押题预测卷03（解析版）决胜2023年高考数学押题必刷仿真模拟卷（新高考地区专用）

决胜2023年高考数学考前押题预测卷03

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】集合，即，

，则，所以.

故选：B

2．设是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】因为，是纯虚数，

所以，即.

故选：B.

3．等比数列的前项和为，若，，则公比的值为（    ）

A． B．1 C．或1 D．或1

【答案】C

【解析】由题设知：，又，故，

∴，而，即，解得：为或1.

故选：C

4．已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

.

故选：B.

5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝ex+sinx，则不等式f（2x﹣1）＜eπ的解集是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】当x≥0时，f'（x）＝ex+cosx，

因为ex≥1，cosx∈[﹣1，1]，所以f'（x）＝ex+cosx≥0恒成立，

所以f（x）在[0，+∞）单调递增，

又因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0]单调递减，

所以f（﹣π）＝f（π）＝eπ，

所以由f（2x﹣1）＜eπ可得﹣π＜2x﹣1＜π，解得，

故选：D．

6．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ）

（精确到0.1，参考数据：）

A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9

【答案】B

【解析】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，

由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，

得，，

则，则给氧时间至少还需要小时

故选： B

7．如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（    ）

A. 5 B. 10 C. 13 D. 26

【答案】C

【解析】 是BC中点，

，

M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，

，

同理可得，

.

故选：C

8．已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，

圆O：，圆心为，半径为，

设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，

过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，

同理，，由，

四边形AMBN的面积为，

，化简得，则有，则C的离心率.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题中正确是（    ）

A．中位数就是第50百分位数

B．已知随机变量X~，若，则

C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则

D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为

【答案】ACD

【解析】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确；

对选项B，，则，故B错误；

对选项C，，函数为偶函数，

则，

区间与关于对称，

故，选项C正确；

对选项D，分层抽样的平均数，

按分成抽样样本方差的计算公式，选项D正确.

故选：ACD.

10．若函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减

C. 函数图象关于对称 D. 函数的图象关于点对称

【答案】CD

【解析】由

，

所以最小正周期为，A错误；

当，则，故在上递增，B错误；

由，故是的一条对称轴，C正确；

由，故是的一个对称点，D正确.

故选：CD

11．如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（    ）

A. 的最小值为

B. 的最小值为

C. 三棱锥的体积不变

D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长

【答案】ACD

【解析】对于A，在中，，即是边长为等边三角形，

的最小值为的高，，A正确；

对于B，将与矩形沿翻折到一个平面内，如图所示，

则的最小值为；

又，，，

在中，由余弦定理得：，

，即，B错误；

对于C，平面，平面，；

四边形为正方形，，

又，平面，平面；

，

即三棱锥的体积不变，C正确；

对于D，设点到平面的距离为，

，，即，解得：，

以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，

交线长为，D正确.

故选：ACD.

12．定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（    ）

A. 函数在上满足阶李普希兹条件.

B. 若函数在上满足一阶李普希兹条件，则的最小值为1.

C. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解.

D. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则存在满足条件的函数，存在，使得.

【答案】AC

【解析】A选项：不妨设，，即，故，对，均有，A选项正确；

B选项：不妨设，在单调递增，，，即，即对，恒成立，即在上单调递减，对恒成立，所以对恒成立，即，即的最小值为，B选项错误；

C选项：假设方程在区间上有两个解，，则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确；

D选项：不妨设，当时，，当时，，故对，，不存在使，D选项错误；

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中含项的系数为______．

【答案】

【解析】的通项公式为，

所以的展开式中含项为，

所以展开式中含项的系数为．

故答案为：.

14.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有_____种．

【答案】70

【解析】甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C42C51=30种；

甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C41C52=40种；

共有30+40=70种．

故答案为：70

15.已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为.若，则______．

【答案】8

【解析】抛物线，，焦点，准线.

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，

由解得，则不符合题意，所以直线的斜率存在.

设，

由消去并化简得①，

，

设，则，

则，，

不妨设，在第一象限，则直线，倾斜角为.

所以，

①式为，即，解得，

，

，

所以，

则，所以.

由于，所以.

所以.

故答案为：8

16．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______．

【答案】

【解析】，令，，

则

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

故在处取得极小值，也是最小值，故，

故，当且仅当时，等号成立，

令，，

则，

令，

则在上恒成立，

故在上单调递增，

又，故当时，，当时，，

故时，，单调递减，当时，，单调递增，

故在处取得极小值，也时最小值，最小值为，

设，

由基本不等式得，

，

当且仅当，，时，等号成立，

故，则．

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知等比数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）设的公比为，由题意知，，

∵，

∴，解得，

.

（2）由（1）知，，

，

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1+sin2A＝（3tanB+2）cos2A．

（1）若，求tanB的值；

（2）若A＝B，c＝2，求△ABC的面积．

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）若，则，

∵1+sin2A＝（3tanB+2）cos2A，cos2A≠0，

∴＝3tanB+2，

∴，

解得或﹣1，又，

∴；

（2）若A＝B，由，

可得，

∴，∴，又，

∴，，∴，

∴△ABC是以C为顶角的等腰三角形，∴，

∴△ABC的面积为．

19．刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍中，四边形ABCD是正方形，平面和平面交于．

（1）求证：；

（2）若平面平面ABCD，，，，，求平面和平面所成角余弦值的绝对值．

【答案】（1）证明见解析    （2）

【解析】（1）在正方形中，，平面，平面，

所以平面，

又平面，平面与平面交于，

所以；

（2）过点作于，过点作于，连接，

由平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，所以，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知，∴，

在四边形中，，，，所以，，

在正方形中，，所以，

因为，且，所以，

所以，，，，，

所以，，，，

设平面的一个法向量，

由，令，则，

设平面的一个法向量，

由，令，则，

设平面和平面所成角为，

则，

所以平面和平面所成角余弦值的绝对值为．

20．根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：

从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．

（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；

（2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；

（3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）

【答案】（1）    （2）    （3）与相互独立

【解析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，

所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．

（2）由题设，的所有可能取值为．

估计为；

估计为；

估计为；

估计为．

估计的数学期望．

（2）估计为；

估计为；

估计为，

，所以与相互独立．

21．已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．

（1）若，求证：；

（2）过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得．

又因为椭圆的离心率，所以，所以，

所以椭圆的方程为.

因为直线经过、，，

所以，直线的方程为，

设点、，联立可得，

由，得，.        

所以，

，

因此，.

（2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，

所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，

则直线方程为，其中．

联立可得，

设、，则，

由韦达定理可得，，

易知且，将代入直线的方程可得，即点，

所以

，

同理可得，

所以

，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最大值为.

22．已知函数（a为非零常数），记（），．

（1）当时，恒成立，求实数a的最大值；

（2）当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上．

【答案】（1）    （2）证明见解析.

【解析】（1）

由，，

令，，
时，，时，

∴在上单调递减，上单调递增，

∴，

∴，

即的最大值为；

（2）解：，∴，，

，，

时，，

当时，，

，令，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴时，取得最小值，

且，

∴为在定直线上运动；