必刷卷03——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（江苏南通专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷03
数 学（江苏南通专用）

2023年江苏南通中考数学试卷结构和内容没有太大变化！2023年数学试卷满分150分，共26题试题，试卷结构为10道选择题（3分×10共30分）+8道填空题（3分×2＋4分×6共30分）+8道解答题（共90分）。根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：关注学科主干知识，重点对学科基本概念、基本原理的考查。考查内容重基础、重应用，重视学生的数学活动，注重和高中知识接轨，注重古代文化的渗透。压轴题具有综合性和创新性，但不偏不怪。不考特别简单的送分题，不会单纯考查学生的死记硬背的机械记忆力，试题避免繁难的计算。注重发展学生的数感，符号感，空间观念，统计观念、推理能力以及思想方法，强化数学意识的转化和应用能力。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，仍将是考试的重点。对于函数，侧重考查一次函数、反比例函数的图象和性质、函数与方程不等式之间的联系以及函数的应用，二次函数大概率是含参纯二次函数，可能以新定义形式出现。几何方面，侧重对特殊四边形的判定及性质的应用，以解答题的形式出现，综合三角形的全等与相似及锐角三角函数，形式通常是证明加计算。解直角三角形的应用也是常考题型；对于圆的考查，着重于证明和计算，总体难度不会很高。此外，统计与概率也是必考内容。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度。同时应加强学生的画图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练。对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将旧知识转化为新知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力。选择题1到5题道涉及有理数、实数的有关概念及计算、科学计数法、三视图、数据统计以及平行线；第6-8题主要是方程组的应用、含参不等式及四边形问题；第9题、第10题一般考查反比例函数与几何图形综合，函数图象信息题，以及几何最值或代数最值问题；填空题11,12题，主要涉及因式分解、多边形的内角与外角、解方程、统计、第13到16题，一般考查一次函数的图象和性质、四边形的翻折，角直角三角形的应用、一元二次方程根与系数关系以及圆的计算；第17和18一般考查反比例函数与几何综合，几何综合计算，几何图形的翻折、旋转变换；解答题第19题是基本计算，主要是数与式的计算、解方程与不等式，第20题考查数据的统计和分析；第21题一般是概率题；第22题考查圆的计算或证明，作出合理的辅助线是解题的关键；第23题是解直角三角形的应用或特殊四边形的判定和性质；第24题考查函数的的实际应用；第25题主要考查特殊四边形的性质或图形的翻折旋转变换，综合性较强，解题方法丰富，属于中考压轴题．第26题主要考查含参二次函数，可以与一次函数或反比例函数综合，一般不与几何图形综合，往往以新定义形式出现．

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．温度从﹣5℃下降了8℃后为（　　）
A．3℃ B．13℃ C．﹣3℃ D．﹣13℃
【答案】 D．
【分析】根据有理数的减法法则求出即可．
【详解】 解：﹣5﹣8＝﹣13（℃）．
故选：D．
【点睛】 本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题关键．
2．冬季是流行性感冒的高发期，在某网站搜索关键词“流感”，相关信息达到43900000条，则该数据用科学记数法表示为（　　）
A．4.39×107 B．4.39×106 C．43.9×107 D．43.9×108
【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】 解：43900000＝4.39×107．
故选：A．
【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列算式中，结果一定等于a6的是（　　）
A．a3+a2 B．a3•a2 C．a8﹣a2 D．（a2）3
【答案】D．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可解答．
【详解】 解：A．a3与a2不能合并，故A不符合题意；
B．a3•a2＝a5，故B不符合题意；
C．a8与a2不能合并，故C不符合题意；
D．（a2）3＝a6，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】 本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
4．以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
【答案】 A．
【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答．
【详解】 解：A．了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合全面调查，故选项A符合题意；
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项B不符合题意；
C．调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故选项C不符合题意；
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，适合抽样调查，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查，无法进行普查，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）


A． B． C． D．
【答案】A．
【分析】根据三视图结合选项利用排除法求解．
【详解】 解：根据俯视图知第一层有3个，前面一排有2个，故排除掉A、C选项，
根据主视图和左视图知第二层第一列有1个，排除掉D，
故选：B．
【点睛】 本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有一定的空间想象能力，难度不大．
6．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长是（　　）

A．20 B．24 C．28 D．40
【答案】A．
【分析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
【详解】 解：∵菱形对角线互相垂直平分，
∴BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，
∴AB=AO2+BO2=5，
故菱形的周长为20．
故选：A．

【点睛】 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
7．《九章算术》中记载：“今有共买牛，人出六，不足四十；人出八，余四；问人数、牛价各几何？”其大意是：今有人合伙买牛，若每人出6钱，还差40钱；若每人出8钱，多余4钱，问合伙人数、牛价各是多少？设合伙人数为x人，牛价为y钱，根据题意，可列方程组为（　　）
A．y=6x+40y=8x+4 B．y=6x+40y=8x-4
C．y=6x-40y=8x+4 D．y=6x-40y=8x-4
【答案】 B．
【分析】根据“若每人出6钱，还差40钱；若每人出8钱，多余4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】 解：∵若每人出6钱，还差40钱，
∴y＝6x+40；
∵若每人出8钱，多余4钱，
∴y＝8x﹣4．
∴可列方程组y=6x+40y=8x-4．
故选：B．
【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．7在数轴上位于相邻的两个整数之间，这两个相邻的整数是（　　）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】 B．
【分析】估算出7的值即可解答．
【详解】 解：∵4＜7＜9，
∴2＜7＜3，
∵7在数轴上位于相邻的两个整数之间，
∴这两个相邻的整数是2和3，
故选：B．
【点睛】 本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
9．如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（　　）

①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．
②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．
③当0＜t≤6时，S=34t2．
④当t＝9+3时，△ADH∽△ABM．
⑤当9＜t＜9+33时，S＝﹣3t+9+33．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
【答案】 A．
【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH＝AB＝6cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD＝AB＝6cm；当6≤t≤9时，S=93且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，可得HC＝3 cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论．
【详解】 解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，

①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，
∴AH＝AB＝6cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6 cm．
∵当t＝6s时，S＝93 cm2，
∴12×AB×BC＝93．
∴BC＝33 cm．
∵当6≤t≤9时，S=93且保持不变，
∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，
∴HC＝3 cm，即点H为CD的中点．
∴BH=CH2+BC2=32+(33)2=6 cm．
∴AB＝AH＝BH＝6cm，
∴△ABM为等边三角形．
∴∠HAB＝60°．
∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，
∴AM＝AN，
∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：

此时有两个符合条件的点；
当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：

当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：

综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．
∴②不正确；
③过点M作ME⊥AB于点E，如图，

由题意：AM＝AN＝t，
由①知：∠HAB＝60°．
在Rt△AME中，
∵sin∠MAE=MEAM，
∴ME＝AM•sin60°=32tcm，
∴S=12AN×ME=12×32t×t=34t2 cm2．
∴③正确；
④当t＝9+3时，CM=3 cm，如图，

由①知：BC＝33 cm，
∴MB＝BC﹣CM＝23 cm．
∵AB＝6cm，
∴tan∠MAB=BMAB=236=33，
∴∠MAB＝30°．
∵∠HAB＝60°，
∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．
∴∠DAH＝∠BAM．
∵∠D＝∠B＝90°，
∴△ADH∽△ABM．
∴④正确；
⑤当9＜t＜9+33时，此时点M在边BC上，如图，

此时MB＝9+33-t，
∴S=12×AB×MB=12×6×（9+33-t）＝27+93-3t．
∴⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：A．
【点睛】 本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．
10．已知二次函数y＝（a﹣2）x2+2ax+a﹣3（a是常数）的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），x1≠x2，则下列说法正确的是（　　）
①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；
②若该函数图象开口向下，则a的取值范围为65＜a＜2；
③若a＝3，当t≤x≤0时，y的最大值为零，最小值为﹣9，则t的取值范围是﹣6≤t≤﹣3．
A．①对，②和③错 B．①和②对，③错 C．①和③对，②错 D．①，②和③都对
【答案】 D．
【分析】将二次函数解析式变形为y＝a（x+1）2﹣2x2﹣3，可知当x＝﹣1时，y＝﹣2×1﹣3＝﹣5，即二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5），即可判断①；由该函数图象开口向下，可得a﹣2＜0，即a＜2，由已知条件可得Δ＝（2a）2﹣4（a﹣2）（a﹣3）＞0，解得a＞65，即可判断②；若a＝3，则y＝x2+6x＝（x+3）2﹣9，所以该函数图象开口向上，对称轴为x＝﹣3，由抛物线的对称性及y的最大值和最小值，即可判断③．
【详解】 解：y＝（a﹣2）x2+2ax+a﹣3＝a（x+1）2﹣2x2﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣2×1﹣3＝﹣5，
∴二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5），
故①正确；
∵该函数图象开口向下，
∴a﹣2＜0，即a＜2，
∵二次函数y＝（a﹣2）x2+2ax+a﹣3（a是常数）的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），
∴Δ＝（2a）2﹣4（a﹣2）（a﹣3）＞0，
解得a＞65，
∴65＜a＜2，
故②正确；
若a＝3，则y＝x2+6x＝（x+3）2﹣9，
∴该函数图象开口向上，对称轴为x＝﹣3，
∵当t≤x≤0时，y的最大值为零，最小值为﹣9，
∴﹣6≤t≤﹣3，
故③正确．
故选：D．
【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
二．填空题（共8小题，满分30分）
11．计算：（﹣1）2020﹣（π﹣1）0+|2-3|＝　2-3　．
【答案】2-3．
【分析】首先计算零指数幂、乘方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】 解：（﹣1）2020﹣（π﹣1）0+|2-3|
＝1﹣1+2-3
＝2-3．
故答案为：2-3．
【点睛】 此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
12．在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：4：5，则∠C＝　120°　．
【答案】 120°．
【分析】根据多边形的内角和公式及各角的比即可求得各角的度数．
【详解】 解：根据四边形的内角和是360°，得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
又∵∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：4：5，
则∠C＝360°×412=120°．
故答案为120°．
【点睛】 本题主要考查了根据四边形的内角和结合已知条件计算各个角的度数，难度适中．
13．（4分）把多项式x2y﹣9y分解因式为　y（x+3）（x﹣3）　．
【答案】 y（x+3）（x﹣3）
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】 解：原式＝y（x2﹣9）
＝y（x+3）（x﹣3），
故答案为：y（x+3）（x﹣3）
【点睛】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（4分）若一个圆锥的侧面展开图形是一个半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为　3　cm．
【答案】 3．
【分析】设圆锥的底面半径为rcm，利用弧长公式得到2πr=180π×2180，然后求出l后利用勾股定理计算圆锥的高．
【详解】 解：圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得2πr=180π×2180
解得r＝1，
所以圆锥的高=22-12=3（cm）．
故答案为3．
【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（4分）若m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的解，则代数式4m﹣2m2+2的值是　﹣4　．
【答案】 ﹣4．
【分析】先由方程的解的含义，得出m2﹣2m﹣3＝0，变形得m2﹣2m＝3，再将要求的代数式提取公因式﹣2，然后将m2﹣2m＝3代入，计算即可．
【详解】 解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的解，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴4m﹣2m2+2
＝﹣2（m2﹣2m）+2
＝﹣2×3+2
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】 本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．
16．（4分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为30°，再向建筑物CD前进20米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°，则建筑物CD的高度为　103　米（结果保留根号）．

【答案】103．
【分析】在Rt△BDC中和Rt△ACD中，∠DAC＝30°，∠DBC＝60°，可得∠ADB＝30°，得DB＝AB＝20米，进而可得到结论．
【详解】 解：在Rt△BDC中和Rt△ACD中，
∵∠DAC＝30°，∠DBC＝60°，
∴∠ADB＝30°，
∴DB＝AB＝20米，
∴BC＝10米，
∴CD＝103（米），
答：建筑物CD的高度为103米．
故答案为：103．
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
17．（4分）已知，一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1），当m变化时，下列结论正确的有 　①③　（把正确的序号填上）．①当m＝2时，图象经过一、三、四象限；②当m＞0时随x的增大而减小；③点（2，1）肯定在函数图象上；④当m=23时，一次函数变为正比例函数．
【答案】 ①③．
【分析】①利用一次函数的性质判断即可；
②利用一次函数的性质判断即可；
③将（2，1）代入函数解析式判断即可；
④根据正比例函数的定义判断即可
【详解】 解：①当m＝2时，y＝x﹣1，
∵k＝1＞0，b＝﹣1＜0，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，
故①正确；
②当m﹣1＞0，即m＞1时，y随x的增大而增大，
故②错误；
③当x＝2时，y＝2（m﹣1）+3﹣2m＝2m﹣2+3﹣2m＝1，
∴点（2，1）在函数图象上，
故③正确；
④当m=23时，3﹣2m＝3﹣2×23=53≠0，m﹣1≠0，
∴一次函数不是正比例函数，
故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】 本题综合考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点O是△ABC的外心，连接CO并延长交边AB于点P，AP＝3，BP＝4，则cos∠ABC的值为 　66　．

【答案】66．
【分析】先作AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质和三角形外心的定义，可以得到AD过点O，再根据相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，可以得到AO和OD的关系，然后即可得到BD，再根据勾股定理可以表示出AB，最后根据cos∠ABC=BDAB，代入数据计算即可．
【详解】 解：作AD⊥BC交BC于点D，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴AD垂直平分BC，
∵点O是△ABC的外心，
∴AD经过点O，
连接BO，作DE∥AB交CP于点E，
∴△AOP∽△DOE，OA＝OB，
∴AODO=APDE，
∵DE∥BP，点D为BC的中点，BP＝4，AP＝3，
∴DE=12BP＝2，
∴AODO=32，
设AO＝3a，则DO＝2a，BO＝AO＝3a，
∵∠BDO＝90°，
∴BD=BO2-OD2=(3a)2-(2a)2=5a，
∵∠ADB＝90°，AD＝AO+OD＝5a，BD=5a，
∴AB=AD2+BD2=(5a)2+(5a)2=30a，
∴cos∠ABC=BDAB=5a30a=66，
故答案为：66．

【点睛】 本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分90分）
19．（10分）解答下列各题：
（1）解分式方程：31-y=yy-1-5．
（2）先化简，再求值：（2a﹣3）（3a+1）﹣6a（a﹣4），其中a=217．
【答案】 （1）y＝2；（2）﹣1
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）原式利用多项式乘多项式，单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】 解：（1）去分母得：﹣3＝y﹣5（y﹣1），
去括号得：﹣3＝y﹣5y+5，
移项合并得：4y＝8，
解得：y＝2，
检验：把y＝2代入得：y﹣1＝1≠0，
∴分式方程的解为y＝2；
（2）原式＝6a2+2a﹣9a﹣3﹣6a2+24a
＝17a﹣3，
当a=217时，原式＝17×217-3＝2﹣3＝﹣1．
【点睛】 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
20．（10分）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm．
（1）∠ABD的度数为 　2α　．（用含α的式子表示）
（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．
（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回答即可）

【答案】 见试题解答内容
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出AB＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠DBE，进而得出答案；
（2）根据相似三角形的判定证得△ACD∽△BEA，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可求出结果；
（3）利用（1）可知视角变小，则需要远离墙壁，进而得出答案．
【详解】 解：（1）连接BD，
∵AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，
∴AB⊥PM，
∴∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠PAD＝90°﹣∠BAE＝α，
∵AE＝DE，BE⊥AD，
∴AB＝BD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α，
故答案为：2α；
（2）过点D作DC⊥PM交PM于点C，
由题意得AB＝250cm，AD＝100cm，
则AE＝50cm，
∵∠CAD＝∠ABE＝α，∠ACD＝∠AEB＝90°，
∴△ACD∽△BEA，
∴CDAE=ADAB，
∴CD50=100250，
∴CD＝20（cm），
∴油画顶部到墙壁的距离CD是20cm；
（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁PM．

【点睛】 此题主要考查了相似三角形的应用以及视角问题，根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BD是解题关键．
21．（10分）某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分）．
收集数据：
七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100；
八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．
分析数据：

平均数
中位数
众数
方差
七年级
89
m
90
39
八年级
n
90
p
q
根据以上信息回答下列问题：
（1）m＝　90　，n＝　90　，p＝　90　；
（2）从方差的角度看，　八年级　的成绩更稳定（填“七年级”或“八年级”）；
（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；
【答案】 见试题解答内容
【分析】（1）根据中位数、平均数、方差、众数的意义和建设方法进行即可；
（2）根据平均数和方差进行比较即可；
（3）根据平均数和方差的大小进行比较即可．
【详解】 解：（1）七年级10名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是90，因此七年级学生成绩的中位数为90，即m＝90；
八年级学生成绩的平均数为80+85×2+90×4+95×2+10010=90，即n＝90；
八年级学生成绩出现次数最多的是90，共出现4次，因此众数是90，即P＝90；
故答案为：90，90，90；
（2）八年级学生成绩较好，理由是：
七年级学生成绩的方差q=110[（80﹣90）2+（85﹣90）2×2+（95﹣90）2+（100﹣90）2]＝30，即p＝30；
八年级学生成绩的平均数比七年级学生平均成绩要高，而方差八年级比七年级的要小，
因此八年级成绩较好，
故答案为：八年级；
（3）八年级成绩更好．
两个年级中位数和众数相同，八年级的平均数比七年级高，方差比七年级小，故八年级成绩更好．
如学生只回答平均数或只回答方差扣两分．
【点睛】 本题考查平均数、中位数、方差、众数，理解平均数、中位数、方差、众数的定义是正确解答的前提，掌握平均数、中位数、方差、众数的计算方法是解决问题的关键．
22．（11分）“一方有难，八方支援”．武汉新冠病毒牵动着全国人民的心，我市某医院甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士报名支援武汉．
（1）若从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，求恰好选中医生甲的概率；
（2）若从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中随机选一位医生和一名护士，求恰好选中医生甲和护士A的概率．
【答案】 见试题解答内容
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6个等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A的结果有1个，再由概率公式求解即可．
【详解】 （1）从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，恰好选中医生甲的概率为13；
（2）画树状图如下：

共有6个等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A的结果有1个，
∴恰好选中医生甲和护士A的概率为16．
【点睛】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．（11分）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠A＝110°，BD＝CD．
（1）求∠DBC的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求BC的长．

【答案】 见试题解答内容
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠C的度数，然后根据等边对等角可得答案；
（2）首先计算出∠BDC的度数，再根据圆周角定理可得∠BOC的度数，进而可得BC的长．
【详解】 解：（1）∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD＝180°，
∵∠A＝110°，
∴∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝70°；

（2）连接BO、CO，
∵∠C＝∠DBC＝70°，
∴∠BDC＝40°，
∴∠BOC＝80°，
故BC的长l=80π×3180=4π3．

【点睛】 此题考查了弧长的计算，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣2（a＞0）．
（1）二次函数图象的对称轴是 　x＝﹣1　；
（2）当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式；
（3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【答案】 见试题解答内容
【分析】（1）利用二次函数的性质解答即可；
（2）利用二次函数的性质和待定系数法解答即可；
（3）结合二次函数的图象，利用二次函数的性质列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】 解：（1）∵x=-2a2a=-1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax﹣2＝a（x+1）2﹣a﹣2，
∵a＞0，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为﹣a﹣2，
当﹣2≤x≤1时，x＝1时函数有最大值3a﹣2，
∵当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为3，
∴3a﹣2﹣（﹣a﹣2）＝3，
∴a=34．
∴该二次函数的表达式为y=34x2+32x﹣2；
（3）当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，t的取值范围是：﹣3≤t≤1．理由：
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＝2与x＝﹣4时的函数值相等，
∵a＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∵当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，
∴t-1≥-4t+1≤2，
解得：﹣3≤t≤1．
【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（13分）如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴正半轴上，OA＝1，点B的坐标为（5，3），点C在y轴正半轴上，BC⊥y轴，垂足为点C，连接AB，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的横坐标为t（t＞0）．
（1）点A的坐标为 　（1，0）　，点C的坐标为 　（0，3）　；
（2）连接PB，设△PAB的面积为S．
①求S与t之间的函数关系式；
②当S=34时，求出点P的坐标．
（3）点Q是直线BC上一点，当△QAB是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．

【答案】 见试题解答内容
【分析】（1）根据OA，OC对称写出坐标即可．
（2）①如图1中，过点B作BD⊥x轴于D．根据三角形面积公式求解即可，同理可求出t＞1时的函数关系式．
②分两种情形：0＜t＜1或t＞1，利用三角形的面积构建方程求解即可．
（3）分三种情况：①当AB＝BQ，②当AB＝AQ时，③当AQ＝BQ时，由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【详解】 解：（1）∵OA＝1，
∴A（1，0），
∵B（5，3），BC⊥y轴，
∴C（0，3）．
故答案为：（1，0），（0，3）．

（2）①如图1中，过点B作BD⊥x轴于D．

∵P（t，0），A（1，0），B（5，3），0＜t＜1，
∴PA＝1﹣t，BD＝3，
∴S=12•PA•BD=12×（1﹣t）×3=-32t+32，
∴S=-32t+32（0＜t＜1）．
同理，当t＞1时，S=32t-32，
∴S=-32t+32(0＜t＜1)32t-32(t＞1)．
②当0＜t＜1时，34=-32t+32，解得t=12，则P（12，0），
当t＞1时，34=32t-32，解得t=32．则P（32，0）．
综上所述，满足条件的P点坐标为（12，0）或（32，0）．

（3）如图1，BD＝3，AD＝4，
∴AB=AD2+BD2=42+32=5，
①当AB＝BQ，点Q在点B的右侧，
∴CQ＝5+5＝10，
∴Q（10，3），
当AB＝BQ，点Q在点B的左侧，此时点Q与点C重合．
∴Q（0，3），
②当AB＝AQ时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，

则BM＝QM＝4，
∴CQ＝3，
∴Q（﹣3，3），
③当AQ＝BQ时，如图3．过点A作AM⊥BC于点M，

设AQ＝a，MQ＝4﹣a，
∵MQ2+AM2＝AQ2，
∴（4﹣a）2+32＝a2，
解得a=258，
∴CQ＝5-258=158，
∴Q（158，3）．
综合以上可得，点Q的坐标为（10，3）或（0，3）或（﹣3，3）或（158，3）．
【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
26．（13分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y＝2x﹣4图象交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（1）若k＝6．
①求A、B两点的坐标；
②过y轴正半轴上一动点C（0，n）作平行于x轴的直线，分别与一次函数y＝2x﹣4、反比例函数y=kx的图象相交于D、E两点，若CD＝3DE，求n的值；
（2）若一次函数y＝2x﹣4图象与x轴交于点F，AF+BF≤35，直接写出k的取值范围．
【答案】 见试题解答内容
【分析】（1）①联立两个函数解析式，解方程可得答案；
②分0＜n＜2或n＞2两种情形，分别表示出点D和E的横坐标，从而得出CD和DE的长，列方程即可解决问题；
（2）设A（x1，2x1﹣4），B（x2，2x2﹣4），联立两个函数解析式，可得x1+x2＝2，x1x2=-k2，当k＞0时，AF+BF＝AB，利用两点间距离公式表示出AB，当k＜0时，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y＝2x﹣4的图象有两个交点，利用根的判别式可得答案．
【详解】 解：（1）①联立y=6xy=2x-4解得x1=3y1=2，x2=-1y2=-6，
∵点A在点B左侧，
∴A（﹣1，﹣6），B（3，2）；
②∵过y轴正半轴上一动点C（0，n）作平行于x轴，
∴点D，E的纵坐标都为n，
将y＝n代入y＝2x﹣4与y=6x得，
xD=n2+2，xE=6n，
∵B（3，2），
∴分两种情况：
当0＜n＜2时，CD=n2+2，DE=6n-(n2+2)=6n-n2-2，

∵CD＝3DE，
∴n2+2=3(6n-n2-2)，
解得n＝﹣2+13或﹣2-13（舍去），
当n＞2时，CD=n2+2，DE=n2+2-6n，

∵CD＝3DE，
∴n2+2=3(n2+2-6n)，
解得n＝﹣2+22或﹣2-22（舍去），
综上，n的值为﹣2+13或﹣2+22；
（2）∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y＝2x﹣4图象交于A、B两点，
∴kx=2x-4，
即2x2﹣4x﹣k＝0，
∴x1+x2＝2，x1x2=-k2，
设A（x1，2x1﹣4），B（x2，2x2﹣4），
当k＞0时，AF+BF＝AB=(x1-x2)2+[(2x1-4)-(2x2-4)]2=5(x1-x2)2≤35，
即（x1﹣x2）2≤9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4﹣4×(-k2)=4+2k≤9，
∴k≤52，
∴0＜k≤52，
当k＜0时，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y＝2x﹣4的图象有两个交点，
则Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣k）＝16+8k＞0，
∴k＞﹣2，
∴﹣2＜k＜0，
综上，k的取值范围是0＜k≤52，或﹣2＜k＜0．
【点睛】 本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式等知识，利用根的判别式是解决问题（2）的关键，同时注意分类讨论思想的运用．