2023年四川省成都市蒲江县、金堂县中考数学二诊试卷-普通用卷

这是一份2023年四川省成都市蒲江县、金堂县中考数学二诊试卷-普通用卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都市蒲江县、金堂县中考数学二诊试卷一、选择题（本题共8小题，共32分）1.  的绝对值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  第届全国糖酒会于年月日在成都市举办，本届糖酒会主题为“全国糖酒会会天下美味”，共设置大展区及个专区，展览总面积为万平方米将数据万用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，与相交于点，且是，的中点，则与全等的理由是(    )
 A.  B.  C.  D. 4.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  在“双减”背景下，某校为了解初三学生课后书面作业完成时长情况，随机抽查了初三名学生课后书面作业完成时长，数据如下： 时长分钟人数人则该校初三学生课后书面作业完成时长的众数和中位数分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，6.  孙子算经是中国古代重要的数学著作，其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木长多少尺？”设绳子长尺，长木长尺，可列方程组为(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形如果，那么这个曲边三角形的周长是(    )A.
B.
C.
D. 8.  如图是二次函数的图象的一部分，已知图象与轴交于点下列结论错误的是(    )A. 抛物线与轴的另一个交点坐标是
B.
C. 当时，随的增大而增大
D. 若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别是，
二、填空题（本题共10小题，共40分）9.  若，则 ______ ．10.  因式分解： ______ ．11.  已知点，都在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”、“”或“”．12.  如图，已知，，，则 ______ ．
 13.  如图，在中，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，若的面积为，则的面积为______ ．
14.  当时，代数式的值为______ ．15.  定义运算：，例如，则关于的方程的解是______ ．16.  若边长为的菱形的两条对角线的长分别是关于的一元二次方程两根的倍，则的值为______ ．17.  如图，在矩形纸片中，将和分别沿和折叠，点，重合于点处；再将沿折叠，点落在上的点处，若，且，则的长为______ ．18.  如图，在中，，射线分别交轴于点，交双曲线于点，，连接，，当平分时，与满足，若的面积为，则 ______ ．
 三、解答题（本题共8小题，共78分）19.  计算：．
解不等式组：．20.  为贯彻落实教育部办公厅关于做好中小学生课后服务工作的指导意见要求，某校在课后延时服务时间开展了音美、体育、文学社、计算机四类社团活动，每个学生只选择一类活动参加要求必须选择且只能选择一类活动为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 社团活动音美体育计算机文学社人数 根据图表信息，解答下列问题：
抽取的学生共有______ 人，其中参加音美社团的有______ 人；
若该校有学生人，估计全校参加文学社的学生有多少人？
某班有男记为，、女记为，共名学生参加计算机社团，现从中随机抽取名学生参加校计算机大赛活动，请用树状图或列表法计算恰好抽到一男一女的概率．
21.  如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距点米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由减至，即使得新坡面的倾斜角为若新坡面底端处与建筑物之间需要留下至少米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由结果精确到米；参考数据：，
22.  如图，在中，，点为斜边上一点，以为半径的与边交于点，与边交于点，连接，，平分．
求证：为的切线；
若，，求和的长．
23.  如图一：在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，已知，．
求直线和双曲线的解析式及点的坐标；
根据图象直接写出不等式的解集；
如图二，设直线与轴交于点，与轴交于点将直线向下平移个单位长度，与双曲线在第一象限交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，判定四边形的形状，并说明理由．
 24.  年卡塔尔世界杯期间，某网点直接从工厂购进，两款拉伊卜吉祥物手办，款的购进单价比款贵元，用元购进款手办的数量比用元购进款手办的数量少一件，两款手办的销售单价分别是元和元注：利润销售价购进价
求，两款手办的购进单价分别是多少元？
世界杯结束后，为了尽快减少库存，加快资金周转，网店决定对款拉伊卜吉祥物手办进行调价销售，如果按照原价销售，平均每天可销售件，经调查发现，每降价元就可以多销售件，试问将销售价定为每件多少元时，才能使款手办平均每天的销售利润最大？25.  流感主要的发病季节在春季，因为春季正值季节的交换，气候温差大，使人的身体抵抗能力降低，从而引起流感的发生，所以我们要有健康的生活意识，时刻关注自己身体的变化情况，积极地进行预防，某地发生流感，第天的新增病人人如表所示： 前天流感发病人数符合二次函数，根据上表，求出二次函数的解析式；
将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后的抛物线如图一所示，与轴从左到右依次交于，两点，与轴交于点则该抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图二，在的抛物线中，点是线段上的动点，连接，过点作，在射线上取一点，使得，连接，，求周长的最小值．
 26.  如图，四边形和四边形均为正方形，为的中点，且．
如图一，两个正方形边长的比值 ______ ．
如图二，连接和，判断和的大小关系，并说明理由；
如图三，延长至点，使，与的延长线交于点，交于点若，求的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意，得，
故选：．
根据绝对值的意义解答即可．
本题考查绝对值的定义，根据“正数的绝对值是它本身”解答即可．
 2.【答案】 【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：是，的中点，
，，
在和中，
，
≌．
故选：．
根据全等三角形判定的“”即可得到结论．
本题主要考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
B、，计算正确，故选项符合题意；
C、，计算错误，故选项不符合题意；
D、，计算错误，故选项不符合题意．
故选：．
根据合并同类项的法则、平方差公式、完全平方公式以及单项式乘多项式的法则逐一计算分析即可．
本题考查了合并同类项的法则、平方差公式、完全平方公式以及单项式乘多项式的法则，解题的关键是熟练掌握相关的公式和法则．
 5.【答案】 【解析】解：该校初三学生课后书面作业完成时长的众数为，中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义列式求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
 6.【答案】 【解析】解：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
．
根据题意得可列方程组．
故选：．
根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：是等边三角形，，
，
的长，
这个曲边三角形的周长是．
故选：．
由等边三角形的性质得到，根据弧长公式求出的长即可求得结论．
本题考查了作图复杂作图，弧长的计算，等边三角形的性质．正确理解题意，熟练掌握弧长公式是解决问题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：由图象可得，
该函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项A正确，不符合题意；
当时，，故选项B错误，符合题意；
当时，随的增大而增大，故选项C正确，不符合题意；
若抛物线经过点，则该抛物线过点，故关于的一元二次方程的两根分别是，，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据二次函数的性质和图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据算术平方根的定义可知，的算术平方根为，故，计算即可．
本题考查了算术平方根，非负数的算术平方根有双重非负性：被开方数是非负数；算术平方根本身是非负数．
 10.【答案】 【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 11.【答案】 【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，
，
在第一象限，在第三象限，
．
故答案为：．
根据反比例函数的增减性解答即可．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
 12.【答案】 【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
根据，可以得到∽，从而可以得到，然后根据，，即可求得的值．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 13.【答案】 【解析】解：根据题意得：是的垂直平分线，
，
的面积为，
．
故答案为：．
由在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，可得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，由的面积为可得的面积为．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 14.【答案】解：


．
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集为． 【解析】先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 15.【答案】   【解析】解：人，
故抽取的学生共有人，
参加音美社团的人数为人．
故答案为：，；
人，
答：估计全校参加文学社的学生有人；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有种，
恰好抽到一男一女的概率为．
根据总人数体育社团的人数体育社团所占的百分比，从而求出抽取的总人数，进而求出音美社团的人数即可；
利用总人数乘参加文学社所占的比例，进行计算即可解答；
用树状图求出所有可能出现的结果情况和恰好抽到一男一女的情况，进而利用概率公式计算即可．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及扇形统计图．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 16.【答案】解：该建筑物不需要拆除．
理由：，米，
米，米，
，，
米，
米，
，
该建筑物不需要拆除． 【解析】根据锐角三角函数，可以求得、、的长，然后根据题意可知米，即可计算出的长，再与比较大小即可．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
 17.【答案】证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
为的切线；
解：为直径，
，
，，
∽，
，即，
解得，
在中，，
，
，即，
解得，
即的长为，的长为． 【解析】连接，如图，先证明，则可判断，再根据平行线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
先根据圆周角定理得到，再可判断∽，则可利用相似比求出的长，接着利用勾股定理可计算出的长；然后利用，则根据平行线分线段成比例定理得到，于是利用比例的性质可求出的长．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 18.【答案】解：直线与双曲线交于，两点，，，
，，
，，
直线的解析式为，双曲线的解析式为，
，
，
；
直线与双曲线交于，，
不等式的解集为或；
四边形为正方形，
理由：将直线向下平移个单位长度，
直线的解析式为，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
过作轴于，

，
，
∽，
，
，
，
点在双曲线上，
，
解得，，不合题意舍去，
，，
，
直线与轴交于点，与轴交于点．
，，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形． 【解析】把代入，解方程即可得到结论；
根据题意即可得到结论；
根据平移的性质得到，解方程得到，，得到，过作轴于，根据相似三角形的性质得到，求得，把点代入求得，得到，，得到，根据，，求得，根据正方形的判定定理即可得到四边形为正方形．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，正方形的判定定理，相似三角形的判定和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】解：


，
，
，
原式，
故答案为：．
先将所求式子化简，然后根据，可以得到，再代入化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：，，
，
即，
解得．
故答案为：．
根据定义运算可得关于的一元一次方程，再解方程即可．
本题考查了解一元一次方程，关键是熟练掌握新定义运算．
 21.【答案】 【解析】解：设方程的两根分别为、，
根据题意得：，．
、为边长为的菱形的两条对角线的长，
，
解得：或．
，，
，
．
若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的倍，则的值为，
故答案为：．
设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据，即可确定的值．
本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理的应用，根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于的一元二次方程是解题的关键．
 22.【答案】 【解析】解：四边形为矩形，
，，，，
将沿折叠得到，
，，，，，
将沿折叠得到，
，，，
将沿折叠得到，
，，，
，，
在中，，
设，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，，
，
，
∽，
，即，
解得：或，
，
，
，
，，
在中，．
根据折叠可得，，，，，，，，进而得到，根据设，，则，，根据勾股定理求得，则，根据平行线的性质可得，于是，因此∽，由相似三角形的性质得到，则，再根据同角的余角相等可得，以此可证明∽，利用相似三角形的性质可得方程，解得，则，，最后根据勾股定理即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的应用，熟练掌握折叠的性质，根据锐角三角函数正确设出未知数，利用相似三角形的对应边成比例建立方程并求解是解题关键．
 23.【答案】 【解析】解：作轴于，轴于，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
的面积为，
的面积为，
，
，
的面积为，
，
设，则，
，，
，
解得，
故答案为：．
通过证得∽，得到，即可求得的面积为，进一步求得的面积为，关键得出的值即可．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判断和性质，三角形的面积，求得面积是解题的关键．
 24.【答案】解：设款拉伊卜吉祥物手办的进货单价是元，则款拉伊卜吉祥物手办的进货单价是元，
根据题意得：，
整理得：，
解得舍去或，
经检验：是原方程的解，并符合题意，
此时，
答：款拉伊卜吉祥物手办的进货单价是元，款拉伊卜吉祥物手办的进货单价是元；
设款手办降价元，平均每天的销售利润为元，
根据题意，
，为的整数倍，
或时，有最大值，最大值为，
为了尽快减少库存，
，
此时款手办售价为元，
答：将销售价定为每件元时，才能使款手办平均每天的销售利润最大． 【解析】设款拉伊卜吉祥物手办的进货单价是元，则款拉伊卜吉祥物手办的进货单价是元，根据用元购进款手办的数量比用元购进款手办的数量少一件列出方程，解方程即可；
设款手办降价元，平均每天的销售利润为元，根据每天的平均利润每天的销售量每件的利润列出函数解析式，根据函数的性质以及的取值求出最大值．
本题考查二次函数的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程．
 25.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：；

平移后的抛物线表达式为：，
当时，，
令，则或，
则点、、的坐标分别为：、、；
，则、、、四点共圆，设该圆的圆心为，

由题意得，直线的中垂线为：，
当时，，即点，
设点，
则，即，
解得：，
即点的坐标为：或；

由点、的坐标知，直线的表达式为：，设点，
在中，，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，
∽，
，
则和的相似比为，
则，，
则点，
则点在直线：上，如图，设直线交轴于点，

作点关于直线的对称点，过点作轴于点，连接交直线于点，则此时周长的最小，理由：
周长为最小，
设直线交直线于点，
由直线的表达式知，，则，
则，，
则，，
同理可得：，则点，
则周长最小值为：． 【解析】用待定系数法即可求解；
由，则、、、四点共圆，进而求解；
求出，作点关于直线的对称点，过点作轴于点，连接交直线于点，则此时周长的最小，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似、图形的平移、圆的基本知识等，综合性强，难度适中．
 26.【答案】 【解析】解：如图一，设，，

四边形和四边形均为正方形，
，，，
，
即、在同一条直线上，
为的中点，
，
，
在中，，
，
，
，
即，
故答案为：．
如图二，理由如下：

，
，
，
在中，，
在中，，
，
；
如图三，设交于，过点作于，

是正方形的对角线，
，
，
、是等腰直角三角形，
，，，，
是等腰直角三角形，
，设，则，，
，，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
解得：，
，
，
设，，运用正方形的性质先证明、在同一条直线上，得出，利用勾股定理可得，根据，得，即可求得答案；
由得，即，得出，利用三角函数定义可得，，即可得出答案；
设交于，过点作于，可证得、、是等腰直角三角形，设，则，，由，可得∽，进而可得，求得，再由，可求得，利用平行线性质由，可得，得出，即，得出，求得，即可求得答案．
本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，二次根式的运算等，本题综合性强，难度大，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．