的概率为，
故选：．
用女生人数除以学生总人数即可求得概率．
本题考查概率的意义和计算方法，理解概率的意义，掌握概率的求法是解决问题的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，错误；
B、原式，错误；
C、原式，正确；
D、原式，错误，
故选：．
A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，作．

，，
，
，，
，
，
，
故选：．
如图，作利用平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题．
本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
 

7.【答案】 

【解析】解：二次函数，
，
拋物线开口向下，
故A正确，不符合题意；
拋物线对称轴为直线，
故B错误，符合题意；
拋物线顶点坐标为，在第三象限，
又拋物线开口向下，
抛物线与轴没有交点，
故C正确，不符合题意；
拋物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
故D正确，不符合题意；
故选：．
由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
本题考查抛物线的图象性质，抛物线图象与系数关系，抛物线与轴交点问题，熟练掌握图象与系数关系、抛物线的图象和性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
垂直平分交于点，
，
，，，
，
，
，
解得，
，，
，
，
，
的面积为，
故选：．
根据题意可知垂直平分，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据等面积法可以求得的长，再根据勾股定理即可得到的长，从而可以得到的长，进而得到的长，然后即可求得的面积．
本题考查勾股定理、等面积法，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
A、若，，则，故A不合题意；
B、若，则，故B不合题意；
C、若，，则，故C符合题意；
D、若，，则，故D不合题意；
故选：．
根据题目中的抛物线和二次函数的性质即可判断．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点是矩形两对角线的交点时，的值最小，根据勾股定理得，，所以的最小值为，故此选项正确，不符合题意；
B.若≌，则，，所以在线段、的垂直平分线上，即是矩形两对角线的交点，所以≌，故此选项正确正确，不符合题意；
C.若∽，则，，，同理可得，那么，、、三点共线，是直角斜边上的高，根据面积公式可得，故此选项不正确，符合题意；
D.如图，若，
过点作于，的延长线交于，
则．
四边形是矩形，
，
，
过点作于，的延长线交于，
同理，
，则，故此选项正确，不符合题意．
故选：．
A.当点是矩形两对角线的交点时，的值最小，根据勾股定理可得的最小值，即可判断；
B.根据全等三角形的性质可得，，那么在线段、的垂直平分线上，即是矩形两对角线的交点，易证≌，即可判断；
C.根据相似三角形的性质可得，，利用三角形内角和定理得出，同理可得，那么，即、、三点共线，根据三角形面积公式可得，即可判断；
D.易证，所以若，则，即可判断．
本题考查了轴对称最短路线问题，全等三角形、相似三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提公因式，再运用平方差公式．
本题考查因式分解，掌握基本方法是关键．
 

12.【答案】 

【解析】

解：，
，即，
解得，
故答案为：．
【分析】根据解一元一次不等式步骤即可解得答案．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤．  

13.【答案】 

【解析】解：设甲胜了场，
由题意：，
解得，
甲队胜了场，
故答案为：．
设甲胜了场，根据“共赛场，甲队保持不败，得分”列出方程并解答．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．
 

14.【答案】或或 

【解析】解：由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
解得或．
当时，它是一次函数，存在唯一“不动点”，
故答案为：或或．
根据题意列出关于的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于的一元二次方程，解方程即可求解．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，新定义、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等，对“平衡点”的理解是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，点的坐标为
点是轴上一点，且，
点的坐标为，
设过点、点的解析式为，则，
，
直线的解析式为：，
又点在直线上，
，
，
负值不合题意，舍去，
．
故答案为：
根据题意可以分别设点、点的坐标，根据点、、在同一条直线上可以得到、的坐标之间的关系，由可知点的横坐标是点横坐标的两倍，从而可以得到的面积．
此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．通过一次函数，三角形面积的计算，突出考查的目的．
 

16.【答案】或 

【解析】解：点在矩形的内部，且是等腰三角形，
点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图所示：
，，
，
∽，
四边形是矩形，点的坐标为，
点横坐标为，，，，
∽，
，即，
解得：，
点；
点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，
过点作于，如图所示：
，
，
∽，
四边形是矩形，点的坐标为，
，，，
，
，
∽，
，即：，
解得：，，
，
点；
综上所述：点的坐标为：或；
故答案为：或．
由题意得出点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上，由此分两种情形分别求解，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：


．
；
式得，，，
，
把代入得，，
原方程组的解为． 

【解析】根据二次根式的性质化简，非零数的零次幂，负指数幂，特殊角的三角函数值即可求解；
根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
本题主要考查实数的运算，解二元一次方程组的综合，掌握二次根式的性质化简，非零数的零次幂，负指数幂，特殊角的三角函数值，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
 

18.【答案】解：人，
答：本次被调查的学生有人；
，；
人，
答：估计该校八年级学生中每日在家锻炼运动时长满足的共有人． 

【解析】用、组人数和除以其所占百分比之和即可得出答案；
总人数乘以、组人数所占百分比即可；
总人数乘以样本中组人数所占比例即可．
此题考查了频数率分布表，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，四边形即为所求；
如图中，点即为所求．
 

【解析】根据平行四边形的定义画出图形即可；
连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】   

【解析】解：由图象可得，
小明家与图书馆的距离为，小明步行的速度为：，
故答案为：，；
小明从图书馆回到家用的时间为：，
，
小明从图书馆返回家的过程中，设与的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
．
解得．
即小明从图书馆返回家的过程中，与的函数解析式为；
小明从图书馆返回家的过程中，当时，
，
解得，
即当小明离家的距离为时，的值为．
小明从食堂出来后，设与的函数解析式为，
将代入，得，
解得：
，当时，．
根据图象中的数据，可以直接写出小明家与图书馆的距离，然后根据图象中的数据，即可计算出小明步行的速度；
先求出小明从图书馆回到家用的时间，然后即可得到函数图象与轴的交点，再设出函数解析式，根据点和图象与轴的交点，即可计算出与的函数解析式；
令中的函数值等于，求出的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：，
理由：连接，

因为，，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
所以是直角三角形，
所以，
所以；
过点作，垂足为，

因为，
所以，
因为，
所以，
在中，，
所以，
所以，
所以，
在中，
因为，
所以，
所以，
所以的长为． 

【解析】连接，根据题意可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用勾股定理求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
为的直径，
，
平分，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作于点，连接，
，，，
，
，
由知：，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
∽，
，即，
，
． 

【解析】如图，连接，根据切线的性质可得：，由为的直径，可得，再由平分，可得，再利用圆周角定理可得，再运用平行线的判定即可；
如图，过点作于点，连接，运用勾股定理求得，可得：，再证明四边形是矩形，可得：，，再证明∽，可求得，再根据，即可求得答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

23.【答案】解：
，
抛物线的对称轴为直线；
点，在抛物线上，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又，，，
点离抛物线的对称轴距离较大，
；
抛物线的开口向上，
离抛物线的对称轴距离较大，函数值越大．
当时，点离对称轴远，不符合题意；
当时，由题意得，
，
解得，
时，都有；
当时，点离对称轴远，都有．
综上，当时，都有．
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
点在抛物线对称轴的右侧，
，
当点在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点的左侧或与点重合时满足条件，
且，
解得；
当点在对称轴的左侧，且点到抛物线对称轴的距离小于或等于点到对称轴的距离时满足条件，
，，
解得，
综上所述：当时，满足题意．
的最大值为． 

【解析】把解析式化成顶点式即可求得；
根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可判断；
分种情况求解即可；
分两种情况讨论，根据题意列出关于的不等式，解不等式即可解决问题．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
是等边三角形，
，
；
由折叠的性质得：，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
∽，
，
，
设，则，
，
在中，，
射影定理，
即，
解得：负值已舍去，
，
，
，
即的长为；
当点，，三点共线时，如图，
由可知，，
四边形是矩形，
，，，，
，，
由折叠的性质得：，，
，，
≌，
，
，
． 

【解析】由矩形的性质和锐角三角函数定义得，再由折叠的性质得，则是等边三角形，即可得出结论；
由折叠的性质得，，则，再证∽，得，设，则，，然后由射影定理得，即，求出，即可解决问题；
证≌，得，再由勾股定理得，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、射影定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．