2023届湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中高三下学期5月“一起考”数学试题含解析

这是一份2023届湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中高三下学期5月“一起考”数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
  2023年5月长郡、一中、雅礼、师大附中“一起考”数学本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，则满足的集合B的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．162．若（i为虚数单位），则复数z的模为（    ）A．1 B． C． D．23．若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．4．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则实数m的值为（    ）A．12302 B．13304 C．23004 D．240345．若数列中，，，且，记数列的前n项积为，则的值为（    ）A．1 B． C． D．6．已知抛物线C：，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ）A． B． C．5 D．37．若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．48．已知底面边长为a的正四棱柱内接于半径为的球内，E，F分别为，的中点，G，H分别为线段，EF上的动点，M为线段的中点，当正四棱柱的体积最大时，的最小值为（    ）A． B． C．2 D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．，则 D．若，则10．已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（    ）A．  B．的取值范围是C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1 D．的取值范围是11．“”表示不大于x的最大整数，例如：，，．下列关于的性质的叙述中，正确的是（    ）A．B．若，则C．若数列中，，，则D．被3除余数为012．在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（    ）A．存在点M使得B．四棱锥外接球的表面积为C．直线PC与直线AD所成角为D．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则________．14．第31届世界大学生夏季运动会将在今年7月28日至8月8日在四川省成都市举行．有编号为1，2，3，4，5的五位裁判，分别就座于编号为1，2，3，4，5的五个座位上，每个座位恰好坐一位裁判，则恰有两位裁判编号和座位编号一致的坐法种数为________．15．设函数，的定义域均为R，且函数，均为偶函数．若当时，，则的值为________．16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P，Q为椭圆上的动点．当的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为时，的最大值为4，则________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A的值；（2）若△ABC是锐角三角形，求的取值范围．18．（本小题满分12分）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐。如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．（1）（1）求王同学第2天去A餐厅用餐的概率；（2）如果王同学第2天去A餐厅用餐，求他第1天在A餐厅用餐的概率．（2）A餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升改造提升后，A餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）．就餐满意程度A餐厅改造提升情况合计改造提升前改造提升后满意285785不满意12315合计4060100依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？附：，其中．0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.87919．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，G为点B在平面ACD上的射影，M为BC的中点．（1）证明：平面ABD；（2）若，，，求二面角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知数列满足，且（1）设，求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．21．（本小题满分12分）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．（1）求C的方程；（2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M，N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点，，，中的一个．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，，求证：有且仅有一个零点；（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．         2023届高三“一起考”大联考·数学双向细目表题序知识内容（考点）难度系数分值1集合的概念0.8052复数的运算0.8053平面向量的概念0.7054指、对数运算0.7055数列综合0.6556抛物线的性质0.5057函数与导数综合（构造函数）0.3058立体几何综合0.2559三角函数的概念0.60510导数的应用（切线）0.50511新定义0.35512立体几何综合0.35513三角函数求值0.75514排列组合简单应用0.65515函数与导数的性质0.45516圆锥曲线综合0.35517解三角形0.501018统计与概率0.551219立体几何0.451220数列综合（通项与求和）0.451221圆锥曲线综合（方程、过定点）0.301222函数与导数综合（零点、恒成立问题）0.3012参考答案1．C解析：由且，得，2，所以，又因为，所以满足条件的集合B可能为，，，，共4个．故选C．2．C解析：由，得，即，所以，故选C．3．B解析：设向量与的夹角为，则，在上的投影向量为．故选B．4．B解析：设每年的衰变率为P，古物中原的含量为a，由半衰期，得．所以，即．由题意，知，即．于是．所以．故选B．5．D解析：由题意，得，，，，，，发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，则，，所以原式的值为，故选D．6．A解析：因为抛物线C的方程为，所以，抛物线C的准线方程为，因为方程可化为，所以过定点．设，设FB的中点为A，则，因为，P为垂足，所以，所以，即点P的轨迹为以A为圆心，半径为的圆．过点M作准线的垂线，垂足为，则，所以．又，当且仅当M，P，A三点共线且P在M，A之间时等号成立，所以．过点A作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，M，A三点共线时等号成立．所以，当且仅当，M，P，A四点共线且P在M，A之间时等号成立，所以的最小值为，故选A．7．A解析：关于x的不等式恒成立，因为，所以，即，即，即，易证，且，所以，所以，即．又易知，据此可以判断满足不等式成立，但考虑其充分性及题设中为最小整数．故选A．8．B解析：正四棱柱的高．（方法一），令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，的最大值为．（方法二），，当且仅当时等号成立，解得．当时，，此时正四棱柱为正方体，的最小值就是点G到EF的距离，由正方体的性质知，当H为EF的中点时，，动线段GH，GM分别在，内，将两个平面沿展开翻折至共面．如图，当M，G，H三点共线时，最小，可得，又因为M为线段的中点，所以．9．AD解析：由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确．由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误．当时，，，所以C错误．反过来，当，即时，一定成立，所以D正确．故选AD．10．ABD解析：不妨设，，则，，则，．因为的图象在A，B两点处的切线互相垂直，所以，即．对于A，因为，所以A正确．对于B，因为：，：，则，，所以，所以B正确．对于C，当时，，即直线AM与BN的交点的横坐标恒小于1，所以C错误．对于D，，所以D正确．故选ABD．11．ACD解析：对于A，由定义“”表示不大于x的最大整数可知，，故，用代换x，即得，故A正确．对于B，不妨设，，易知B错误．对于C，由，可得，故，则，故C正确．对于D，对任意自然数k，与均不是整数，且，则．当时，，即被3除余数为1．当时，，，则被3除余数为1，，由上述分析知其被3除余数为1011，而，即M能被3整除，故D正确．故选ACD．12．BCD解析：如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，．因为平面平面ABCD，易知，平面平面，所以平面ABCD，则．又因为，所以，又，所以平面PGC．因为平面PGC，平面PGC，所以不成立，A错误．因为△APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确．如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为，C正确．如图1，因为平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，此时M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，可知N为QA的中点，故，D正确．故选BCD．13．1解析：由，得，则，所以．14．20解析：由题意，5人中选出2人出来，她们的编号一致，有种方法，剩余3人都不坐与自己编号相同的座位有两种情形，故总的坐法种数为．15．解析：因为函数，的定义域均为R，且函数为偶函数，则，求导得，即，所以函数的图象关于对称．因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于对称，可得函数的周期为4，．所以，即，即，于是．16．2解析：令，则的外接圆半径为，内切圆半径为，故两半径之积为，因为，所以，所以，此时P是椭圆的短轴顶点．不妨设P是椭圆的上顶点，设，，则，所以．17．解析：（1）因为，所以，……（2分）即，……（3分）所以或（舍去）．所以，结合，得．……（5分）（2）由（1）得，．……（7分）因为△ABC是锐角三角形，所以B，C均为锐角，即，，所以，……（8分）所以，，所以的取值范围是．……（10分）18．解析：（1）设事件A：第i天去A餐厅用餐，事件B：第i天去B餐厅用餐，其中，2．①王同学第2天去A餐厅用餐的概率为：．……（4分）②如果王同学第2天去A餐厅用餐，那么他第1天在A餐厅用餐的概率为：．……（8分）（2）提出零假设：学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升没有关联．，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联．……（12分）19．解析：（1）（方法一）过点G作于点N，连接MN，则，又平面ABD，平面ABD，所以平面ABD．……（2分）因为，平面ACD，连接AG，则，所以N为AC的中点，故MN为△CBA的中位线，．……（4分）又平面ABD，平面ABD，所以平面ABD．又，所以平面平面ABD，又平面MNG，所以平面ABD．……（5分）（方法二）延长CG，交AD于点K，连接AG，BK．因为，平面ACD，则．又，所以，即G为CK的中点．因为M为BC的中点，所以MG为△CBK的中位线，．……（3分）因为平面ABD，平面ABD，所以平面ABD．……（5分）（2）过点A作，以A为原点，AC，AD，AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由于，，则由（1）知，又，所以．则，，，．……（7分）设，则，设平面AMC的法向量为，又，，则可取．……（9分）设平面AMD的法向量为，又，，则可取．……（10分）设二面角的平面角为，则，，即二面角的正弦值为．……（12分）20．解析：（1）因为所以，，，所以．又因为，所以，所以．因为，所以，又因为，所以，所以，所以，即，……（3分）所以，又因为，所以，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．……（5分）（2）由（1）可知，所以，所以，……（6分）又因为，所以，即，所以，……（8分）所以，因为，，……（10分）所以是一个增数列，因为，，所以满足题意的n的最小值是20．……（12分）21．解析：（1）设C的焦距为2c，则，即，，．……（1分）由双曲线的定义，得，即，所以，故C的方程为．……（4分）（2）证明：设，，，直线l的方程为，联立整理得，……（5分）由题意，得即则，，……（6分）．……（7分）设MN的中点为，则，，……（8分）所以线段MN的垂直平分线的方程为．令，得，即，所以，……（9分）由题意，得，即，……（10分）从而．当，即时，解得或；当，即时，解得或．……（11分）所以直线l的方程为，或，或，或．故直线l过四个定点，，，中的一个．……（12分）22．解析：（1）证明：由题意得，当时，，故．（i）当时，，记，则，单调递增，，所以，即当时，无零点．……（2分）（ii）当时，，，即当时，无零点．……（3分）（iii）当时，．因为，所以，即单调递增．又因为，，所以当时，存在唯一零点．综上，当时，有且仅有一个零点．……（6分）（2）易知，由题意，在0的左侧邻域内，有，则．因为，所以，得是对任意成立的必要条件．……（7分）下面证明充分性．当时，，等价于．令，，即证．……（8分）（i）当时，，，即成立．……（9分）（ii）当时，记，则．由，得，所以，即单调递增，，即，又．综上，．……（12分）