数学（天津B卷）-学易金卷：2023年高考第一模拟考试卷

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2023年高考数学第一次模拟考试卷（天津B卷）数学·全解全析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）1．（2022·云南·建水实验中学高一阶段练习）设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题得，所以.故选：B2．（2022·福建福州·高一期中）不等式成立的一个必要不充分条件是（    ）A． B．C．或 D．【答案】A【详解】不等式即，即 ，对于A,因为，故是成立的一个必要不充分条件，A正确；而不是集合，的真子集，故错误，故选：A3．（2022·江西·高三阶段练习（理））函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】 ， 是奇函数，排除A；当 时， ，当 时， ，故选：C.4．（2022·云南昆明·高一期末）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale 1820-1910）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是（    ）A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B．2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多C．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍D．2016年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增【答案】D【详解】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A正确；对于BD，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，； 2021年，；2022年，，可知知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，故B正确，D错误；对于C，由，即2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故C正确；故选：D5．（2022·山东菏泽·高三期中）设，，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，，令，则，，，，当时，，即在上单调递减.∵，∴，即.故选：D.6．（2022·全国·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为120°的等腰三角形，母线长为4，过圆锥轴的中点作与底面平行的截面，则截面与底面之间的几何体的外接球的表面积为（    ）A．64π B．96π C．112π D．144π【答案】C【详解】第一步：确定截面与底面之间的几何体的结构特征如图，等腰三角形SAB是圆锥的轴截面，SE是圆锥的轴，截面圆、底面圆的半径之比为1：2．设截面圆、底面圆的半径分别为r，2r，因为轴截面是顶角为120°的等腰三角形，母线长为4，且由题意知截面与底面之间的部分为圆台，所以圆台的高为，，．第二步：求外接球的半径易知球心在直线SE上，设圆台外接球的半径为R，球心到圆台下底面的距离为x，若球心在圆台两底面之间，如图点M的位置，则，无解；若圆台两底面在球心同侧，则球心在如图点O的位置，，解得，则，第三步：求外接球的表面积则该圆台外接球的表面积为.故选：C．7．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】如图所示设，，，，则，，在中由余弦定理得①，在中由余弦定理得②，得③，在中由余弦定理得④，③④联立消去得，因为，当面积最大时即最大，由均值不等式可得，当且仅当即时等号成立，取得最大值，此时由④解得，所以，所以，即为直角三角形，且，所以在中，解得，由双曲线的性质可得，解得，所以双曲线的方程为，故选：C8．（2022·上海市嘉定区第二中学高三期中）在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似的模拟某种信号的波形，则下列判断中不正确的是（    ）A．函数为周期函数，且为其一个周期B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D．函数的导函数的最大值为4.【答案】A【详解】依题意，A选项，，所以不是的周期，A选项错误.B选项，，，所以，所以的图象关于点对称，B选项正确.C选项，..所以，所以的图象关于直线对称，C选项正确.D选项，，由于，所以，且，所以的最大值是，D选项正确.故选：A9．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）设函数①若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是②若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是④方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：对于①：作出的图像如下：若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设，则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根，所以，，所以，所以，所以，故①正确；对于②：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故②错误；对于③：方程的实数根的个数，即为函数与的交点个数，因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，当与相切时，设切点为，即，所以，解得，所以，所以，所以当与相切时， 即时，此时有4个交点，若有4个实数根，即有4个交点，当时由图可知只有3个交点，当时，令，，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，所以当时，函数取得极大值即最大值，，又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故③错误；对于④：，所以，所以或，由图可知，当时，的交点个数为2，当，0时，的交点个数为3，当时，的交点个数为4，当时，的交点个数为1，所以若时，则，交点的个数为个，若时，则，交点的个数为3个，若，则，交点有个，若且时，则且，交点有个，若，交点有1个，综上所述，交点可能有1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故④正确；故选：B．第Ⅱ卷二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写在答题纸上.13题和15题第一空2分，第二空3分，全部答对得5分.10．（2022·上海市浦东中学高一期末）是虚数单位，复数_______．【答案】【详解】，故答案为：11．（2022·河南·鹤壁高中高二阶段练习）直线l： 截圆 的弦为，则的最小值为_____________ .【答案】2【详解】对于直线l： ，显然过定点 ；对于圆： ，配方后有： ，圆心为 ，半径为3，点A到圆心的距离为 ，所以A点在圆内，当A点为MN的中点时， 最短，此时 ；故答案为：2.12．（2022·全国·高三专题练习）将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.【答案】691200【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有种方法，还剩5本书横放，有种方法，故不同的摆放方法种数为.故答案为：69120013．（2022·天津·南开中学模拟预测）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定两位同学每天到校情况相互独立．用X表示甲同学上学期间的某周五天中7：30之前到校的天数，则______，记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学恰好多3天”为事件M，则______．【答案】          【详解】由题意知，它的分布列为，k＝0，1，2，3，4，5，所以．设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y，则，它的分布列为，且事件，又事件，，之间互斥，且X与Y相互独立，所以．故答案为：；.14．（2022·全国·高二专题练习）若各项均为正数的有穷数列满足，（）,则满足不等式的正整数的最大值为 __．【答案】109【详解】解：因为，所以，，， 所以，故= ，因为，所以，则，要使不等式成立，只要即可，而，所以，因为，当且仅当，即时，取等号，又因，当时，，当时，，所以，所以，所以正整数，即正整数的最大值为109．故答案为：109．15．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________．【答案】          【详解】解：因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以且，则可设，故，因为共线，所以，解得，所以，因为，所以，所以；因为，所以，所以，又，所以，因为，所以，如图以点为原点建立平面直角坐标系，则，设，故，则，当时，取得最小值.故答案为：；. 三、解答题（本题共5小题，共75分）16．（2022·河南新乡·一模（文））在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，点D是BC的中点，求AD的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以．因为，，所以．因为，所以．因为，所以，所以．（2）因为点D是BC的中点，所以，所以，所以．因为，所以．因为，所以，所以．17．（2022·河北·高三阶段练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.(1)证明：平面平面.(2)若，求二面角的余弦值的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以，因为为等边三角形，且D为AB的中点，所以，又因为，且平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）以D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设，因为，所以，，，，，，，，设平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，取，，取，所以，因为，，因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值的取值范围为.18．（2022·贵州毕节·高三期中（文））已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.【答案】(1)；(2)1【详解】（1）当时，，则，令得.若，则；若，则.所以；（2）（法一）由，可得在上恒成立.令，则，令，则，因此在上为减函数.而，可知在区间上必存在，使得满足，且在上单调递增，在上单调递减.由于，而，故，由，可知，所以，因此整数a的最小值为1.（法二）由，可得，当时，，则，即.当时，令，则，则在上单调递增，所以，所以成立.因此整数a的最小值为1.19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知平面直角坐标系中，点到抛物线准线的距离等于5，椭圆的离心率为，且过点(1)求的方程；(2)如图，过点作椭圆的切线交于两点，在轴上取点，使得，试解决以下问题：①证明：点与点关于原点中心对称；②若已知的面积是椭圆四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线的方程.【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：因为点到抛物线的准线的距离等于5，所以，解得，所以抛物线的方程为；因为椭圆的离心率为，且过点，所以 ，解得，所以椭圆的方程为；（2）解：①因为，且直线与椭圆相切，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得，因为直线与椭圆相切，所以，即，联立，得，设，，则；设，因为，所以，则，即，即，又，所以，即，即点与点关于原点中心对称；②椭圆四个顶点所围成菱形面积为，所以的面积为，则，令，即，即，即，即，即，因为，所以，，；所以直线的方程为.20．（2022·天津·高三专题练习）在数列中，，其中．(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；(2)设，数列的前n项和为，求；(3)已知当且时，，其中，求满足等式的所有n的值之和．【答案】(1)证明见解析(2)(3)5(1)证明：因为，所以，所以数列是以1为公差，1为首项的等差数列(2)由（1）可得，所以，所以，所以，所以(3)由（1）将化为，即，所以，因为当且时，，所以，，……，，所以，所以当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以满足的所有和3，其和为5