专题13 胖瘦模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（解析版）

这是一份专题13 胖瘦模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（解析版），共17页。
专题13 胖瘦模型模型概述：在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。模型：如图，∆ABC为等腰三角形，点P在线段BC上且点P不是BC的中点。      根据观察，S∆APC>S∆ABP，此时将∆APC看作是胖子，∆ABP看作是瘦子。结论一：【变胖】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABQ≌∆ACP，AP=AQ.证明：∵∆ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∠B=∠C      ∵CQ=BP  ∴CQ+PQ=BP+PQ 则BQ=PC      在∆ABQ和∆ACP中      AB=AC ∠B=∠C   ∴∆ABQ≌∆ACP（SAS） ，∴AP=AQBQ=PC文字简述：∆ABP（瘦子）加上∆APQ（等腰三角形）得到新∆ABQ（变胖了），通过证明∆ABQ≌∆ACP（SAS）结论二：【变瘦】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABP≌∆ACQ，AP=AQ.证明：∵∆ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∠B=∠C      在∆ABP和∆ACQ中      AB=AC ∠B=∠C   ∴∆ABP≌∆ACQ（SAS） ，∴AP=AQCQ=BP文字简述：∆APC（胖子）减去∆APQ（等腰三角形）得到新∆ACQ（变瘦了），通过证明∆ABP≌∆ACQ（SAS）结论三：【找中间状态】如图，过点A作AM⊥BC，垂足于点M,则∆ABM≌∆ACM证明：∵ ∆ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∠B=∠C      ∵ AM⊥BC，∴BM=MC      在∆ABM和∆ACM中       AB=AC AM=AM   ∴∆ABM≌∆ACM（SSS） ∴AP=AQBM=MC文字简述：∆ABP（瘦子）加上∆APM（直角三角形）得到新∆ABM（变胖了），∆APC（胖子）减去∆APM（直角三角形）得到新∆ACM（变瘦了），通过证明∆ABM≌∆ACM（SSS）方法：见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。【提高测试】1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正确，在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正确，∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022秋·山东日照·八年级期中）如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（    ）A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得DE的长，本题得以解决．【详解】解：作QF⊥AC，交AC的延长线于点F，则∠QFC=90°，∵△ABC是等边三角形，PE⊥AC于点E，∴∠A=∠ACB=60°，∠PEA=90°，∴∠PEA=∠QFC，∵∠ACB=∠QCF，∴∠A=∠QCF，在△PEA和△QFC中， ，∴△PEA≌△QFC（AAS），∴AE=CF，PE=QF，∵AC=AE+EC=4cm，∴EF=CF+EC=4cm，∵∠PED=90°，∠QFD=90°，∴∠PED=∠QFD，在△PED和△QFD中， ，∴△PED≌△QFD（AAS），∴DE=FD，∵DE+FD=EF=4cm，∴DE=2cm，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定与性质和数形结合的思想解答．3．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期中）如图，过边长为8的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，连接交边于，当时，的长为_____________．【答案】4【分析】过作交于，得出是等边三角形推出，利用等腰三角形的三线合一性质得出，证明得出，进而推出即可求解．【详解】解：如图，过作交于，则，，即，∵是边长为8等边三角形，∴，，∴，则是等边三角形，∴，又，，∴，，在和中，∴，∴，又，∴，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，题型较好，难度适中，综合利用相关知识进行推导求解是解答的关键．4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．【答案】见解析.【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∴CE＝CF，∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），∴∠ACF＝∠ECB，∴∠ACB＝∠ECF，∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ACB+∠AOB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.5．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD．【答案】见解析【详解】试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可．试题解析：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD （SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD．点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度．6．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【答案】(1)见详解；(2)0.5a．【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．【详解】（1）如下图所示，过点M作MQCN，∵为等边三角形，MQCN，∴，则AM=AQ，且∠A=60°，∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，又∵MQCN，∴∠QMP=∠CNP，在， ∴，  则MP=NP；（2）∵为等边三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，  又由（1）得，，则PQ=PC，∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．7．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．【答案】见解析【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，连接DE，因为BD是的平分线，所以．在和中，因为所以，所以，．因为，所以，所以．因为，所以．方法2  补短如图，延长BA到点E，使．因为BD是的平分线，所以在和中，因为，所以，所以，．因为，所以，所以．因为，所以．方法3  构造直角三角形全等作于点E．交BA的延长线于点F因为BD是的平分线，所以．因为，，所以，在和中，因为，所以，所以．在和中，因为，所以，所以．因为，所以．8．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处．(1)如图 ，已知折痕与边交于点，连接，，．若与 的面积比为 ，求边的长．(2)如图 ，在（）的条件下，擦去折痕 、线段 ，连接 ．动点 在线段上（点与点，A不重合），动点在线段的延长线上，且 ，连接 交 于点 ，作 于点 ．试问当点 ， 在移动过程中，线段 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律；若不变，求出线段的长度．【答案】(1)边的长为(2)线段的长度不变，长度为【分析】（1）先证明，由 与 的面积比为 ，得到，则，，设 ，则 ，在 中， 由勾股定理得，即可得到答案；（2）作，交 于点，先证明，得到，，进一步得到，由勾股定理得到的长度，得到结论即可．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，．由折叠可得：，．∴．∴．，， 与 的面积比为 ， ，，，设 ，则 ，在 中，，由勾股定理得 ，解得：，即，， 边 的长为 ．（2）作 ，交 于点 ，如图 ． ，， ． ． ， ． ，， ． ， ．在 和 中，   ． ． ． ．由（）中的结论可得：，，． ．   ．  在（）的条件下，当点 ， 在移动过程中，线段 的长度不变，长度为 ．【点睛】此题考查了相似三角形综合题、矩形的性质，全等三角形的判定与性质、翻折的性质，勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，为的平分线，如图，若，求线段的长度．【答案】4.8【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，证明△ACD≌△AED（SAS），得出∠C=∠AED，证出∠B=∠BDE，得出BE=DE，即可得出答案；【详解】解：在AB上截取AE=AC，连接DE，如图1所示：∵AD为∠BAC的平分线，∴∠DAE=∠DAC，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS），∴∠C=∠AED，∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∴∴，∴BE=DE，∵∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．10．（2021·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E．求证：（1）AB＝BE；（2）∠CAE＝∠ABC；（3）AD＝CE；（4）CD＋CE＝AB．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解【分析】（1）BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF为公共边，可证得△ABF≌△EBF，可证得结论；（2）∠BAC＝90°可得∠CAE＋∠BAF＝90°，而∠BAF＋∠ABF＝90°，所以∠CAE＝∠ABC；（3）连接DE，则可证得△ABD≌△EBD，所以AD＝DE，且∠DEC＝90°，AB＝AC，所以∠C＝45°，所以CE＝DE，所以可得AD＝CE；（4）由（3）可得AD＝CE，所以CD＋AD＝CD＋CE＝AC＝AB．【详解】证明：（1）∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，∴∠ABF＝∠EBF，∠AFB＝∠EFB＝90°，在△ABF和△EBF中， ，∴△ABF≌△EBF（ASA），∴AB＝BE；（2）∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＋∠BAF＝90°，而∠BAF＋∠ABF＝90°，∴∠CAE＝∠ABF＝ ∠ABC；（3）连接DE，在△ABD和△EBD中∵，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝DE，∠DEC＝∠BAC＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴CE＝DE，∴AD＝CE；（4）由（3）可得AD＝CE，∴CD＋CE =CD＋AD＝AC＝AB．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，注意观察所求线段或角之间的关系，找到所在的两个三角形，证明全等即可解决．