2023届河南省部分名校高三仿真模拟测试数学（文）试题含解析

2023届河南省部分名校高三仿真模拟测试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再利用补集运算可求答案.

【详解】由题意得，所以．

故选：C．

2．已知复数，则的虚部为（    ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，即可得到，从而判断其虚部.

【详解】因为，

所以，

所以，则，所以的虚部为．

故选：D．

3．已知向量，若，则（    ）

A． B． C．0 D．3

【答案】A

【分析】求出，利用向量垂直列出方程，求出答案.

【详解】因为，由，得，所以．

故选：A．

4．已知双曲线的离心率为．则C的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由离心率计算得关系即可.

【详解】由题意知C的渐近线方程为，因为，所以，所以C的渐近线方程为．

故选：B．

5．在棱长为1的正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平行把异面直线所成角转化为共面相交线所成角，解三角形求余弦值即可.

【详解】在正方体中，，所以为直线与直线所成角或其补角，连接，

因为正方体的棱长为1，所以有，

在中，，

即直线与直线所成角的余弦值为．

故选：B．

6．已知在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，若的终边与圆交于点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义和诱导公式以及二倍角公式即可求解.

【详解】由题意知，

故，

所以，

故选：A．

7．在各项均为正数的等比数列中，存在两项，使得，且则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件计算，再由得，利用基本不等式计算最小值即可.

【详解】设的公比为，

由，得，所以，

所以，即，所以，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．

故选：D．

8．已知，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】构造函数，由单调性与奇偶性转化后判断

【详解】设，则

为奇函数

易知上单调递增，因此上单调递增

即

从而.

故选：C

9．若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则当取最小值时，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．

B．的单调递增区间为

C．在上的值域为

D．的图象关于直线对称

【答案】D

【分析】由题可得，，后由正弦型函数单调性，值域，对称性判断各选项即可.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，

将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，

若这两个函数的图象重合，则，即，

又，所以当时，最小，.

A选项，由以上分析，，所以，故A错误；

B选项，由得，

所以的单调递增区间为，故B错误；

C选项，由得，所以的值域为，故C错误；

D选项，由得，所以的图象关于直线

对称，即D正确．

故选：D．

10．已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据点到直线的距离公式和两圆位置关系即可求解.

【详解】由已知直线，

则原点到直线l的距离为，

由直线l与圆相切，

则满足条件的直线l即为圆和圆的公切线，

因为圆和圆外切，

所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，

所以满足条件的直线l有3条．

故选: B．

11．已知椭圆的左焦点为，若椭圆上存在点P，使得线段与直线垂直垂足为Q，若，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理和椭圆定义，建立方程，然后求解椭圆的离心率即可.

【详解】设C的右焦点为，线段与直线垂直，

所以的斜率为，所以，

设，则，故，

在中，由余弦定理得，，

所以

所以，

所以，

又因为，

所以椭圆C的离心率为.

故选:A．

12．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用函数的单调性判定大小即可.

【详解】设，则，

令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以（时等号成立），

所以，即，即；

设，则，所以在上单调递增，

所以，即，所以，

综上．

故选：D．

二、填空题

13．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值等于_______．

【答案】

【分析】利用线性规划作出可行域，数形结合即可求最值.

【详解】画出可行域（如图阴影部分），移动直线，当直线经过点A时，取得最小值．联立，解得，代入，得．

故答案为：

14．在数列中，，其前n项和为，则________．

【答案】

【分析】注意到，后由裂项求和法可得答案.

【详解】因为，

所以，所以.

故答案为：.

15．已知圆柱的轴截面是边长为4的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，C为下底面圆的圆周上一点，则三棱锥外接球的表面积为_______．

【答案】

【分析】根据外接球的半径求法和表面积公式即可求解.

【详解】

由题意知四边形ABDE为边长为4的正方形，且平面平面ABC，

M为下底面圆的圆心，

则，且平面ABC，

所以三棱锥的外接球的球心O在PM上，

设球O的半径为R，

则，

解得，

故球O的表面积为．

故答案为：.

16．已知定义在R上的函数满足：．且当时，，给出下列命题，①是奇函数；②是周期函数；③的值域为；④在区间内无零点．其中真命题是________（写出所有真命题的序号）

【答案】①②④

【分析】根据可判断①；，可判断②；根据时，再由的对称性，周期性可判断③；当时 ．再由的图象关于直线对称可判断④．

【详解】因为，即，故是奇函数，故①正确；

，即，故是以4为周期的周期函数，故②正确；

当时，，再由的对称性，周期性，可知1不是的最大值，故③错误；

当时，，则．再由的图象关于直线对称，知在内恒正．又，故在区间内无零点，故④正确．故真命题有①②④．

故答案为：①②④．

三、解答题

17．某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：

(1)估计两组测试的平均成绩，

(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．

【答案】(1)“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71

(2)

【分析】（1）根据频率和为1计算得到，，再根据平均数公式计算得到答案.

（2）确定抽取的比例为，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.

【详解】（1）由田径队的频率分布直方图得：，

解得，同理可得．

其中“田径队”的平均成绩为：

，

“足球队”的平均成绩为：

.

（2）“田径队”中90分以上的有（人），

“足球队”中90分以上有（人）．

所以抽取的比例为，在“田径队”抽取 （人），记作a，b，c，d；

在“足球队”抽取 （人）．记作A，B，C．

从中任选2人包含的基本事件有：

ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，

正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，

故正、副队长都来自“田径队”的概率为．

18．如图，在四棱锥中，，平面平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD的中点，．

(1)求证：平面平面PAD；

(2)若，求几何体PABCEF的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）得到四边形ABCF为平行四边形，，从而得到，由面面垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直；

（2）作出辅助线，转化为两个三棱锥，分别求出这两个三棱锥的体积，相加即可

【详解】（1）因为F为AD的中点，所以，又，所以，

因为，所以四边形ABCF为平行四边形，所以，

因为，所以，

因为平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，

所以平面PAD，

又平面CEF，所以平面平面PAD．

（2）连接PF，因为，F为AD的中点，所以，

因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，

所以平面ABCD，

因为，所以，所以在中，，又，

所以，

梯形的面积为，

所以四棱锥的体积．

因为E为棱PD的中点，故三棱锥的高为，

所以三棱锥的体积，

故所求几何体的体积.

19．已知三角形中，角所对的边分别为，且.

(1)当，时，求的值；

(2)判断的形状.

【答案】(1)

(2)为锐角三角形

【分析】(1)由正弦定理通过边角互化将条件转化为角的关系，再通过三角恒等变换求角，再由正弦定理求，(2)由条件通过三角恒等变换判断，的正负，结合两角和公式判断的符号，由此确定三角形形状.

【详解】（1）由，得，

所以，

所以，

则，

又，，，

所以，

所以 ，

因为，所以，，

所以 ，

所以，所以 ，，

，

由，得；

（2）因为，

所以，

所以 ，又，

所以，

化简得，

所以

因为， 所以，

所以，，

所以 ，

又，，，

所以，，都为锐角，

所以为锐角三角形.

20．已知F为抛物线的焦点，直线与C相切，，P为C上一点．

(1)求C的方程及的最小值；

(2)设直线l与C交于A，B两点，若C上存在点P，使得四边形APBF为平行四边形，证明：l过定点．

【答案】(1)；当时，，时，；

(2)证明见解析

【分析】（1）由直线与抛物线相切的关系通过判别式计算即可求C的方程，设，利用两点距离公式分类讨论最值即可；

（2）设直线l的方程为，联立直线与抛物线，由韦达定理得，再利用平行四边形的性质得，化简计算即可.

【详解】（1）

因为直线与C相切，联立直线与C的方程，

得有两个相等实数根，故，所以，

即C的方程为，

设，则，

当，即时，（在处取得），

当，即时，（在处取得）．

（2）证明：由题意可设直线l的方程为，

与C的方程联立，得，

则，且．

因为在C上存在点P，使得四边形APBF为平行四边形，

所以，由，则

所以，所以，

又点P在C上，所以，即，

所以，所以，

所以l的方程为，所以直线l过定点．

21．已知．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，不等式恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)在上单调递增；在上单调递减

(2)．

【分析】（1）先求定义域，再求导，由导函数的正负求出函数的单调性；

（2）变形得到在上恒成立，研究的单调性，二次求导，结合隐零点，得到在上单调递减，在上单调递增，结合（1）中结论，分与，求出答案.

【详解】（1）由题意得的定义域为，

因为，令，得，

令，得，

所以在上单调递增；在上单调递减．

（2）由题意可得，

设，则问题等价于在上恒成立，

令，即在上恒成立，

所以，令，

则，

当时，，则恒成立，所以在上单调递减，且；

当时，，则恒成立，所以在上单调递增，

又，所以存在，使得，

所以当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以在上，，在上，，其大致图象如图所示，

由（1）知，在时，在上单调递增；在上单调递减，

所以，

（i）当，即时，恒成立，满足题意；

（ⅱ）当，即时，取，结合的图象可知不恒成立，不符合题意，

综上所述，实数m的取值范围是．

【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

(1)求曲线C的直角坐标方程及l的普通方程；

(2)设，Q为曲线C上的动点，点P满足，点P的轨迹为曲线,若直线l与曲线相切，求实数的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程转换成直角坐标方程；

（2）利用向量坐标运算以及直线与圆的位置关系解决问题.

【详解】（1）因为，所以曲线C的直角坐标方程为，

即；

由直线l的参数方程为（t为参数），得l的普通方程为．

（2）设点，则，

所以，所以，

又点Q在曲线C上，所以，即曲线的方程为，

又直线l与曲线相切，所以，所以．

23．已知，．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由题，当时， ，

①  或② 或③

解不等式组①得

解不等式组②得

解不等式组③得

所以原不等式的解集为．

（2）

当且仅当和异号时等号成立

即．

若恒成立，只需，解得，

所以实数的取值范围为．