数学（新高考Ⅰ卷B卷）-学易金卷：2023年高考第—次模拟考试卷

2023年高考数学第一次模拟考试卷（新高考Ⅰ卷）

数学·参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．2            14．             15．           16．36

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】(1)(2)①③正确,（i）;（ii）

【详解】（1）解:由题意知

,即

,,故;（4分）

（2）由（1）得,,故条件②不成立,即条件①③正确,

在中,由余弦定理可得:,即,

对于条件①:,与上式结合可得,

对于条件③:,故,所以,

将代入可得: ,（6分）

（i）在中,由正弦定理可得:

,即,,（8分）

（ii）是的角平分线,,

,

,,  在中,由余弦定理可得

,故.

综上:条件①③正确, ,.（10分）

18．【答案】(1)(2)证明见解析(3)

【解析】（1）当时，，解得：；

当且时，，

整理可得：，又，，（2分）

数列是以为首项，为公差的等差数列，.（4分）

（2）由（1）得：，（6分）

.（8分）

（3）由得：，，；（9分）

①当为偶数时，；

由得：，又，；（10分）

②当为奇数时，；（11分）

综上所述：满足的最小正整数的值为.（12分）

19．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望：(3)至少要进行11轮测试

【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，

其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件，

则，，（2分）

所以，.（4分）

（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为，

所以，，

，，（6分）

所以的分布列如下表：

所以（8分）

（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件，则，

由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，（10分）

由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试（12分）

20．【答案】(1)证明见解析  (2)存在，

【详解】（1）依题意矩形，，，是中点，所以，

又，所以，，，（2分）

因为平面平面，平面平面，所以平面，

又平面，所以.（4分）

（2）

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，（6分）

设是的中点，

因为，所以，

又平面平面，平面平面，

所以平面，，（8分）

假设存在满足题意的，则由.

可得，.

设平面的一个法向量为，

则，令，可得，，即，（10分）

设与平面所成的角为，所以

解得（舍去），

综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.（12分）

21．【答案】(1) (2)存在

【详解】（1）解：抛物线的焦点为，

由题意可得，，，故，

因此，椭圆的方程为.（3分）

（2）解：设、，设直线的方程为，其中，

联立，得，，

由韦达定理可得，，（6分）

所以，

易知点、，，

所以，直线的方程为，（8分）

将代入直线的方程可得，即点，

，，（10分）

所以，，

所以，.（12分）

22．【答案】(1)见解析(2)见解析

【详解】（1）证明：要证，即证，

即证，令，即证，（2分）

令，

当时，即时，

由，可得，因为，，

在上恒成立，

所以在上单调递减，则当时，，所以；（5分）

（2）证明：由（1）知，当时，，令，

则，（8分）

即，

所以，

……．

，（10分）

以上各式相加，得，

则，而，

即.（12分）