考点14 三角形与全等三角形-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理（解析版）

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考点14 三角形与全等三角形

在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，全等三角形也是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系。所以，在数学中考中，考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用。又因为该考点与其他几何考点的融合性特别多，所以单独考察的题目却不会特别多。所以，考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察。



一、 三角形的三边关系
二、 三角形的内角和定理及其外角定理
三、 三角形中的重要线段
四、 全等三角形的性质与判定
考向一：三角形的三边关系
三角形三边关系的定理及其推论
定理
三角形任何两边的和大于第三边
推论
两边之差＜第三边＜两边之和

Ø 在应用时，求三角形边的取值范围，直接用“推论”；
Ø 判定三边能否组成三角形，直接用“定理”，且只需要较小的两边之和大于最大的边长即可
Ø 最值典型应用：“将军饮马”
Ø “三点共线”类最值：当两线段长固定，且首尾相连，可用三点共线来求其最大值与最小值

1．有三根小棒，它们长度分别如下，以下列各组小棒的长度为边，能构成三角形的是（　　）
A．10cm，10cm，8cm B．5cm，6cm，14cm
C．4cm，8cm，12cm D．3cm，9cm，5cm
【分析】三角形两边之和大于第三边，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A、8+10＞10，则能构成三角形，符合题意；
B、5+6＜14，则不能构成三角形，不符合题意；
C、4+8＝12，则不能构成三角形，不符合题意；
D、3+5＜9，则不能构成三角形，不符合题意；
故选：A．
2．已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为 　6　．
【分析】根据“三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边”求出x的取值范围，进而得到x的最大值．
【解答】解：∵4﹣3＝1，4+3＝7，
∴1＜x＜7，
∵x为整数，
∴x的最大值为6．
故答案为：6．
3．如果三角形的三边长为m+1，m，5，则m的取值范围是 　m＞2　．
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，本题只要把三边代入，列出不等式化简即可．注意分三种情况讨论．
【解答】解：当m+1≤5时，即m≤4，m+m+1＞5，解得2＜m≤4；
当m＜5＜m+1时，即4＜m＜5，m+5＞m+1恒成立；
当m≥5时，m+5＞m+1恒成立．
综上所述，m的取值范围是m＞2．
故答案为：m＞2．
4．已知三角形的三边长分别为1，a﹣1，3，则化简|a﹣3|+|a﹣5|的结果为 　2　．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果．
【解答】解：由三角形三边关系定理得3﹣1＜a﹣1＜3+1，
即3＜a＜5．
∴|a﹣3|+|a﹣5|＝a﹣3+5﹣a＝2．
故答案为：2．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 　≤m≤　．

【分析】取AB的中点M，连接QM，CM，分析可知，点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q在以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，且当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值，当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值，可得结论．
【解答】解：如图，取AB的中点M，连接QM，CM，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝CM＝AB＝5，
∵点Q是PB的中点，点M是AB的中点，
∴QM是△APB的中位线，
∴QM＝AP＝，
在△CMQ中，CM﹣MQ＜CQ＜CM+MQ，
∴＜m＜，
∵点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，
∴当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值，
当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值，
综上，m的取值范围为：≤m≤．
故答案为：≤m≤．
考向二：三角形的内角和定理及其外角定理
角的定义、性质及其他相关：
三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°
三角形外角的推论
三角形的一个外角=和它不相邻的两个内角的和

Ø 三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系；即使是其他多边形，也常转化为三角形求角度

1．如图，一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）

A．55° B．65° C．75° D．85°
【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，∵∠1＝60°，∠2＝45°，
∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：C．

2．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【分析】根据三角形的内角和是180°得出．
【解答】解：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．
由∠A+∠B+∠C＝180°，得：
x+2x+3x＝180，
所以x＝30，故∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
3．已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（　　）

A．180° B．220° C．230° D．240°
【分析】先根据三角形内角和定理求得∠B+∠C的和是130度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝130°．
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°．
故选：C．
4．如图，在三角形ABE中，点D为BE上一点，延长AE到C，连接CD，若∠A＝70°，∠B＝∠C＝30°，则∠BDC＝　130　°．

【分析】根据三角形外角性质得出∠DEC，进而得出∠BDC的度数解答．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝30°，
∴∠DEC＝∠A+∠B＝70°+30°＝100°，
∵∠C＝30°，
∴∠BDC＝∠DEC+∠C＝100°+30°＝130°，
故答案为：130．
5．如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】由∠BAC＝60°，可得出∠EAC的度数，由AD平分∠EAC，可得出∠EAD的度数，再由AD∥BC，可得出∠B的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝80°，
∴∠EAC＝100°，
∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD＝50°．
故选：C．

6．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，求∠ADC的度数．

【分析】本题考查的是三角形内角和定理，求出∠ACB的度数后易求解．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣50°＝60°（三角形内角和定义）．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝×60°＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝80°．
考向三：三角形中重要的线
一．三角形的分类

按角分类
锐角三角形（三个内角都是锐角）
直角三角形（有一个内角是直角）
钝角三角形（有一个内角是钝角）

按边分类
非等边三角形（三边均不相等）
等腰三角形
普通等腰三角形（有两边长相等）
等边三角形（三边长均相等）
二．三角形中的重要线段
∠CAD
∠BAC
EC=½BC
∠AFC=90°
½BC









三角形中“三线”的常见作用及其辅助线：
（一） .中线
常见“用途”：平分线段、平分面积；
辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；
（二） 高线
常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；
辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；
（三） 角平分线
常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；
辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；
（四） 中垂线
常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；
辅助线类型：连接两点
由△的三线组成的几个“心”：
△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；
△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；
△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；

1．下列各三角形中，正确画出AC边的高的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC中AC边上的高即为过点B作AC所在直线的垂线段，该垂线段即为AC边上的高，
∴四个选项中只有选项D符合题意．
故选：D．
2．下列说法中正确的是（　　）
A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线
B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线
C．钝角三角形的三条高都在三角形外
D．三角形的三条中线总在三角形内
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．
【解答】解：A、三角形的角平分线是一条线段，故本选项说法错误，不符合题意；
B、三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，故本选项说法错误，不符合题意；
C、钝角三角形的二条高都在三角形外，最长边上的高在三角形内，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的三条中线总在三角形内，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
3．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　）

A．BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义即可得到BC＝2BD＝2DC，∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠AFB＝∠AFC＝90°．进而判断即可．
【解答】解：∵AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，
∴BC＝2BD＝2DC，∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠AFB＝∠AFC＝90°，
故选项A、B、C正确，选项D错误，
故选：D．
4．如图，点D是△ABC中AB边上的中点，连接CD，若△ABC的面积为8，则阴影部分的面积为 　4　．

【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积进行解答便可．
【解答】解：∵点D是△ABC中AB边上的中点，△ABC的面积为8，
∴，
故答案为：4．
5．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则＝　　．

【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD＝DC．
∴S△ABD＝S△ADC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝6，AC＝4．
∴•AB•ED＝•AC•DF，
∴×6×ED＝×4×DF，
∴．
故答案为：．
6．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是AB边上的高，且∠ACE＝40°，∠BCE＝20°，求∠ABD和∠BDC的度数．

【分析】由直角三角形的性质可求得∠ABC＝70°，利用角平分线的定义可求得∠ABD的度数，进而可求得∠A的度数，再根据三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵CE是AB边上的高，
∴∠BEC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BCE＝70°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝35°；
∵∠A＝90°﹣∠ACE＝50°，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝35°+50°＝85°．
7．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
（1）作出△ABD的边BD上的高．
（2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．

【分析】（1）根据三角形中高的定义来作高线；
（2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求解；
（3）先求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求得即可．
【解答】解：（1）如图所示：


（2）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝5．

（3）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，
∴△ABC的面积为12，
∵BD边上的高为3，
∴BC＝12×2÷3＝8．
考向四：全等三角形的性质和判定
一．全等三角形的性质
性质
对应边相等，对应角相等
推论
全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应边上的高线相等，对应角的角平分线相等
二．全等三角形的判定
所有三角形
SSS 、SAS 、ASA 、AAS
直角三角形
HL
三． 全等三角形的常见模型：










Ø 证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。
Ø 有关三角形全等问题应用的三个方向：
①证边相等就证它们所在的三角形全等；
②证角相等就证它们所在的三角形全等；
③全等三角形可以提供相等线段、相等角

1．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝60°，则∠AEC等于（　　）

A．100° B．110° C．120° D．125°
【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝60°，
∴△ABE中，∠AEB＝＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝120°，
故选：C．
2．如图，点B、F、C、E在同一直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．EC＝BF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF
【分析】运用全等三角形的判定可求解．
【解答】解：A、∵BC＝EF，∠B＝∠E，AB＝DE，根据SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，根据ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、∵AC＝DF，∠B＝∠E，AB＝DE，SSA不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；
D、∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，AB＝DE，根据AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意，
故选：C．
3．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，则下列结论不正确的是（　　）

A．△ABD≌△ACE B．∠ACE+∠DBC＝45°
C．BD⊥CE D．∠BAE+∠CAD＝200°
【分析】根据SAS即可证明△ABD≌△ACE，再利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可一一判断．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故A正确
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故B正确，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，故C正确，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故D错误，
故选：D．
4．下列所给条件中，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．AC＝3，AB＝4，BC＝8 B．∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝10
C．∠C＝90°，AB＝90 D．AC＝4，AB＝5，∠B＝60°
【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
【解答】解：A、3+4＝7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；
B、根据∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2根据ASA能画出唯一△ABC，故此选项正确；
C、根据∠C＝90°，AB＝90，AS不能画出唯一三角形，故本选项错误；
D、根据AC＝4，AB＝5，∠B＝60°，ASS不能画出唯一三角形，故本选项错误；
故选：B．
5．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝9，则DF的长为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．5或9
【分析】根据三角形的周长可得AC长，然后再利用全等三角形的性质可得DF长．
【解答】解：∵△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝9，
∴AC＝20﹣5﹣9＝6，
∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC＝6，
故选：B．
6．如图所示，两个三角形全等，则∠β等于（　　）

A．75° B．55° C．50° D．45°
【分析】根据图形得出DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝50°，即可得出选项．
【解答】解：如图所示：
∵DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，
又∵△ABC和△DEF全等，
∴∠D＝∠A＝55°，
∴∠β＝55°，
故选：B．

7．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝3，CD＝5，则AC的长为（　　）

A．15 B．11 C．8 D．6
【分析】在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B＝∠AED，再证明ED＝EC，进而代入数值解答即可．
【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，BD＝DE，∠ADE＝∠ADB，
∵∠B＝2∠ADB，
∴∠AED＝2∠ADB＝∠BDE，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CD＝CE，
∴AB+CD＝AE+CE＝AC＝3+5＝8．
故选：C．
8．如图AC＝BC，且∠ACB＝90°，其中C坐标（﹣1，0），A坐标（0，2），则B点的坐标是（　　）

A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（2，1） D．（﹣2，1）
【分析】过点B作BD⊥OC于D，先判断出△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知即可求出点B的坐标．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OC于D，则∠BDC＝90°，

∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°
∴∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAO，
又∵∠BDC＝∠AOC＝90°，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝AO，BD＝CO，
∵点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（0，2），
∴OC＝1，OA＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，BD＝1，
∴B点的坐标是（﹣3，1）．
故选：B．
9．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12，AC＝6，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发，以每秒2个单位的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时（t＞0），由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请间t的值有几种情况？（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】点E可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上，共有四种情况．
【解答】解：（1）当t＝0时，ED＝BC，AB＝BA，Rt△ACB≌Rt△EBD；
（2）当t＝3时，ED＝BC，AC＝EB，Rt△ACB≌Rt△EBD；
（3）当t＝9时，ED＝BC，AC＝EB，Rt△ACB≌Rt△EBD；
（4）当t＝12时，ED＝BC，AB＝EB，Rt△ACB≌Rt△EBD．
∴共有4种情况，
故选：D．
10．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝5，AD＝12，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 　30　．

【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
在△BAF和△EDF中，
，
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF＝S△EDF，
∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF＝S△ACD＝•AC•AD＝×5×12＝30．
故答案为：30．
11．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为t（s），则当△ACP与△BPQ全等时，点Q的运动速度为 　1cm/s或cm/s　．

【分析】设点Q的运动速度是xcm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设点Q的运动速度是xcm/s，
∵∠CAB＝∠DBA，
∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则1×t＝4﹣1×t，
解得：t＝2，
则3＝2x，
解得：x＝；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则1×t＝tx，4﹣1×t＝3，
解得：t＝1，x＝1，
故答案为：1cm/s或cm/s．
12．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿BC方向平移到△DEF的位置，AB＝6，DO＝3，平移距离为4，则阴影部分面积为 　18　．

【分析】根据平移的性质得出BE＝CF＝4，DE＝AB＝6，则OE＝3，则S阴影＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝CF＝4，DE＝AB＝6，
∴OE＝DE﹣DO＝6﹣3＝3，
根据题意得：△ABC≌△DEF，
∴S△ABC＝S△DEF，
∴．
故答案为：18．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边上的中线，点D、E分别在边AC和BC上，DB＝DE，DE与BM相交于点N，EF⊥AC于点F，以下结论：
①∠DBM＝∠CDE；
②AC＝2DF；
③BN＝EF；
④S△BDE＝S四边形BMFE．
其中正确结论的序号是 　①②④　．

【分析】①设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°﹣x从而可得到∠DBE＝∠DEB＝180°﹣（90°﹣x）﹣45°＝45°+x，∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE＝45°+x﹣45°＝x，从而可得到∠DBM＝∠CDE；
②可证明△BDM≌△DEF，然后可证明：△DNB的面积＝四边形NMFE的面积，所以△DNB的面积+△BNE的面积＝四边形NMFE的面积++△BNE的面积；
③由△BDM≌△DEF，可知DF＝BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM＝AC．
【解答】解：①设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°﹣x
∴∠DBE＝∠DEB＝∠EDC+∠C＝x+45°，
∵BD＝DE，
∴∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE＝45°+x﹣45°＝x．
∴∠DBM＝∠CDE，故①正确；
③在△BDM和△DEF中，
，
∴△BDM≌△DEF（AAS），
∴EF＝DM，故③错误，
∴BM＝DF，
∵∠ABC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝AC，
∴DF＝AC，
即AC＝2DF；故②正确．
②由③知△BDM≌△DEF（AAS），
∴S△BDM＝S△DEF，
∴S△BDM﹣S△DMN＝S△DEF﹣S△DMN，即S△DBN＝S四边形MNEF．
∴S△DBN+S△BNE＝S四边形MNEF+S△BNE，
∴S△BDE＝S四边形BMFE，故④正确；
综上所述，正确的结论有：①②④．
故答案是：①②④．
14．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ACB＝∠D，求证：△ABC≌△EAD．

【分析】根据AB∥DE，可以得到∠E＝∠BAC，再根据AAS即可证明结论成立．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠E＝∠BAC，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
15．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝8，BC＝5，∠C＝65°，∠D＝20°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．

【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，
∴BE＝BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3；
（2）∵△ABC≌△DEB，
∴∠A＝∠D＝20°，∠DBE＝∠C＝65°，
∴∠AED＝∠DBE+∠D＝65°+20°＝85°．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．
（1）当∠BDA＝110°时，∠BAD＝　30　°，∠DEC＝　110　°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 　小　（填”大”或”小”）；
（2）当DC＝AB＝3时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

【分析】（1）首先利用三角形内角和为180°可算出∠BAD＝180°﹣40°﹣110°＝30°；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得∠DEC的度数；
（2）当DC＝3时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝3，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）结合题目中的信息给出∠BDA的度数，分三种情况：①AD＝AE；②AD＝DE；③EA＝ED进行求解，进而证明△ADE的形状是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝110°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣110°＝30°；
∵∠ADE＝40°，∠ADB＝110°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣110°﹣40°＝30°．
∴∠DEC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，
当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，
故答案为：30，110，小；
（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝3，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）分三种情况：①AD＝AE；②AD＝DE；③EA＝ED．
情况①：要使AD＝AE，
则∠ADE＝∠AED＝40°．
∵∠AED＞∠ACB．
又∠ACB＝40°，
则∠AED≠40°．
故AD≠AE；
情况②：要使AD＝DE，则∠DAE＝∠DEA＝70°．
从而有∠DEC＝110°．
由△ABD≌△DCE可知∠ADB＝∠DEC，
故∠ADB＝110°．
∴当∠ADB＝110°时，△ADE是等腰三角形；
情况③：要使EA＝ED，则∠EAD＝∠EDA＝40°，
从而有∠AED＝100°，
故∠DEC＝80°．
要使∠DEC＝80°，则∠ADB＝80°．
∴当∠ADB＝80°时，△ADE是等腰三角形．
综上所述，△ADE可以是等腰三角形，∠BDA＝80°或110°．

1．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（　　）

A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，
故选：D．

2．（2022•遂宁）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设AN＝a，根据DE∥BC，证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到DE＝a，列出△DEF面积S的函数表达式，根据配方法求最值即可．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设AN＝a，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝a，
∴△DEF面积S＝×DE×MN
＝×a•（6﹣a）
＝﹣a2+4a
＝﹣（a﹣3）2+6，
∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6．
故选：A．

3．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：A．
4．（2022•西宁）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．2 B．5 C．10 D．11
【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜a＜6+4，求出2＜a＜10，再逐个判断即可．
【解答】解：∵长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，
∴6﹣4＜a＜6+4，
∴2＜a＜10，
∴只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；
故选：B．
5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（　　）

A．﹣5 B．4 C．7 D．8
【分析】由实数与数轴与绝对值知识可知该三角形的两边长分别为3、4．然后由三角形三边关系解答．
【解答】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．
不妨设第三边长为a，则4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
6．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（　　）

A．1 B．2 C．7 D．8
【分析】利用凸五边形的特征，根据两点之间线段最短求得d的取值范围，利用此范围即可得出结论．
【解答】解：∵平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，
∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，
∴d的取值范围为：2＜d＜8，
∴则d可能是7．
故选：C．
7．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＝3，不能构成三角形；
B、3+4＞5，能构成三角形；
C、4+5＜10，不能构成三角形；
D、2+6＜9，不能构成三角形．
故选：B．
8．（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 　80或40　度．
【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．
【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，

∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
当△ABC为钝角三角形时，如图，

∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
综上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案为：80或40．
9．（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
10．（2022•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 　OA＝OC（答案不唯一）　.（只写一个）

【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答．
【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA＝OC，
故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．
11．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件 　OB＝OD（答案不唯一）　，使△AOB≌△COD．

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是OB＝OD，
理由是：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
故答案为：OB＝OD（答案不唯一）．
12．（2022•西宁）如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（　　）

A．△AOB是等边三角形 B．PE＝PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
【分析】利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判定定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B，
∴OA＝OB，
∵∠MON＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴A的结论正确，不符合题意；
∵分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，
∴PA＝PB，
在△OPA和△OPB中，
，
∴△OPA≌△OPB（SSS），
∴∠POA＝∠POB．
∵PE⊥OM，PF⊥ON，
∴PE＝PF．
∴B的结论正确，不符合题意；
∵PE⊥OM，PF⊥ON，
∴∠PEA＝∠PFB＝90°．
在Rt△PAE和Rt△PBF中，
，
∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL）．
∴C的结论正确，不符合题意；
由作图过程可知：OB与PB不一定相等，
∴四边形OAPB是菱形不成立，
∴D的结论错误，符合题意，
故选：D．
13．（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD
【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，由“AAS”可证△BDE≌△CDF，可得DE＝DF．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，
∴∠ADC＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
故选：C．
14．（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为 　3﹣3　．

【分析】利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝AC＝3，∠A＝∠B＝45°，
∵BD＝BC＝3，AC＝BC，
∴BD＝AC，AD＝3﹣3．
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC．
∵BD＝BC，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴∠CED＝∠CDB，
∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB，
∴∠CDE＝∠B＝45°．
∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°．
∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°，
∴∠ACD＝∠EDB．
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（SAS）．
∴BE＝AD＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
15．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．

【分析】利用全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E．
16．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．

【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论．
【解答】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，
，
∴△CED≌△ABC（ASA）．
17．（2022•黄石）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．

【分析】（1）可利用SAS证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，
∵∠EAC＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．
18．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．

【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；
（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
（2）解：∵∠A＝90°，
∴∠CED＝∠A＝90°，
∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，
设BE＝x，
∵EC＝AB＝3，BD＝2，
∴CD＝BC＝3+x，
∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，
∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，
整理得x2+3x﹣10＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），
∴BE＝2，BC＝3+2＝5，
∴DE＝＝＝4，
∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，
∴△BCD的面积为10．
19．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．

【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；
（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．
【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，

∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA；
（3）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，

同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，PB＝CM，
∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．

1．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）

A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 　2　．

【分析】由题意可得CE是△ACD的中线，则有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC的中线，则有S△ABD＝S△ACD，即得解．
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴CE是△ACD的中线，
∴S△ACD＝2S△AEC，
∵△AEC的面积是1，
∴S△ACD＝2S△AEC＝2，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝2．
故答案为：2．
3．（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝．现有周长为18的三角形的三边长满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 　3　．
【分析】根据题意先求出a、b、c，再代入公式进行计算即可．
【解答】解：根据a：b：c＝4：3：2，设a＝4k，b＝3k，c＝2k，
则4k+3k+2k＝18，
解得：k＝2，
∴a＝4k＝4×2＝8，b＝3k＝3×2＝6，c＝2k＝2×2＝4，
∴S＝＝＝3，
故答案为：3．
4．（2022•荆门）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 　18　．

【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．
【解答】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，
∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，
∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，
故答案为：18．
5．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+3＝6，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＜10，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+6＞9，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵4+5＝9，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边直接列式计算即可．
【解答】解：∵线段a＝1，b＝3，
∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．
观察选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
7．（2022•德阳）八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（　　）
A．1km B．2km C．3km D．8km
【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．
【解答】解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，
当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，
设杨冲，李锐两家的直线距离为xkm，
根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
杨冲，李锐两家的直线距离可能为2km，8km，3km，
故选：A．
8．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（　　）

A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，
而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，
增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，
增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，
故选：D．
9．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：B．
10．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．证明△IDT≌△IDE（AAS），推出DE＝DT，IT＝IE，证明Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），推出BE＝CT，设BE＝CT＝x，根据DE＝DT，可得10﹣x＝x﹣4，求出x即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．

∵I是△ABD的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，
∵AB＝AC，AI＝AI，
∴△BAI≌△CAI（SAS），
∴IB＝IC，
∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，
∴△IDT≌△IDE（AAS），
∴DE＝DT，IT＝IE，
∵∠BEI＝∠CTI＝90°，
∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），
∴BE＝CT，
设BE＝CT＝x，
∵DE＝DT，
∴10﹣x＝x﹣4，
∴x＝7，
∴BE＝7．
故选：B．
11．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
12．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 　2　．

【分析】方法一：点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，进而得P1A＝P1F1＝AF1＝，求得点F1的坐标为（，0），当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，﹣4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，再由线段中垂线性质得出F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得×OF1×OF2＝×F1F2×h，即 ××4＝××h，解得h＝2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2．
方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，可证得△BAP≌△OAF（SAS），得出BP＝OF，当BP⊥x轴时，BP最小值为2，故OF的最小值为2．
【解答】解：方法一：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF＝60°，PF＝PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝AF，
如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，
则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，
∵AO⊥P1F1，
∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，
∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，
由勾股定理得：P1O＝F1O＝，
∴P1A＝P1F1＝AF1＝，
∴点F1的坐标为（，0），
如图，当点F2在y轴上时，
∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，
∴AO＝F2O＝4，
∴点F2的坐标为（0，﹣4），
∵tan∠OF1F2＝＝＝，
∴∠OF1F2＝60°，
∴点F运动所形成的图象是一条直线，
∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，
设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得，
∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，
∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，
∴F1F2＝AF1＝，
在Rt△OF1F2中，
设点O到F1F2的距离为h，则
×OF1×OF2＝×F1F2×h，
∴××4＝××h，
解得h＝2，
即线段OF的最小值为2；
方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，
过点B作BP′⊥x轴于点P′，

∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF＝60°，PF＝PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝AF，∠PAF＝60°，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，
∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，
在△BAP和△OAF中，
，
∴△BAP≌△OAF（SAS），
∴BP＝OF，
∵P是x轴上一动点，
∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，
∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，
∴BP′＝OB＝×4＝2，
∴OF的最小值为2，
故答案为2．

13．（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．

方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．

方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．


【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，从而可求解；
方法二：由平行线的性质得：∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，从而可求解．
【解答】证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．
14．（2022•广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．

【分析】根据等角对等边可得AB＝AC，然后利用SAS证明△ABD≌△ACE，即可解答．
【解答】证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
15．（2022•铜仁市）如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．

【分析】根据一线三垂直模型利用AAS证明△ABC≌△CDE即可．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°，
∴∠BCA＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
16．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．

【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D＝∠C＝50°．
17．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．
你选取的条件为（填写序号） 　①　（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 　SSS　（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．

【分析】（1）根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，即可解决问题；
（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．
【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．
故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
18．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．

【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；
（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．
【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：

在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵MQ∥BC，
∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，
∴△AMQ是等边三角形，
∴AM＝QM，
∵AM＝CN，
∴QM＝CN，
在△QMP和△CNP中，
，
∴△QMP≌△CNP（AAS），
∴MP＝NP；
（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH＝HQ，
∵△QMP≌△CNP，
∴QP＝CP，
∴PH＝HQ+QP＝AC，
∵AB＝a，AB＝AC，
∴PH＝a．

1．（2021•荷塘区模拟）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用高线的概念得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，
故选：B．
2．（2022•吉林二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（　　）

A．三角形具有稳定性
B．两点之间线段最短
C．经过两点有且只有一条直线
D．垂线段最短
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：蕴含的数学道理是三角形具有稳定性，
故选：A．
3．（2022•青秀区校级三模）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，4，9
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+4＜8，
∴长度为3，4，8的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵5+6＝11，
∴长度为5，6，11的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵5+6＞10，
∴长度为5，6，10的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵4+4＜9，
∴长度为4，4，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
4．（2022•云岩区模拟）一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，已知∠DBA+∠DCA＝50°，则∠A的度数是（　　）

A．50° B．40° C．45° D．44°
【分析】在△DBC和△ABC中分别使用内角和定理，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：
∠DBA+∠DCA+∠DBC+∠DCB+∠A＝180°，
且∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠DBA+∠DCA+∠A＝∠D，
∴∠A＝90°﹣（∠DBA+∠DCA）＝40°．
故选：B．
5．（2022•渝中区模拟）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝36°，∠F＝24°，则∠DEC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．120°
【分析】根据全等三角形的对应角相等求出∠D，然后利用三角形外角的性质即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝36°，
∴∠D＝∠A＝36°，
∵∠F＝24°，
∴∠DEC＝∠D+∠F＝36°+24°＝60°．
故选：B．
6．（2022•金华模拟）如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）

A．58° B．72° C．50° D．60°
【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴α＝180°﹣58°﹣72°＝50°，
故选：C．
7．（2022•路南区二模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（　　）

A．90° B．120° C．135° D．180°
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故选：D．

8．（2022•馆陶县一模）投影屏上是对“定理：角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PE⊥OA，

PF⊥OB，垂足分别为E、F．
求证：PE＝PF．
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POE＝∠POF，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO＝∠PFO，
∴△POE≌△POF，∴PE＝PF．
小明为了保证以上证明过程更加严谨，想在投影屏上“∴∠PEO＝∠PFO”和“∴△POE≌△POF”之间作补充，下列正确的是（　　）
A．投影屏上推理严谨，不必补充
B．应补充：“又∵∠OPE＝∠OPF”
C．应补充：“又OE＝OF，OP＝OP”
D．应补充：“又OP＝OP”
【分析】根据全等三角形的判定的定理进行求解即可．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POE＝∠POF，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEO＝∠PFO，
∵OP＝OP，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴PE＝PF．
故选：D．
9．（2022•南明区二模）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，若AQ＝PQ，PD＝PE，则下列结论：①AE＝AD；②∠B＝∠C；③∠BAP＝∠CAP；④△ABP≌△ACP．其中正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
【分析】由PD⊥AB，PE⊥AC，PD＝PE，得出AP是∠BAC的角平分线，则∠BAP＝∠CAP；由HL证得Rt△APD≌Rt△APE，得出AE＝AD；根据题意无法证明∠B＝∠C，故②不正确；在△ABP和△ACP中，缺少全等条件，故④不正确．
【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，PD＝PE，
∴AP是∠BAC的角平分线，
∴∠BAP＝∠CAP，故③正确；
在Rt△APD和Rt△APE中，
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL），
∴AE＝AD，
故①正确；
根据题意无法证明∠B＝∠C，故②不正确；
在△ABP和△ACP中，缺少全等条件，故④不正确；
故选：B．
10．（2022•乳源县三模）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，则△ABD的周长为（　　）

A．17 B．23 C．25 D．28
【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，由△BCD的周长为20，BC＝8，求出CD+BD＝12，进而得出△ABD的周长．
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
∵△BCD的周长为20，BC＝8，
∴CD+BD＝BC+BD+CD﹣BC＝20﹣8＝12，
∴CD+BD＝AD+BD＝12，
∵AB＝5，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝5+12＝17．
故选：A．
11．（2022•沂南县校级模拟）△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（﹣1，2），则△ABC的面积为（　　）
A．10 B．20 C．12 D．6
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据已知易得AB＝4，CD＝5，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵A（4，1），B（4，5），C（﹣1，2），
∴AB＝5﹣1＝4，CD＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5，
∴△ABC的面积＝AB•CD
＝×4×5
＝10，
故选：A．

12．（2022•峄城区校级模拟）如图，已知AC+DC＝AB，∠ADC＝80°，∠ACD＝40°，则∠B的度数为（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】延长AC到点E，使EC＝DC，连接DE，可求得∠E＝∠CDE＝20°，则∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝100°，作AF⊥BC于点F，AG⊥ED交ED的延长线于点G，可证明△ADF≌△ADG，得AF＝AG，再根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ABF≌Rt△AEG，则∠B＝∠E＝20°；另一种解法是：延长DC到点E，使EC＝AC，连接AE，可证明∠ADC＝∠DAE＝80°，则DE＝AE，由AC+DC＝EC+DC＝DE＝AE，且AC+DC＝AB，得AE＝AB，则∠B＝∠E＝20°．
【解答】解：如图1，延长AC到点E，使EC＝DC，连接DE，则∠CDE＝∠E，
∵∠ACD＝40°，
∴∠CDE+∠E＝2∠E＝2∠CDE＝∠ACD＝40°，
∴∠E＝∠CDE＝20°，
∵∠ADC＝80°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝100°，
∴作AF⊥BC于点F，AG⊥ED交ED的延长线于点G，则∠AFB＝∠G＝90°，
∵∠ADG＝180°﹣∠ADE＝80°，
∴∠ADC＝∠ADG＝80°，
在△ADF和△ADG中，
，
∴△ADF≌△ADG（AAS），
∴AF＝AG，
∵AC+DC＝AB，AC+DC＝AC+EC＝AE，
∴AB＝AE，
在Rt△ABF和Rt△AEG中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AEG（HL），
∴∠B＝∠E＝20°，
故选：D．
解法二：如图2，延长DC到点E，使EC＝AC，连接AE，则∠E＝∠CAE，
∵∠ACD＝40°，
∴∠CAE+∠E＝2∠E＝2∠CAE＝∠ACD＝40°，
∴∠E＝∠CAE＝20°，
∵∠ADC＝80°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝80°，
∴∠ADC＝∠DAE，
∴DE＝AE，
∵AC+DC＝EC+DC＝DE＝AE，且AC+DC＝AB，
∴AE＝AB，
∴∠B＝∠E＝20°，
故答案为：D．


13．（2022•夹江县模拟）已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．1.8 D．2.5
【分析】如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，利用已知条件可以得到△APF也是等边三角形，然后可以证明△PEF≌△QEC，接着利用等边三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，
则∠EPF＝∠Q，∠APF＝∠ABC
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝60°，
∴△APF也是等边三角形，而CQ＝AP
∴PF＝AP＝CQ，
又∵∠PEF＝∠QEC，
∴△PEF≌△QEC，
∴EF＝EC，
∵PD⊥AC于D，△APF是等边三角形，
∴AD＝DF，
∴AD+EC＝DF+EF＝DE＝AF+CF＝（AF+CF）＝AC，
∴DE＝AC＝2．
故选：B．

14．（2022•灞桥区校级二模）如图，三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 　130°　．

【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC，
∴∠1+∠3＝（∠BAC+∠ABC）＝50°，
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．
故答案为：130°．
15．（2022•平遥县一模）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．利用所学知识可知他构造全等三角形的依据是 　SSS　．

【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△COM≌△DOM，根据全等三角形的性质得出∠COM＝∠DOM，根据角平分线的定义得出答案即可．
【解答】解：在△COM和△DOM中，
，
∴△COM≌△DOM（SSS），
∴∠COM＝∠DOM，
即OM是∠AOB的平分线，
故答案为：SSS．
16．（2022•观山湖区模拟）如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为 　35°　．

【分析】根据全等三角形的对应角相等得到∠BAC＝∠D，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∠D＝65°，
∴∠BAC＝∠D＝65°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°，
故答案为：35°．
17．（2022•宁波模拟）图①是一位同学符合要求的读写姿势，眼睛到笔端的距离为36cm，她的眼睛B，肘关节C和笔端A为顶点的△ABC如图②．若∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，则此时BC为 　18　cm．

【分析】过B作BD⊥AC于D，根据三角形内角和定理求出∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠BCA，求出AB＝2AD，BD＝CD，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC即可．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA＝∠BDC＝90°，

∵∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠BCA，
∴AB＝2AD，BD＝CD，
∵AB＝36cm，
∴AD＝18cm，
由勾股定理得：CD＝BD＝＝＝18，
∴BC＝＝＝18（cm），
故答案为：18．
18．（2022•涿州市校级一模）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线I的距离分别是a和b，且满足：+|b﹣2|＝0，则正方形ABCD的边长是 　　，面积是 　5　．

【分析】设AM⊥l于点M，CN⊥l于点N，根据正方形的性质证明△AMB≌△BNC（AAS），可得AM＝BN，根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性可得a＝1，b＝2，从而可知BN＝1，CN＝2，根据勾股定理即可求出正方形的边长，进一步即可求出正方形的面积．
【解答】解：设AM⊥l于点M，CN⊥l于点N，如图所示：

则∠AMB＝∠BNC＝90°，
∠MAB+∠ABM＝90°，
在正方形ABCD中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝90°，
∴∠CBN＝∠MAB，
在△AMB和△BNC中，
，
∴△AMB≌△BNC（AAS），
∴AM＝BN，
∵+|b﹣2|＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝1，b＝2，
∵点A，C到直线I的距离分别是a和b，
∴AM＝BN＝1，CN＝2，
根据勾股定理，得BC＝＝，
∴正方形的边长为，面积为×＝5，
故答案为：，5．
19．（2022•滨海县校级三模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点A（4，0），点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是 　4　．

【分析】如图，在y轴的正半轴上截取OC，使得OC＝OA＝4，连接AC，BC．首先证明∠CBA＝90°，点B在直线y＝x+4上运动，作点O关于直线BC的对称点E，连接AE交BC于点T，当点B与T重合时，OB+AB的值最小．
【解答】解：如图，在y轴的正半轴上截取OC，使得OC＝OA＝4，连接AC，BC．

∵△AOC，∠APB都是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝∠PAB，AC＝OA，AB＝AP，
∴∠OAP＝∠CAB，＝，
∴△OAP∽△CAB，
∴∠AOP＝∠ACB＝90°，
∴点B在直线y＝x+4上运动，
作点O关于直线BC的对称点E，连接AE交BC于点T，当点B与T重合时，OB+AB的值最小，
∵E（﹣4，40，a（4，0），
∴AE＝＝4，
∴OB+AB的最小值为4，
故答案为：4．
20．（2022•隆回县二模）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠BAO＝∠CDO，点E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证：△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝4，BC＝6，CE＝2，求EF的长．

【分析】（1）利用AAS证明即可；
（2）利用（1）的结论和平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】（1）证明：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS）；
（2）解：∵△AOB≌△DOC，
∴AB＝CD＝4．
∵EF∥CD，
∴，
∴，
∴EF＝．
21．（2022•翔安区模拟）（1）发现问题：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，则线段AE、BD的数
量关系为 　AE＝BD　，AE、BD所在直线的位置关系为 　AE⊥BD　；
（2）探究问题：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB
的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；
（2）结论：AD＝2CM+BD，只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠CBD＝90°
∴∠AHB＝90°，
∴AE⊥BD．
故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；

（2）∠ADB＝90°，AD＝2CM+BD，
理由如下：如图2中，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝135°，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°，
∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM＝DM＝ME，
∴DE＝2CM，
∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．
22．（2023•汉阳区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．
（1）求证：∠CBE＝45°；
（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．

【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，可证明∠ABC＝∠C＝∠DAB，而∠ABE＝∠DBE＝∠DBA，则∠CBE＝（∠DAB+∠DBA）＝45°；
（2）延长BA到点G，使AG＝AE，连接EG，因为AB＝AC，所以BG＝CE＝BF，即可证明△EBG≌△EBF，得∠G＝∠F，可证明∠G＝∠DAB，则∠G＝∠F＝∠C，于是∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，得BH⊥EH，由∠HEB＝∠HBE＝45°，得BH＝EH．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC于D，
∴∠BDC＝∠FDC＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠C＝∠DAB，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠DBA，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝（∠DAB+∠DBA）＝45°.
（2）解：BH⊥EH，BH＝EH，
证明：延长BA到点G，使AG＝AE，连接EG，
∵AB＝AC，
∴AB+AG＝AC+AE，
∴BG＝CE，
∵BF＝CE，
∴BG＝BF，
在△EBG和△EBF中，
，
∴△EBG≌△EBF（SAS），
∴∠G＝∠F，
∵∠G＝∠AEG，
∴∠DAB＝∠G+∠AEG＝2∠G，
∴∠G＝∠DAB，
∴∠G＝∠C，
∴∠F＝∠C，
∵∠HEC＝∠DEF，
∴∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，
∴BH⊥EH，
∵∠HEB＝∠HBE＝45°，
∴BH＝EH．

23．（2022•中山市三模）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．
（2）如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．

【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC＝∠DAE，利用SAS证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质推出△ABG≌△ACH，得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理证明结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）如图，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，

∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠ACH，
∵AG⊥BM，AH⊥EM，
∴∠AGB＝∠AHC＝90°，
又AB＝AC，
∴△ABG≌△ACH（AAS），
∴AG＝AH，
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AM平分∠BME．