2023年湖北省襄阳市南漳县中考模拟预测数学试题（含答案）

这是一份2023年湖北省襄阳市南漳县中考模拟预测数学试题（含答案），共28页。
南漳县2023年中考适应性考试
数学试题
考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图所示，五个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）cos60°的值等于（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
4．（3分）反比例函数的图象过（3，6），则k的值为（　　）
A．15 B．18 C．21 D．25
5．（3分）已知点（2，y1），（3，y2）在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1和y2的大小不能确定
6．（3分）若点A（x1，﹣2），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x1＜x2
7．（3分）如图是反比例函数的图象，则一次函数y＝kx﹣2的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是BC的三等分点，G是AD的中点，AF，EG交于点H，则＝（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论中错误的是（　　）

A．四边形AECF是菱形
B．∠AFB＝2∠ACB
C．AC•EF＝CF•CD
D．若AF平分∠BAC，则CF＝2BF
10．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，，D是AB中点，P是以A为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、PC，则 的最大值为（　　）

A． B． C． D．
评卷人
得 分


二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）已知点A（1，﹣3）在反比例函数的图象上，则实数k的值为 　 　．
12．（4分）如图，A是双曲线上的一点，点C是AO的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 　 　．

13．（4分）已知点P（m，n）在双曲线上，则m2﹣3mn+n2的最小值为 　 　．
14．（4分）如图，点D在△ABC的AD边上，且AD：AB＝2：5，过点D作DE∥BC，交AC于点E，连接BE，则△ABE与△BEC的面积之比为 　 　．

15．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE⊥BD，若AB＝3，AD＝4，则BE的长为 　 　．

评卷人
得 分


三．解答题（共8小题，满分70分）
16．（6分）平面直角坐标系xOy中，点A在第一、三象限的角平分线上．点M（9，4）．和点A在函数（x＞0）的图象上．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）求直线AM对应的函数解析式．
17．（8分）如图①，四边形ABCD是正方形，点E是对角线AC上一点（点E不与点A，C重合），过点E作EF∥CD，交BC于点F，作EG∥BC，交CD于点G．

（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）如图②，将四边形EFCG绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，DG，求的值．
18．（8分）如图，热气球的探测器显示，从热气球所在位置A处看一栋楼顶部B处的仰角为35°，看这栋楼底部C处的俯角为61°．已知这栋楼BC的高度为400m，求热气球所在位置与该楼的水平距离（结果保留整数）．（参考数据：tan35°≈0.70，tan61°≈1.80）

19．（8分）已知反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣2）．
（1）求反比例函数表达式；
（2）若点在该函数图象上，求m的值．
20．（10分）如图，AD、AE分别是△ABC边BC上的高和中线，已知 ，∠C＝45°．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠BAE的值．

21．（10分）如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F，连结AF交CD于点E，若．
（1）若BC＝3，求线段CF的长；
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．

22．（10分）挡车器是安全停车的好妿手，车轮与挡车器斜面相切为挡车有效状态．如图，某挡车器的横截面是等腰梯形ABCD，车轮⊙O与地面相切于点E，与挡车器斜面恰好相切于点A，点O，A，B，E再同一平面内．
（1）判断∠ABC与∠AOE的关系，并说明理由；
（2）测得挡车器腰长AB＝10cm，，求车轮⊙O的直径．

23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，且点A，C不重合，P为⊙O外一点，PA＝PC，连接AC，BC，连接OP交AC于点E，交⊙O于点D，连接DC．
（1）当∠AOP＝∠ACP时，求证：AP为⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，连接BP交CD于点F．当BC＝6，tan∠ABP＝时，求线段DF的长．


南漳县2023年中考适应性考试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图所示，五个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，是一列两个相邻的小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
2．（3分）cos60°的值等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【解答】解：cos60°＝，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴图象在一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴或，
解得a＞1或a＜﹣1，
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴，
无解，
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
4．（3分）反比例函数的图象过（3，6），则k的值为（　　）
A．15 B．18 C．21 D．25
【分析】根据给定点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，此题得解．
【解答】解：∵反比例函数的图象过（3，6），
∴k﹣3＝3×6，
∴k＝21．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于k的一元一次方程是解题的关键．
5．（3分）已知点（2，y1），（3，y2）在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1和y2的大小不能确定
【分析】反比例函数的系数为﹣k2﹣1＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵﹣k2﹣1＜0，
∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵0＜2＜3，
∴图象在第四象限，
∴y1＜y2，
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
6．（3分）若点A（x1，﹣2），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x1＜x2
【分析】直接把各点坐标代入反比例函数的解析式，求出x1，x2，x3的值，再比较大小即可．
【解答】解：∵点A（x1，﹣2），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数的图象上，
∴﹣2＝﹣，解得x1＝6；
2＝﹣，解得x2＝﹣6；
6＝﹣，解得x3＝﹣2，
∵﹣6＜﹣2＜6，
∴x2＜x3＜x1．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
7．（3分）如图是反比例函数的图象，则一次函数y＝kx﹣2的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，再判断一次函数y＝kx﹣2的图象所经过象限即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象的两个分支分别位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣2的图象图象经过第二、三、四象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，关键是掌握反比例函数y＝（k≠0），当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是BC的三等分点，G是AD的中点，AF，EG交于点H，则＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】由平行四边形的性质可得出AD∥BC，AD＝BC，进而可证△FEH∽△AGH，得出．结合题意易求出，即可求出．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△FEH∽△AGH，
∴．
∵E，F是BC的三等分点，G是AD的中点，
∴，，
∴，即，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题关键．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论中错误的是（　　）

A．四边形AECF是菱形
B．∠AFB＝2∠ACB
C．AC•EF＝CF•CD
D．若AF平分∠BAC，则CF＝2BF
【分析】根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，设AC与MN的交点为O，证明四边形AECF是菱形，即可判断A，进而根据等边对等角即可判断B；根据菱形的性质求面积即可求解判断C；根据角平分线的性质可得BF＝FO，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解D．
【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，

∴AO＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，AO＝OC，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝FC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴四边形AECF是菱形，故选项A正确，不符合题意．
∵FA＝FC，
∴∠FAC＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，故选项B正确，不符合题意．
由菱形的面积可得，故C选项错误，符合题意．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
若AF平分∠BAC，FB⊥AB，FO⊥AC，则FO＝BF，
∴∠FAC＝∠BAF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵∠FAC+∠BAF+∠FCA＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴，
∵FO＝BF，
∴CF＝2BF，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，，D是AB中点，P是以A为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、PC，则 的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据阿氏圆的定义，固定BP，分别确定A点、C点的运动轨迹为阿氏圆，由此可知当PC最大时，的值最小，PC＝PO'﹣O'C时最小，再求解即可．
【解答】解：固定BP，则＝2，
∴A点的运动轨迹为阿氏圆O，
设OP＝a，则AO＝2a，OB＝4a，
∵∠ABC＝90°，＝2，
∴C点的运动轨迹为阿氏圆O'，
∴∠OBO'＝90°，
∴O'B＝2a，O'C＝a，
∴当PC最大时，的值最小，
∴＝＝＝，
故选：D．

【点评】本题考查直角三角形，熟练掌握阿氏圆的定义，能够确定A、C点的运动轨迹是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）已知点A（1，﹣3）在反比例函数的图象上，则实数k的值为 　﹣4　．
【分析】把点A（1，﹣3）代入反比例函数解析式求解即可．
【解答】解：把点A（1，﹣3）代入反比例函数，得，
解得k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练运用待定系数法求反比例函数解析式是解题关键．
12．（4分）如图，A是双曲线上的一点，点C是AO的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 　3　．

【分析】根据中线与三角形的面积关系，结合反比例函数k的几何意义计算即可．
【解答】解：∵点C是AO的中点，
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，
∴S△ABD＝S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB＝S△OBD，
∵点B是双曲线上一点，BD⊥OD，
∴，
∴△ABD的面积是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角形中线的性质，熟练掌握k的几何意义，三角形中线的性质是解题的关键．
13．（4分）已知点P（m，n）在双曲线上，则m2﹣3mn+n2的最小值为 　5　．
【分析】将点P（m，n）代入双曲线得到mn＝﹣1，由（m+n）2＝m2+2mn+n2≥0得出m2+n2≥﹣2mn，从而求出m2﹣3mn+n2的最小值．
【解答】解：将点P（m，n）代入双曲线，
得：，
∴mn＝﹣1，
∵（m+n）2＝m2+2mn+n2≥0，
∴m2+n2≥﹣2mn，
∴m2﹣3mn+n2≥﹣2mn﹣3mn＝﹣5mn＝5，
∴m2﹣3mn+n2的最小值为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查反比例函数的坐标与完全平方式，解题的关键是掌握由（m+n）2＝m2+2mn+n2≥0得出m2+n2≥﹣2mn．
14．（4分）如图，点D在△ABC的AD边上，且AD：AB＝2：5，过点D作DE∥BC，交AC于点E，连接BE，则△ABE与△BEC的面积之比为 　2：3　．

【分析】根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，进而得出，即可进行解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB＝2：5，
∴，则 ，
∴S△ABE：S△BEC＝2：3，
故答案为：2：3．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例，等高的三角形，面积比等于底的比．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE⊥BD，若AB＝3，AD＝4，则BE的长为 　　．

【分析】证明△ABE∽∠DAB即可作答．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴△ABE∽∠DAB，
∴，
∵AB＝3，AD＝4，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽∠DAB是解答本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．（6分）平面直角坐标系xOy中，点A在第一、三象限的角平分线上．点M（9，4）．和点A在函数（x＞0）的图象上．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）求直线AM对应的函数解析式．
【分析】（1）把点M（9，4）代入函数（x＞0），求出k的值得到反比例函数的解析式，再将x＝y代入反比例函数的解析式，即可求出点A的坐标；
（2）设直线AM对应的函数解析式为y＝ax+b，将A、M两点的坐标代入，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）∵点M（9，4）在函数（x＞0）的图象上，
∴k＝9×4＝36，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点A在第一、三象限的角平分线上，且点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴当x＝y时，y2＝36，
∴y＝6（负值舍去），
∴x＝6，
∴点A的坐标为（6，6）；
（2）设直线AM对应的函数解析式为y＝ax+b，
将A、M两点的坐标代入，
得，解得，
∴直线AM对应的函数解析式为y＝﹣x+10．
【点评】本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相等的特征，掌握待定系数法是解题的关键．
17．（8分）如图①，四边形ABCD是正方形，点E是对角线AC上一点（点E不与点A，C重合），过点E作EF∥CD，交BC于点F，作EG∥BC，交CD于点G．

（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）如图②，将四边形EFCG绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，DG，求的值．
【分析】（1）先由正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，进而证明四边形EFCG是矩形，再由角平分线的性质得到EF＝EG，即可证明四边形EFCG是正方形；
（2）根据正方形的性质得到，进而证明△ACE∽△DCG，则．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∵EG∥BC，EF∥CD，
∴四边形EFCG是平行四边形，
又∵∠FCG＝90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴EF⊥BC，EG⊥CD，
∴EF＝EG（角平分线的性质），
∴四边形EFCG是正方形；

（2）解：∵四边形ABCD，EFCG都是正方形，
∴，
∴∠ACE＝∠DCG，
∴△ACE∽△DCG，
∴．
【点评】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟知正方形的性质与判定条件是解题的关键．
18．（8分）如图，热气球的探测器显示，从热气球所在位置A处看一栋楼顶部B处的仰角为35°，看这栋楼底部C处的俯角为61°．已知这栋楼BC的高度为400m，求热气球所在位置与该楼的水平距离（结果保留整数）．（参考数据：tan35°≈0.70，tan61°≈1.80）

【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，∠BAD＝35°，∠CAD＝61°，BC＝400m，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义得到BD＝AD⋅tan35°，在Rt△ACD中，根据三角函数的定义得到CD＝AD⋅tan61°，于是得到结论．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．

根据题意，∠BAD＝35°，∠CAD＝61°，BC＝400m．
在Rt△ABD中，，
∴BD＝AD⋅tan35°．
∵在Rt△ACD中，，
∴CD＝AD⋅tan61°．
又BC＝BD+CD，
∴m．
答：热气球所在位置与楼的水平距离约为160m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
19．（8分）已知反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣2）．
（1）求反比例函数表达式；
（2）若点在该函数图象上，求m的值．
【分析】（1）将点A（﹣4，﹣2）代入求解即可；
（2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（﹣4，﹣2），
∴将A（﹣4，﹣2）代入，得k＝﹣4×（﹣2）＝8，
∴反比例函数解析式为；
（2）∵点在这个函数图象上，
∴把代入
得，
解得：m＝±4，
∴m的值为±4．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的特征．
20．（10分）如图，AD、AE分别是△ABC边BC上的高和中线，已知 ，∠C＝45°．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠BAE的值．

【分析】（1）根据三角形中线的定义得出BE＝EC＝BC＝4．根据正切函数的定义设AD＝x，则DC＝x，BD＝3x．由BD+DC＝BC＝8，列出方程3x+x＝8，求出x即可得到AD的长；
（2）如图，作EF⊥AB于F．利用勾股定理求出AE＝＝2．在Rt△BEF中，利用正切函数定义以及勾股定理求出EF＝，然后根据正弦函数定义即可求出sin∠BAE＝＝＝．
【解答】解：（1）∵AE是△ABC边BC上中线，BC＝8，
∴BE＝EC＝BC＝4．
∵AD是△ABC边BC上的高，∠C＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，AD＝DC，
∴tanB＝＝，
设AD＝x，则DC＝x，BD＝3x．
∵BD+DC＝BC＝8，
∴3x+x＝8，
解得x＝2，
∴AD的长为2；
（2）如图，作EF⊥AB于F．
由（1）知EC＝4，DC＝2，
∴ED＝EC﹣DC＝4﹣2＝2，
∴AE＝＝＝2．
在Rt△BEF中，∵tanB＝＝，
∴可设EF＝y，则BF＝3y．
∵EF2+BF2＝BE2，
∴y2+（3y）2＝42，
解得y＝，
∴EF＝，
∴sin∠BAE＝＝＝．

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形的中线和高，掌握相关定义及定理是解题的关键．
21．（10分）如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F，连结AF交CD于点E，若．
（1）若BC＝3，求线段CF的长；
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．

【分析】（1）利用平行四边形的性质可以证明△ADE∽△FCE，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解；
（2）利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出AD×ME，然后利用平行四边形的面积即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BF，AD＝BC，
∴△ADE∽△FCE，
∴＝，
而＝，
∴CF＝3AD＝3BC，
而BC＝3，
∴CF＝9；
（2）如图，过E作MN⊥AD于M，角CF于N，
∵AD∥BF，
∴EN⊥CF于N，
根据（1）EN＝3EM，
∵△ADE的面积为1，
∴×AD×ME＝3，
∴AD×ME＝6，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×MN＝AD×4EM＝4×6＝24．

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式，有一定的综合性，对于学生的要求比较高．
22．（10分）挡车器是安全停车的好妿手，车轮与挡车器斜面相切为挡车有效状态．如图，某挡车器的横截面是等腰梯形ABCD，车轮⊙O与地面相切于点E，与挡车器斜面恰好相切于点A，点O，A，B，E再同一平面内．
（1）判断∠ABC与∠AOE的关系，并说明理由；
（2）测得挡车器腰长AB＝10cm，，求车轮⊙O的直径．

【分析】（1）根据四边形的内角和定理以及切线的性质可得∠ABE+∠AOE＝180°，根据邻补角的定义可得∠ABC+∠ABE＝180°，等量代换证得∠ABC＝∠AOE；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，AF⊥OE于点F，在Rt△ABH中先利用已知确定HB＝8，进而证明四边形AHEF是矩形，求出AF＝HE＝18，在Rt△OAF中，用OA表示出OF，进而利用勾股定理求出OA即可解答．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠AOE．
理由如下：
由题意可知，⊙O与CB相切于点E，与AB相切于点A，
∴∠OAB＝90°，∠OEB＝90°，
∵∠ABE+∠AOE+∠OAB+∠OEB＝360°，
∴∠ABE+∠AOE＝180°．
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABC＝∠AOE；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，AF⊥OE于点F，

在Rt△ABH中，∵AB＝10，，
∴HB＝AB•cos∠ABC＝8，
∵BA，BE分别与⊙O相切于A，E，
∴BE＝AB＝10，
∵AH⊥BC，AF⊥OE，OE⊥BC，
∴∠AHE＝∠AFE＝∠FEH＝90°，
∴四边形AHEF是矩形，
∴AF＝HE＝HB+BE＝18，
∵∠ABC＝∠AOE，，
∴．
在Rt△OAF中，．
∵OA2﹣OF2＝AF2，
∴，
解得：OA＝30，
∴车轮⊙O的直径是60cm．
【点评】本题综合考查了解直角三角形、切线的性质等知识点，解题的关键是添加适当的辅助线构造直角三角形．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，且点A，C不重合，P为⊙O外一点，PA＝PC，连接AC，BC，连接OP交AC于点E，交⊙O于点D，连接DC．
（1）当∠AOP＝∠ACP时，求证：AP为⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，连接BP交CD于点F．当BC＝6，tan∠ABP＝时，求线段DF的长．

【分析】（1）连接OC，证明△AOP≌△COP（SSS），可得∠AOP＝∠COP，然后利用垂径定理得OP⊥AC，再根据角的和差证明AO⊥AP，进而可以解决问题；
（2）设AP＝4x，AB＝6x，所以AO＝3x，OP＝5x，证明△PDF∽△BCF，可得＝＝，即为可以解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，

在△AOP与△COP中，
，
∴△AOP≌△COP（SSS），
∴∠AOP＝∠COP，
∴＝，
∴OP⊥AC，
∴∠AOP+∠OAE＝90°，
∵PA＝PC，
∴∠ACP＝∠PAC，
∵∠AOP＝∠ACP，
∴∠PAC+∠OAE＝90°，
∴AO⊥AP，
∴AP为⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝6，tan∠ABP＝＝，
设AP＝4x，AB＝6x，
∴AO＝3x，OP＝5x，
∵OP⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AO＝BO，
∴OE＝BC＝3，
∵OP⊥AC，OA⊥AP，
∴AO2＝OE•OP，
∴（3x）2＝3×5x，
∴x＝，
∴AO＝5，AE＝EC＝4，OP＝，
∴DP＝﹣5＝，
∵AB为直径，
∴∠BCA＝90°，
∴OP∥BC，
∴△PDF∽△BCF，
∴＝＝，
∴DF＝CD，
∵ED＝2，EC＝4，
∴CD＝2，
∴DF＝．