2023年浙江省湖州市吴兴区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省湖州市吴兴区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由若干个完全相同的立方体搭成的几何体，该几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  某射击运动员在射击训练中的次成绩单位：环分别是：，，，，这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7.  有两块面积相同的茶叶种植田，分别收获茶叶千克和千克，已知第一块茶叶种植田每亩收获茶叶比第二块少千克设第一块种植田每亩收获茶叶千克，可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图是美妆小镇某品牌的香水瓶从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形点、在上，其中；已知的半径为，，，，则香水瓶的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  等腰直角三角形中，已知，点是斜边上的动点，以点为圆心，为半径画圆交边于点，交边于点，则的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  一个布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球从布袋里任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为______ ．

13.  不等式的解是______ ．

14.  如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，点，，，都在格点上，点在的延长线上，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，且弧经过点，则的长为______ ．

15.  三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒如图所示裁剪已知正方形纸板边长为分米，则这个礼品盒的体积______ 分米．

16.  如图，点是反比例函数的图象上一点，连接，过点作轴交的图象于点，连接并延长交的图象于点，过点作轴交的图象于点，已知点的横坐标为，，连接，小明通过对和的面积与的关系展开探究，发现的值为______ ；如图，延长交的图象于点，过点作轴交的图象于点，依此进行下去记，，则 ______ ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，，连接，．
求证：．
连接交于点，若，，求的长．

20.  本小题分
第届亚洲运动会将于年月在浙江杭州举行，某校为了解九年级学生对亚运会相关知识的掌握情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行测试，并对成绩百分制进行整理、描述和分析，部分信息如下：
测试成绩等级标准：

九年级学生成绩频数分布直方图和各等级人数的扇形统计图如图：

请根据以上信息回答下面问题：
本次调查中“”等级有______ 人；
本次共调查了______ 人，成绩在分的有______ 人；
求扇形统计图中“”等级对应扇形的圆心角的大小为______ 度

21.  本小题分
如图是某小车侧面示意图，图是该车后备箱开启侧面示意图，具体数据如图所示单位：且，，箱盖开启过程中，点，绕点沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，的位置，点在线段的延长线上若直线．

求旋转角的度数．
若，求的长度．

22.  本小题分
为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴已知某种品牌服装的成本价为每件元，每件政府补贴元，每月销售量件与销售单价元之间的关系近似满足一次函数：．
若第一个月将销售单价定为元，政府这个月补贴多少元？
设获得的销售利润不含政府补贴为元，当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润？
若每月获得的总收益每月总收益每月销售利润每月政府补贴不低于元，求该月销售单价的最小值．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴的交点为，在左侧，过线段的中点作轴，交双曲线于点．
当时，求长；
当点与对称轴之间的距离为时，求点的坐标．
在抛物线平移的过程中，当抛物线的对称轴落在直线和之间时不包括边界，求的取值范围．

24.  本小题分
一张矩形纸片如图，，点是边上的一个动点，将沿直线折叠得到，延长交直线于点，直线与直线交于点．
初步探究

求证：是等腰三角形；
设，当时，计算的值；
深入探究
将矩形纸片放入平面直角坐标系中如图所示，点与点重合，边、分别与轴、轴正半轴重合点在边上，将沿直线折叠得到．
当经过的中点时，求点的坐标；
在的条件下，已知二次函数的图象经过、两点若将直线右侧的抛物线沿对折，交轴于点，请求出的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：无理数是无限不循环小数，而，，是有理数，
只有是无理数．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像每两个之间依次多个，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看有两层，底层是三个正方形，上层的左边是一个正方形．

故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数为：．
故选：．
根据中位数的概念：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，合并同类项的法则逐一判断即可．
【解答】
解：，故本选项符合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.和不是同类项，不能合并，故本选项不合题意．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了作图基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得的度数，由邻补角关系求出度数，观察作图过程可得平分，利用角平分线定义而可得的度数．
【解答】
解：，，
，
，
观察作图过程可知：
平分，
，
的度数为，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：在一次函数中，，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：．
根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设第一块种植田每亩收获茶叶千克，
依题意得：．
故选：．
设第一块种植田每亩收获茶叶千克，根据“两块面积相同的茶叶种植田”列出方程解答即可．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：

，，
，
在中，，
点到的距离为，故A正确．
故选：．
先求出，再用三角函数定义，求出，即可得出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，作于，延长交于，连接、．

，
，
，，
；，
．
即香水瓶的高度为，
故选：．
作于，延长交于，连接、根据垂径定理求出、，解直角三角形求出，，根据即可解决问题．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：是等腰直角三角形，，
，，
在圆中，，
若要最大，则最小，即半径最小，
此时，则，
∽，
，
设，则半径，
，
解得：，
故选：．

根据圆的基本性质，分析得出若要最大，则最小，即半径最小，此时，设，证明∽，得到，设，解之可得结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质与圆周角定理，解题的关键是找到最小时的位置设．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
利用提公因式法进行因式分解即可．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法．
 

12.【答案】 

【解析】解：一共有个球，白球有个，
从布袋里任意摸出个球，摸到白球的概率为．
故答案为：．
用白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：移项得，，
合并同类项得，，
故答案为：．
先移项，再合并同类项，把的系数化为即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

则，
弧长．
故答案为：．
连接，根据勾股定理求出，求出，再根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了勾股定理，正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是，半径为，那么这条弧的长度是．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，在正方形中，，
设，
由此裁剪可得：和为等腰直角三角形，
∽，
，即，
解得：，
，
正方体礼品盒的棱长为，
体积为立方分米，
故答案为：．

设，判断出和为等腰直角三角形，证明∽，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形．
 

16.【答案】  

【解析】解：延长交轴于点，延长交轴于点，

点是的图象上一点，是的图象上一点，轴，
，，
，
点是的图象上一点，是的图象上一点，轴，
，，
，
，
，
，
，
是的图象上一点，且点的横坐标为，
，
，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
在中，，
，
点是的图象上一点，
，
，
同理可证，，，
，，
，
故答案为：，．
根据反比例函数系数的几何意义，得到，，进而得到，又因为，得到，再根据反比例函数的性质，得到，从而得到，，证明∽，得到，利用勾股定理求出，得到点的坐标，即可求出的值，将的值代入，得到，同理可得，推出规律，面积恒等于，即可得到答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质，系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先根据特殊角的三角函数值、利用二次根式的性质化简进行运算，再算减法．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值、二次根式的性质与化简，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：方程整理，得：，
，
则或，
解得，． 

【解析】整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：由≌得：，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
． 

【解析】利用证明≌，可得；
结合中条件证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可求解．
此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：由频数分布直方图可知：本次调查中“”等级有人，
故答案为：；
本次共调查了：人，
成绩在分的有：人，
故答案为：，；
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为：，
故答案为：．
根据频数分布直方图中的数据，可以直接写出本次调查中“”等级的人数；
根据等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数，然后即可计算出成绩在的人数；
根据频数分布直方图中等级的人数和调查的总人数，可以计算出扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的度数．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：如图，过作，垂足为，
由旋转可得：，且都为旋转角，，
，
，
，则，
，则，
；

如图，过点作于，过点作于，
则，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
由可知：，，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
 

【解析】过作，垂足为，根据旋转的性质可得，，根据平行线的性质和外角的性质分别得到，，相加可得结果；
过作延长线交于点，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点，分别表示出、的长，即可得出的长．
本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是是解题的关键．
 

22.【答案】解：在中，令，则，
政府这个月补贴元；
由题意可得：，
，
当时，有最大值．
即当销售单价定为元时，每月可获得最大利润元．
设每月获得的总收益为，
由题意可得：，
令，则，
解得：或，
，则抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，，
该月销售单价的最小值为元． 

【解析】把代入，求出销售的件数，从而得到政府补贴金额；
根据总利润数量单件利润列出函数关系式，再利用二次函数的最值求解；
每月获得的总收益为，列出函数关系式，再令，求出值，结合函数的性质得到最小值．
本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最值的求解，此题难度不大．
 

23.【答案】解：当时，抛物线的解析式为，
令，得：，
解得：，，
在左侧，
，，
；

中，
令，得：，
解得：，，
在左侧，
，，
抛物线的对称轴为：，
是线段的中点，
，
当点与对称轴之间的距离为时，
，即，
解得：或，
或，
轴，交双曲线于点，
点的横坐标为或，
当时，，
当时，，
或；

由知抛物线的对称轴为：，
当抛物线的对称轴落在直线和之间不包括边界时，
，
解得：，
即的取值范围为：． 

【解析】将代入抛物线解析式，求出抛物线与轴的交点坐标，即可求出长；
先用含的代数式表示出抛物线的对称轴，点的横坐标，根据“点与对称轴之间的距离为”求出的值，进而求出点的横坐标，代入即可求解；
解不等式，即可得出的取值范围．
本题属于二次函数综合题，主要考查了抛物线与反比例函数的综合，涉及求抛物线与轴的交点坐标、对称轴，解一元一次不等式组，求反比例函数的函数值等，解题的关键是掌握二次函数与反比例函数的图象和性质，熟练应用数形结合思想．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，
，
，
是等腰三角形；

解：过点作，交，于点、，如图所示：

四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
∽，
，
设，则有，，
，
在中，由勾股定理得，
解得：负根舍去，
，
，
，
；

解：过点作，交轴于点，交于点，如图所示：

在矩形中，，，，
同理可得∽，四边形是矩形，
，，
经过的中点时，
，
，
，是等腰直角三角形，
也为等腰直角三角形，
，，
由折叠的性质可得，
，
，
；

设与抛物线的交点为，连接，根据折叠性质可知点与点关于对称，如图所示：

，
由，可得点，，代入二次函数得：
，
解得：，
，
由可知，过点作轴于点，
是等腰直角三角形，
，
设点，则，，
，
，
解得：，不符合题意，舍去，
，
． 

【解析】由题意易得，然后根据折叠的性质及平行线的性质可进行求证；
过点作，交，于点、，由题意易证∽，则有，设，则有，，然后利用勾股定理可建立方程求解；
过点作，交轴于点，交于点，由题意易得，则有，然后根据矩形的性质及等腰直角三角形的性质可求解；设与抛物线的交点为，连接，根据折叠性质可知点与点关于对称，由及折叠的性质可知，则有，把点、的坐标代入求得二次函数解析式，过点作轴于点，则，设点，然后根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可进行求解．
本题主要考查折叠的性质、二次函数的综合、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握折叠的性质、二次函数的综合、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．